Интегрированный урок (математика + физика) 11-й класс. по теме "Производная и её применения».. Садырина В.С – учитель физики. Павловская Н.М. – учитель математики. «Вся глубина мысли, которая заложена в формулировку математических понятий, впоследствии раскрывается тем умением, с которым эти понятия используются» Е. Вагнер Жозеф Луи Лагранж 25.01.1976 – 10.04.1813 Французский математик, астроном и механик. В 19 лет он стал профессором в Артиллерийской школе Турина. Именно Лагранж в 1791 г. ввёл термин «производная», ему же мы обязаны и современным обозначением производной (с помощью штриха). Термин «вторая производная» и обозначение (два штриха) также ввёл Лагранж. СИСТЕМАТИЗИРУЕМ ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ!!! 1. 2. Умение дифференцировать. • • знать правила дифференцирования знать таблицу производных Применение геометрического смысла производной. 3. Применение физического смысла производной. Вычислите: I вариант 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. (2) x (•(х)) (ctg x) (X n) (tg x) (g(f(x))) (x) (kx + m) K = tg II вариант 1. (X n) 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. x (u(x)•v(x)) (cos x) (c) (u(x) + v(x)) (sin x) (u(x)v(x)) (lnx) (log5 3x) Ответы к диктанту Оценка результата выполнения диктанта: «3» - 5 заданий, «4» – 7 заданий, «5» – 10 заданий 1вариант 1) 2x 2) -1/x2 3) K f ’(x) 2 4) -1/sin x 5) nxn-1 6) 1/cos²x 7) g’(f(x)) •f’(x) 8) 1 9) K 10) f ’(x0) 2вариант n-1 1) nx 2) 1/(2 √x) 3) u’(x) ( טx)+(‘טx)u(x) 4) –sin х 5) 0 6) U’(x)+ (’טx) 7) cos X 8) (u’(x) (טx) – (’טx)u(x))/ט2(x) 9) -1/x 10) 3/(xln5) САМОПРОВЕРКА!!! Найдите производные функций. 1 Проверяем: f ( x) (3 cos( 2x )) 3(cos( 2x )) ( 2х ) 3 sin( 2x ) 2 6 sin( 2x) 2 Проверяем: 2 (t ) (sin( 3t )) (3t ) 3 2 cos(3t ) 3 2 cos(3t ) 3 ЗНАНИЕ ТЕОРИИ f '(x₀) = tg α = к угловой коэффициент касательной значение производной в точке Х₀ тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси ОХ В чем состоит геометрический смысл производной ? В любой ли точке графика можно провести касательную? Какая функция называется дифференцируемой в точке? Касательная наклонена под тупым углом к положительному направлению оси ОХ. Следовательно, … Касательная наклонена под острым положительному направлению оси ОХ. Следовательно, … углом к Касательная наклонена под прямым положительному направлению оси ОХ. Следовательно, … углом к Касательная параллельна совпадает. Следовательно, … оси ОХ, либо с ней Примеры применения производной (ЕГЭ, В8) 1. На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной в точке x0. α – тупой, tg α<0, f '(x0)<0 y 3 tg α = - tg β y=f(x) 1 0 1 β x 2 0 tg α = - 3/2 = = - 1,5 = f '(x0) x 2. На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной в точке x0. острый y 3 tg α>0, f '(x0)>0 y=f(x) tg α = 3/1 = 3 = = f '(x0) 1 x0 0 1 1 x 3. На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной в точке x0. y 1 tg α = 0 f '(x0) = 0 x0 0 1 = 0 x Касательная параллельна оси ОХ. 4. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y cos 2 x в точке с абсциссой x0 4 Решение. f '(x₀) = tg α = к y (cos 2 x) sin 2 x (2 x) 2 sin 2 x y( ) 2 sin( 2 ) 2 sin( ) 2 1 2 4 4 2 Угловой коэффициент касательной равен -2 . х v t Δх – изменение координаты тела Δt – промежуток времени, в течение которого выполнялось движение При t 0 v. называют мгновенной скоростью v(t ), следовательно, v(t ) х (t ). х (t ) v(t ) f ( х ) v ( x ) . V м x,с v1x v0 x 0 v tg t t t, с v x t V м x,с v0 tg v v x t x 0 t t, с ax vx ax tg 0, a x 0 V м x,с tg v0 v0 t t tg 0, a x 0 x v x t, с V м x,с v1x v0 tg 1 x 0 t v x t ax vx t, с ax tg 0, a x 0 tg 0, a x 0 Примеры применения производной (ЕГЭ) 1. Материальная точка движется по закону Х (t ) 9 t 2 7t 6 2 В какой момент времени (с) скорость точки будет равна 12,8 м/c ? Решение. х (t) V(t) Х (t ) 9t 7 V (t ) V (t ) 12,8 9t 7 12,8 9t 19,8 t = 2,2c 2. Материальная точка Х (t ) 15 3t 0,5 t движется по закону 2 Чему равно ускорение (м/с2) в момент времени t ? Решение. Х (t ) (15 3t 0,5 t 2) 3 t V (t ) V (t) a(t)= x(t) V (t ) (3 t ) 1 a(t ) a(t ) 1( м с ). 2 Ускорение равно 1 (м/с2). x x max sin (t 0 ) v0 0 v max v0 0 a 0 a max v1 v max a1 0 x x max sin( t 0 ) v (t ) x v x max cos(t 0 ) max a (t ) v a xmax sin( t 0 ) 2 a max Каким вопросам был посвящен урок? Какие теоретические обобщались на уроке? вопросы Почему возникла необходимость интегрированного урока по математике и физике? 4