3.02.15

Плоское
движение
Плоское (плоскопараллельное) движение твердого тела − это
движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях,
параллельных некоторой неподвижной плоскости . Из определения
следует, что перпендикуляр MA остается параллелен своему
начальному положению. Траектории, скорости и ускорения точек,
лежащих на этом отрезке прямой и совпадают.
z
M
O
y
A
S

x
Таким образом, исследование плоского движения твердого
тела можно свести к рассмотрению движения плоской
фигуры в ее плоскости
y
A
S
A
A
O
x
Примеры плоского движения: скольжение стержня и качение цилиндра .
Для задания движения плоской фигуры введем подвижную систему координат ,
совершающую поступательное движение с точкой полюсом A. Движение
плоской фигуры рассмотрим как сложное, при этом переносное движение − это
поступательное движение подвижной системы координат вместе с точкой
(полюсом). Относительное движение − это вращение вокруг полюса.
Положение плоской фигуры можно задать двумя координатами полюса и одним
углом между неподвижной прямой и отрезком, жестко связанным с телом, с
указанием положительного направления отсчета:
− уравнения движения плоской фигуры.
y
x A  x A( t )
B
A
y A  y A( t )

x
O
  (t )
При задании плоского движения за полюс может
приниматься любая точка тела. Следовательно, вид
первых двух уравнений движения зависит от выбора
полюса. Закон изменения угла от выбора полюса не
зависит. Для характеристики изменения угла поворота
плоской фигуры вводится:
угловая скорость ,

z  
z
угловое ускорение ,
z  
которые не зависят
от выбора полюса.
Определение скоростей точек тела при плоском движении
Теорема. Скорость любой точки тела при плоском
движении находится как сумма скорости полюса и
скорости данной точки во вращательном движении
вокруг полюса
Вводя в рассмотрение
вектор угловой скорости
плоской фигуры, теорема
может быть записана в
следующем виде:



v B  v A    AB
Следствие. Проекции скоростей двух точек
плоской фигуры на отрезок, соединяющий
эти точки, равны между собой
VA
A
B
VB


пр AB v A  пр AB v B
v A  cos(V A , AB)  vB  cos(V B , AB);
Мгновенный центр скоростей
Теорема. При
непоступательном
движении плоской фигуры
существует жестко
связанная с ней точка,
скорость которой в
данный момент движения
равна нулю. Эта точка
является мгновенным
центром скоростей



v P  v A  v PA
vPA  AP  v A v P  v A  v PA  0
Выбирая мгновенный
центр скоростей за полюс,
нетрудно убедиться, что
скорость любой точки
плоской фигуры находится
как скорость во
вращательном движении
вокруг этого центра C
vC v B


CP BP
vC CP

v B BP
т.е. скорости пропорциональны расстояниям до
мгновенного центра скоростей
Основные способы нахождения мгновенного центра скоростей.
Известны направления
скоростей двух точек тела,
и они не параллельны.
Мгновенный центр
скоростей лежит на
пересечении
перпендикуляров к
скоростям
Перпендикуляры к скоростям двух точек тела совпадают .
Мгновенный центр скоростей находится из условия
пропорциональности скоростей расстояниям до этого центра.
Если скорости равны, то мгновенный центр скоростей не существует и
тело совершает мгновенно-поступательное движение .
A

vA

0
B


vB
P
Качение без скольжения по
неподвижной поверхности
(нет проскальзывания).
Мгновенный центр
скоростей находится в
точке касания тела с
неподвижной
поверхностью.
Определение ускорений точек тела при плоском движении
Теорема. Ускорение точки плоской фигуры
равно сумме ускорения полюса и ускорения
данной точки во вращательном движении
вокруг полюса.
Ускорение точки в ее сложном движении
при поступательном переносном движении,
где относительное движение − вращение
вокруг полюса , переносное движение −
поступательное вместе с полюсом,
aB  ae  ar
 a  a  aвр
   
 ос

a

a

a
a B  a A  a BA  a BA
e
A
r
BA
вр
BA
ос
BA
Аналитические алгоритмы плоского движения
Из теоремы о скоростях точек тела при его плоском движении



v В  v А    АВ
Проектируя на координатные оси, находим
vBx  vAx  z  ABy ,
vBy  vAy  z  ABx ,
Алгебраическая угловая скорость положительна, если вращение видно
происходящим против хода часовой стрелки. Эти уравнения, при дополнительных
условиях, могут быть использованы для определения неизвестных величин. Если
направление скорости точки известно, то, совмещая одну из осей координат с
вектором , находим эту скорость, а также
.
z
Из теоремы об ускорениях при плоском движении



a В  a А    АВ  2z AB
aBx  a Ax   z  ABy    ABx ,
2
z
aBy  a Ay   z  ABx  z2  ABy ,
Эти уравнения, при дополнительных условиях, могут быть использованы
для определения неизвестных величин. Если направление ускорения
точки известно, то, совмещая одну из осей координат с вектором ,
находим это ускорение, а также
.
z
Если расстояние от какой-либо точки плоской фигуры до мгновенного центра
скоростей постоянно (AP=const) то, дифференцируя равенство , находим .
vA
z 
AP

aA
z 
AP