ТРАПЕЦИЯ Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Параллельны стороны трапеции, называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами трапеции. Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны. Трапеция называется прямоугольной, если один из её углов прямой. ТЕОРЕМА Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме. Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD, в которой точка М — середина боковой стороны АВ. Проведем через точку М прямую, параллельную основаниям трапеции. Пусть эта прямая пересекает диагональ АС в точке Р, а сторону CD в точке N. Применим следствие из теоремы о средней линии треугольника последовательно к треугольникам ABC и CAD. Согласно этому следствию точка Р — середина стороны АС треугольника ABC. Но тогда согласно тому же следствию точка N — середина стороны CD треугольника ACD. Поэтому отрезки MP и PN являются средними линиями треугольников ABC и ACD, а отрезок MN — средней линией трапеции ABCD. Тем самым доказано, что средняя линия трапеции параллельна ее основаниям. Далее, по теореме о средней линии треугольника MP = ½ BC, PN = ½ AD Следовательно, MN = MP + PN = ½ (BC + AD) Теорема доказана. ЗАДАЧА 1 Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а длина ее средней линии равна с. Найти длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеций. Решение. Рассмотрим трапецию ABCD, в которой диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны. Пусть точки K, L, М и N — середины сторон АВ, ВС, CD и DA (рис. 32). По теореме Вариньона четырехугольник KLMN — параллелограмм. Но KL\\AC, LM\\BD, a AC┴BD. Поэтому KL ┴ LM, и, следовательно, параллелограмм KLMN является прямоугольником. В прямоугольнике диагонали равны: LN = KM. Отрезок КМ— средняя линия трапеции, причем по условию КМ = с. Поэтому и искомый отрезок LN равен с. Решение. Рассмотрим трапецию ABCD, в которой диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны. Пусть точки K, L, М и N — середины сторон АВ, ВС, CD и DA (рис. 32). По теореме Вариньона четырехугольник KLMN — параллелограмм. Но KL\\AC, LM\\BD, a AC┴BD. Поэтому KL ┴ LM, и, следовательно, параллелограмм KLMN является прямоугольником. В прямоугольнике диагонали равны: LN = KM. Отрезок КМ— средняя линия трапеции, причем по условию КМ = с. Поэтому и искомый отрезок LN равен с. ЗАДАЧА 2 Доказать, что две трапеции равны, если их стороны соответственно равны. Решение. Рассмотрим трапеции ABCD и A1B1C1D1 у которых стороны соответственно равны: АВ = А1В1, ВС = В1С1, CD = C1D1, DA = D1A1. Пусть ВС, AD и B1C1 A1D1 — основания этих трапеций. Предположим для определенности, что AD>BC, тогда A1D1> В1С1 (рис. 34). Отметим на отрезках AD и A1D1 соответственно точки Е и Е1 так, чтобы ED = BC и E1D1 = B1C1. Тогда ED = E1D1> и, значит, АЕ = А1Е1, а четырехугольники BCDE и B1C1D1E1 являются параллелограммами (объясните почему). Поэтому BE=CD, B1E1 = C1D1 (противоположные стороны параллелограмма равны), и так как CD = C1D1, то ВЕ — В1Е1. Таким образом, в треугольниках ABE и А1В1Е1 стороны соответственно равны (АВ = А1В1, АЕ = А1Е1, ВЕ = В1Е1), поэтому эти треугольники равны, откуда следует, что ∟ВEA= ∟B 1 E 1 A 1 и ∟BEA = ∟B1E1A1. Но ∟ВЕА = ∟CDА, ∟BEA = ∟C1D1A1, следовательно, ∟CDA = ∟C1D1A1. Тем самым доказано, что в данных трапециях ∟A = ∟A1, ∟D=∟D1. Так как AD\\BC, то из равенства∟A = ∟A1 следует, что ∟В = ∟В1, а из равенства∟D1 = ∟D , что ∟C= ∟C1 ЗАДАЧА 3 Биссектрисы равных углов А и С равнобедренного треугольника ABC пересекают боковые стороны треугольника в точках Е и Р соответственно. Докажите, что четырехугольник АРЕС — трапеция с тремя равными сторонами. B P A E C Решение. ЗАДАЧА 3 B PE \\ AC (свойство биссектрисы равнобедренного треугольника), => ∟PEA = ∟PAE (теорема о накрест лежащих углах), => AP =PE, => в трапеции равны 3 стороны. P A E C