Методы интерполяции Численные методы в оптике кафедра прикладной и компьютерной оптики

Методы интерполяции
Численные методы в оптике
кафедра
прикладной и компьютерной оптики
2
Интерполяция, экстраполяция,
аппроксимация
Интерполяция – определение
промежуточных значений
функции по известному
набору значений функции
fi , x i
интерполяция
Экстраполяция – определение
значений функции за
пределами первоначально
известного интервала
fi , x i
экстраполяция
Аппроксимация –
определение коэффициентов
функции, описывающей
распределение точек
g(x)
аппроксимация
f1
x1
f2
x2
…
…
fi
xi
…
…
fn
xn
3
Задача интерполяции
Пусть функция f(x) задана таблицей своих значений xi, yi:
на интервале [a; b]:
y x
yi  f  xi  i  0,1,, n
a  xi  b
Задача интерполяции - найти функцию F(x),
принимающую в точках xi те же значения yi




точки xi – узлы интерполяции
условие F(x)= yi – условие интерполяции
1
1
y2
x2
… …
yi
… …
yn
Через заданные точки можно провести бесконечно много кривых, для
каждой из которых выполнены все условия интерполяции
Для практики важен случай аппроксимации функции многочленами:
F  x   a0  a1  x  a2  x 2  ...  am  x m
xi
xn
4
Локальная и глобальная
интерполяция
Глобальная интерполяция

функция f(x) интерполируется на всем интервале [a; b] с помощью
единого интерполяционного полинома
Pm  x   a0  a1  x  a2  x 2  ...  am  x m
 обычно m=n, т.е. степень полинома выбирается равной количеству узлов
 на практике не всегда применима
Локальная (кусочно-полиномиальная) интерполяция

на каждом интервале [xi , xi+1 ] строится отдельный интерполяционный
полином невысокой степени
5
Кусочно-линейная интерполяция
Узловые точки соединяются отрезками прямых
через каждые две точки xi , xi+1 проводится полином
первой степени:
F  xi   a0  a1  xi

i  0,1,, n
коэффициенты a0 , a1 разные на каждом интервале [xi , xi+1 ]:
a1 
f ( xi )  f ( xi 1 )
xi  xi 1
a0  f ( xi-1 )  a1  xi-1
xi
xi+1
6
Кусочно-квадратичная
интерполяция
Квадратичная интерполяция проводит через узловые
точки уравнение параболы:
F  xi   a0  a1  xi  a2  xi2

i  0,1,, n
коэффициенты a0 , a1 , a2 разные на каждом интервале[xi , xi+1 ]:
a2 
f ( xi 1 )  f ( xi 1 )
f ( xi )  f ( xi 1 )

xi 1  xi 1   xi 1  xi  xi  xi 1   xi 1  xi 
a1 
f ( xi )  f ( xi 1 )
 a2   xi  xi 1 
xi  xi 1
a0  f ( xi-1 )  a1  xi-1  a2  xi-21
xi-1
xi
xi+1
7
Многочлен Лагранжа
На всем интервале [a; b] строится единый полином:
n
Ln  x    yi  li ( x)
i 0

где li(x) – базисные полиномы степени n:
x  x0 x  x1 x  xi1 x  xi1 x  xn 
x  xk

xi  x0 xi  x1 xi  xi1 xi  xi1 xi  xn 
k 1 xi  xk
n
li ( x)  
k i
 полином Лагранжа имеет малую погрешность при небольших значениях n<20.
При больших n погрешность начинает расти
8
Многочлен Ньютона
(разделенные разности)
Разделенные разности первого порядка:
f xi , xi  1  
f xi  1   f xi 
xi 1  xi
Разделенные разности второго порядка:
f x i , x i  1 , x i  2  
f x i  1 , x i  2   f x i , x i  1 
xi  2  xi
Разделенная разность порядка
f  xi , xi 1,, xi  k  
k  2:
f xi 1,, xi  k   f  xi ,, xi  k 1 
xi  k  xi
9
Многочлен Ньютона
Pn ( x)  f  x0   f  x0 , x1    x  x0   f  x0 , x1 , x2    x  x0    x  x1    
 f  x0 , x1 ,, xn    x  x0    x  x1    x  xn1 


где f  x0 , f  x0 , x1 , f  x0 , x1 , x2  , f  x0 , x1 ,, xn  - разделенные разности 1, 2, 3, n-го
порядков
если необходимо увеличить степень многочлена на единицу, добавив в
таблицу еще один узел
 для многочлена Лагранжа необходимо вычислять каждое слагаемое заново
 для многочлена Ньютона достаточно добавить одно слагаемое
f  x0 ,, xn , xn1    x  x0    x  x1    x  xn1 
Если функция достаточно гладкая, то:
f  x   Pn  x   Pn 1  x   Pn  x 
Погрешность интерполяции:
.  n  Pn 1 x   Pn x 
10
Лабораторная работа №3
Сгенерировать выборку функции (размером 10 элементов).
Выполнить интерполяцию кусочно-линейным и кусочно-квадратичным
методами, а также интерполяционными многочленами Лагранжа и
Ньютона, и перейти на выборку размером 100 точек.
Прочитать из файла выборку и перейти на другую размерность
выборки при помощи интерполяции кусочно-линейным и кусочноквадратичным методами.
Задание оценивается в баллах:



4 балла - выполнение интерполяции различными методами + 2 балла
первому кто выполнит задание
2 балла - переход на другую размерность выборки + 2 балла первому кто
выполнит задание
+ 1 балл - выполнение работы в срок
11
Переход на новую размерность
выборки
Преобразование Фурье (лекция №5) – быстрые
алгоритмы работают наиболее эффективно с выборками,
размерность которых является 2n, т.е.
2, 4, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048 и т.д.
Если предыдущие вычисления были выполнены для
другой размерности выборки, необходимо перейти на
выборку другого размера

например:
 было 100, стало 128
 было 512, стало 501