***** 1 - МБОУ СОШ №22
реклама
Учитель математики высшей категории МБОУ СОШ №22 Забелина С.А. АКТУАЛЬНОСТЬ. Пчёлы – удивительные творения природы. Геометрические способности пчёл проявляются при построении сот. Если разрезать пчелиные соты плоскостью, перпендикулярной их рёбрам, то будет видна сеть правильных шестиугольников, уложенных в виде паркета. Возникает вопрос: «Почему пчёлы строят соты именно так, почему они предпочли сеть правильных шестиугольников, а не правильных треугольников или квадратов, ведь их, казалось бы, гораздо проще сконструировать?» Цель – изучить формы пчелиных сот и ячеек, а так же геометрические принципы их построения. Предмет исследования: геометрические принципы построения пчелиных сот. Гипотеза: идеальной геометрической фигурой для построения пчелиных сот является шестиугольник. 1) познакомиться с геометрическими принципами построения пчелиных сот; 2) провести математический анализ строения пчелиной ячейки; 3) проанализировать экономическую выгоду построения соты; 4) рассмотреть использование геометрических закономерностей построения пчелиных сот в различных областях; 5) сделать выводы о значении геометрических способностей пчел. Геометрия пчелиных сот Жизнь и деятельность пчел всегда привлекала внимание человека своей изумительной красотой и изяществом. Пчелы на практике решили задачу строительства ячейки для размещения возможно большего количества меда и экономии воска. Совершенство природы не перестает удивлять человека, а математика – это уникальное средство познания красоты природы. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ В ПРИРОДЕ Правильные многоугольники встречаются в природе. Один из примеров – пчелиные соты, которые представляют собой многоугольник покрытый правильными шестиугольниками. На этих шестиугольниках пчёлы выращивают из воска ячейки. В них пчёлы и откладывают мёд, а за тем снова покрывают сплошным прямоугольником из воска. ПОНЯТИЕ ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА Пра́вильный многоуго́льник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны. Построение правильного многоугольника с n сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на n рав ных частей, так как соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник. «ДАЛЕЕ ЭТОЙ СТУПЕНИ СОВЕРШЕНСТВА В АРХИТЕКТУРЕ ЕСТЕСТВЕННЫЙ ОТБОР НЕ МОГ ВЕСТИ, ПОТОМУ ЧТО СОТЫ ПЧЁЛ АБСОЛЮТНО СОВЕРШЕННЫ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ЭКОНОМИИ ТРУДА И ВОСКА» Ч. ДАРВИН Задача №1 Пчелиные соты представляют собой прямоугольник, покрытый правильными шестиугольниками. Какими ещё правильными многоугольниками можно покрыть плоскость? МЕТОД УРАВНЕНИЙ Предположим, что плоскость покрыта правильными n- треугольниками, причём каждая вершина является общей для Х таких многоугольников, α – внутренний угол правильного многоугольника, равный α=180°(n-2) : n, тогда 180°(n-2)х : n= 360° Учитывая, что Х –целое, получаем n= 3,4,6. Вывод: Итак, плоскость можно покрыть треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками. МЕТОД ПЕРЕБОРА. n=3. Три угла, плотно составленные, составляют 180°, шесть углов - 360°. Плоскость покрыта без просветов. n=4. Четыре внутренних угла вместе дают 360°, плоскость покрыта без просветов. n=5. Внутренний угол правильного многоугольника равен 108°, остаётся просвет в 36°. Плоскость без просветов не покрывается. n=6. Внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°, три шестиугольника, составленные вместе, образуют 360°. Плоскость покрывается без просветов. Вывод: Метод перебора можно продолжать и дальше, итогом будет служить вывод, чтобы без просветов плоскость можно покрыть лишь правильными треугольниками, квадратами, правильными шестиугольниками. «СТРАННЫЕ ОБЩЕСТВЕННЫЕ ПРИВЫЧКИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ДАРОВАНИЯ ПЧЁЛ НЕ МОГЛИ НЕ ПРИВЛЕЧЬ ВНИМАНИЯ И НЕ ВЫЗВАТЬ ВОСХИЩЕНИЯ ЛЮДЕЙ, НАБЛЮДАВШИХ ИХ ЖИЗНЬ И ИСПОЛЬЗОВАВШИХ ПЛОДЫ ИХ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ» Задача №2 Почему пчёлы выбрали именно шестиугольник? Г. ВЕЙЛЬ РЕШЕНИЕ Для ответа на этот вопрос нужно сравнить периметры разных многоугольников, имеющих одинаковую площадь. Пусть даны правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник. У какого из этих многоугольников наименьший периметр? Пусть S- площадь каждой из названных фигур, сторона аnсоответствующего правильного n-угольника. Для сравнения периметров запишем их соотношение Р3 : Р4 : Р6 = 1 : 0,877 : 0,816 Вывод: Мы видим, что из трёх правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр имеет правильный шестиугольник. Стало быть, мудрые пчёлы, экономят воск и время для построения сот. ПОДТВЕРЖДЕНИЕ ГИПОТЕЗЫ Соты – это архитектурный шедевр. Шестиугольные соты - это идеальная геометрическая форма для максимального использования площади и наименьшего количества материала, позволяющая получить максимум пространства для хранения меда с минимальной затратой воска. ПЧЁЛЫ-МАТЕМАТИКИ Недавно британские ученые установили, что пчелы, оказывается, способны решать сложные математические задачи. Эти насекомые быстро и безошибочно рассчитывают оптимальный путь от одного объекта к другому. Данная задачка вполне по силам обычному компьютеру, однако, как с ней справляется крошечный мозг пчелы, не совсем понятно. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СЕКРЕТЫ ПЧЕЛ Улей — это шедевр инженерного искусства, состоящий из расположенных рядами шестигранных ячеек с восковыми переборками. Строительство сот начинается сотнями пчел из разных точек одновременно и заканчивается на середине. На месте стыка не бывает ни малейшей погрешности или ошибки. Пчелы вычисляют угол отдельных ячеек по отношению друг к другу, когда строят соты. Ячейки, соприкасающиеся стороной, всегда стоятся под углом 13 градусов к земле. Таким образом, обе стенки сотов направлены под углом вверх. Этот угол предотвращает вытекание меда. Стенки ячеек, толщиной всего в семь сотых миллиметра, всё же настолько прочны, что один килограмм сот может выдержать, по крайней мере, 25 килограммов мёда. Расчётливые пчёлы заполняют пространство так, что не остаётся просветов, экономя при этом 2% воска. Скорость полета медоносной пчелы может достигать 30 км/ч. Собирая нектар с цветков, пчела «налетает» около трёхсот километров, посетив при этом девятнадцать миллионов цветков. Пчела-разведчица, возвратившись с пыльцой и нектаром, совершает своеобразный танец, который, по мнению многих учёных, является способом передачи информации о местонахождении источника нектара. В танце она описывает восьмёрки на фоне сот. Угол между плоскостью траектории её полета и сотами равен углу между горизонтальным направлением на источник нектара и направлением на Солнце. Число восьмёрок в минуту соответствует расстоянию до цветов. Другими словами, если пчела описывает десять восьмёрок за пятнадцать секунд, то это значит, что луг находится почти в семи километрах. И обратите внимание: простые расчёты показывают, что это не просто арифметическая, а логарифмическая зависимость! МИР РАСТЕНИЙ И ЖИВОТНЫХ ДЕМОНСТРИРУЕТ ПОРАЗИТЕЛЬНЫЕ ПРИМЕРЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ВЫСОЧАЙШЕГО УРОВНЯ Чарует простота и сложность мирозданья. Известен нам пространственный паркет. Природы мудрые созданья Шедевры строят много лет. Созданья эти к геометрии способны, Нам опыт их перенимать удобно. Мир гармоничен, и шедевров свойства Используем в множестве устройств. ПРИНЦИП «ПЧЕЛИНЫХ СОТ» В СТРОИТЕЛЬСТВЕ И АРХИТЕКТУРЕ Самый лучший способ построить сооружение с максимальной вместимостью, но с минимальной затратой материала, это сделать стены шестиугольными, так как из всех фигур самая короткая длина окружности у шестиугольника. СОТОВЫЙ ДОМ СМОЛЫ HYPTONITE Современные гоночные лыжи изготавливаются из смолы HYPTONITE. Это продукт нанотехнологий. Секрет данной смолы в том, что она состоит из тончайших (1/10000 толщины человеческого волоса) карбоновых нанотрубок, уложенных особым образом и соединенных молекулами эпоксидной смолы. Смола имеет вид ячейки пчелиных сот, и эта структура наиболее прочная, так как, таким образом изготавливаются кровельные материалы, фундаменты домов. Это помогает избежать больших потерь во время землетрясений ГРАФЕНОВЫЙ ТРАНЗИСТОР Гибкий графеновый полевой (униполярный) транзистор с рекордными показателями плотности тока, пиковой мощности и усиления преобразования. Транзистор демонстрирует почти симметричную скорость электронного и дырочного транспорта, а также механическую прочность. Графен — моноатомный двумерный углеродный слой, структура которого аналогична форме пчелиных сот, обладает уникальной комбинацией очень полезных электронных, механических и оптических свойств. СОТОВАЯ СВЯЗЬ Система сотовой связи строится в виде совокупности ячеек или сот, покрывающих обслуживаемую территорию, например, территорию города с пригородами. Ячейки обычно схематически изображают в виде равновеликих правильных шестиугольников, что по сходству с пчелиными сотами и послужило поводом назвать связь сотовой Как не согласиться с мнением Пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот». Так с помощью геометрии мы прикоснулись к тайне математических шедевров из воска, ещё раз убедившись во всесторонней эффективности математики. ВЫВОД: Шестигранная форма соты – наиболее устойчивая форма в смысле распределения нагрузок, оптимальная природная форма. Принцип «пчелиных сот» широко используется в архитектурных ансамблях всего мира, в строительстве гигантских сооружений, в создании новых дизайн – проектов, в производстве эко-материалов и нанотехнологиях.
