Урок 3 определение Функции

Урок № 3
Понятие функции
Учитель Духнякова Виктория Леонидовна 9 класс сентябрь 2012
1. Анализ д/з
Галицкий 4.4 а Вычислить:
   2
2  5   2 
а) 2  3
2
3  2 3
2
5  5 2
625  25  5
2 64  16  4
2 2 2024  2 2  32  2  8  4
а а а18  а а10  а  а 5  а 3
Галицкий 4.74

Выполнить умножение:

а) 3 12  75  3  18  15  3


б ) 4 0,02  8  2  4  0,2  4  4,8
 2
3
3 2 4
1
1
1 1
5


в ) 2
5
4

  5   4  1  2,5  4  1  1  2

8
2 3 3
2
3
3 2
6
 3
 5
125  5
25


г ) 2
 10 

 55
 12,5

2  2
2
 2
Галицкий 5.20
Решить уравнение:
а) х 2  х  90  0
подбором
х1  10 х2  9
Ответ : 9; 10
б ) х 2  5х  6  0
подбором
х1  6 х2  1
Ответ : - 6; 1
в)4 х 2  х  3  0
х1, 2 
1  1  49
8
х1 
1 7
8
х2 
1 7
3
Ответ : 1; 8
4
г )2 х 2  7 х  6  0
х1, 2 
7  49  48
4
х1  2 х2  1,5 Ответ : 2; 1,5
Галицкий 5.73 Решить уравнение:
а)
х  12 х 2  2 х   12
х
2
 2 х  1х 2  2 х   12 пусть х 2  2 х  у,
у  1 у  12
 у  -4
у  у  12  0 подбором 
у  3
вернемся к исходной переменной
2
 х 2  2 х  4 нет решений
; 
 2
 х  2 х  3
подбором х  -3 х  1
Ответ :  3; 1
б)
х  22 х 2  4 х   3  0
х
2


 4 х  4 х 2  4 х  3  0 пусть х 2  4 х  у,
 у  -1
у 2  4 у  3  0 подбором 
 у  3
вернемся к исходной переменной
 х 2  4 х  1 (х - 2) 2  3  0
; 
 2
 х  4 х  3 подбором х  3 х  1
Ответ : 3; 1; 2  3; 2  3
у  4  у  3  0
История развития понятия функции.
Функция - одно из основных математических и общенаучных
понятий.
Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании
реального мира.
Выделяют:
Пропедевтический период (с древнейших времен до 17 века).
Введение понятия функции через механическое и геометрическое представления (17 век.)
( ученые Франсуа Виет, Рене Декарт, Ферма, И.Ньютон)
 Аналитическое определение функции
(17- начало 19 века).
Само слово “функция” (от латинского functio -совершение,
выполнение) впервые было употреблено немецким
математиком Лейбницем в 1673г.
Идея соответствия (19 век).
ученые : Б. Больцано, Н.И.Лобачевский
 Дальнейшее развитие понятия функции (20 век - ...).
Необходимость дальнейшего расширения понятия
функции стала особенно острой после выхода в свет в
1930 году книги “Основы квантовой механики” Поля
Дирака, крупнейшего английского физика.
2. Понятие функции
Множество изменяющихся величин тесно связаны между
собой. Зависимость величин удобно задавать аналитически
(формулой). Например :
формула равноускоренного движения связывает
пройденный путь и время:
at 2
S  v0t 
2
Формула нахождения площади квадрата связывает
площадь и сторону квадрата: S  а 2
 Закон Ома связывает напряжение и силу тока: U  I  R
 Величина кинетической энергии зависит от массу тела и
mv2
скорость его движения:
E
2
 Период колебания маятника зависит от длины нити
маятника:
l
Т  2
g
Все эти зависимости - примеры переменных величин, в
которых знание одних величин однозначно определяют
знание других.
Однако не всегда одна величина подчиняет себе другую
однозначно:
 рост человека и его вес…
 урожай от внесения количества удобрений…
…
Математика изучает только такие зависимости, которые
однозначно (единственным образом) определяют зависимости
одних величин от других.
at 2
S  v0t 
2
mv2
E
2
Т  2
l
g
S  а2
U  I R
Определение:
Функцией
элементу
f
x
€
называют правило, которое каждому
X cтавит в соответствие единственный
элемент у € У.
х– аргумент функции(независимая переменная);
у € У у=f(x) – значение функции (зависимая переменная)
Множество D(f) =Х – область определения функции;
Множество E(f) =У – область значения функции.
Примеры f :
 Зависимость объема куба от ребра
Область определения Х и область значения функции
определяют все положительные числа.
Примеры f :
 Зависимость
скорости:
пути от времени при постоянной
 Зависимость слов русского алфавита от первой
буквы слова. Эта зависимость выражена в
составлении словарей.
 Зависимость людей земного шара от группы крови
(I, II, III, IV – группы крови)
 Зависимость
денежных
начисляется по формуле:
вложений
в
банк
n
P 

f ( n )  a 1 

100

 ,
которая
выражает
зависимость
денег
первоначального вложения и срока вложения.
от
Эта зависимость
показывает,
что
каждому
натуральному числу n – количеству лет, в течении
которых вклад лежит в банке, ставится в
соответствие число f(n) – величина вклада, в
которую через n лет превратится первоначальный
взнос.
В дальнейшем будем рассматривать только
числовые функции, т.е. функции заданные на
множестве чисел.
Если функция задана не на числовом множестве
будем ее называть отображением.
Для того чтобы задать функцию, нужно:
1) указать правило вычисления ее значений;
2) описать ее область определения.
3. Способы задания функции
Правило вычисления значений функции может быть
задано:
2x
1) формулой: например, y = x2 + 2x, v=s/t,y 
u=IR ;
x 1
2) словесным описанием: например, y – это наименьшее
целое число, не превосходящее x;
3) таблицей, где перечисляются значения аргумента х и
соответствующего значения функции f(x).
4) графиком
5) любым другим способом, позволяющим для каждого
значения аргумента однозначно вычислить значение
функции.
Чаще всего функция задается аналитически (формулой)
например, y(х) = 2x3 +1; у(х)= 2x, v(t)=s/t, u(i)=IR ;
Если функция f задана с помощью формулы и при этом
не указана её область определения D(f), то областью
определения такой функции будем считать множество
всех значений х, при которых данная формула имеет смысл.
Например: Определить D(x), если задана функция:
f ( x) 
x3
x 3  6 x 2  11x  6
Разложим знаменатель на линейные множители
и ограничим его множеством положительных чисел:
х 3  6 х 2  11х  6  0
х
2

 4 х  3 х  2  0
( х  3)( х  1)( х  2)  0
Ответ: (1;2)U(3;+)
-
-
+
1
2
+
3
х
Чаще всего функция задается аналитически (формулой)
например, y(х) = 2x3 +1; у(х)= 2x, v(t)=s/t, u(i)=IR ;
Если функция f задана с помощью формулы и при этом
не указана её область определения D(f), то областью определения такой функции будем считать множество всех значений х, при которых данная формула имеет смысл.
Над функциями можно производить арифметические
операции и умножать их на действительные числа:
 если заданы две функции f(x) и g(x) с областями
определения D(f) и D(g), то на множестве D=D(f)∩D(g)
определена сумма f+g и f◦g функций:
f
f(x)
(f+g)x=f(x)+g(x), (f ◦g)(x)=f(x) ◦g(x), и частное g (x)= g(x)
для тех значений х € D для которых g(x)≠0
Примеры:
f ( x) 
1). Заданы функции:
1
; g(x)  5 - x
x 3
Найти область определения функции (f+g)(x)=f(x)+g(x)
1. Область определения этой функции равна пересечению
областей определения функций f(x) и g(x), т.е. D=D(f)∩D(g)
D(f)= (3;+)
D(g)=(- ; 5]
D=D(f)∩D(g)=(3; 5]
2. (f+g)(x)=f(x)+g(x)=
1
 5- x
x 3
Имеем: D(х)=)=(3; 5]
2). Заданы функции:
f ( x) 
1
; g(x)  5 - x
x 3
Найти область определения функции (f ◦ g)(x)=f(x) ◦ g(x)
и (f : g)(x)=f(x) : g(x)
1. Область определения этой функции равна пересечению
областей определения функций f(x) и g(x), т.е. D=D(f)∩D(g)
D(f)= (3;+)
D(g)=(- ; 5]
D=D(f)∩D(g)=(3; 5]
1
 5- x
2. (f ◦ g)(x)=f(x) ◦ g(x)=
x 3
Имеем: D(х)=)=(3; 5]
3. Для функции (f : g)(x)=f(x) : g(x) g(x)≠0, значит
Имеем: D(х)=)=(3; 5)
3). Найти область определения функции;
у  f ( x) 
2х  3
 х2  2
х 1
Данная функция определена для всех значений переменной х
для которых выполнено условие:  2 х  3
0

х

1

х2  2  0

Систему неравенств решим методом интервалов:
 2х  3
0

 х 1
 х 2 х 2 0




+
-1,5
+
Ответ: (-; -1,5)
 [2; + )
-1
+
-2
х
+
-
2
х
Домашнее задание:
 Виленкин Алгебра 9 ; § 1, 2, 3,4 № 16, 20, 21 а,б,в,д
 Конспект