Дифференциальное и интегральное исчисление

Дифференциальное и интегральное
исчисление
Множества
  квантор общности
( любой , всякий , каждый...)
a, b  логические
утверждения
a  отрицание утверждения a
Множество – совокупность определённых
и различимых между собой элементов
элемент a принадлежит множеству А
a A
элемент a не принадлежит множеству А
a A
Подмножества
A  B  a  A  a  B
Равенство множеств
A B  A BB A
множество элементов a,b и c
A= {a,b,c}
множество натуральных чисел
N={1,2,3,4..n...}
множество простых чисел
{2,3,5,7…..}

пустое множество
не содержит элементов
Объединение A и В
A
C  A B
B
c C  c  A  c  B
A B  B  A
A  B  C    A  B  C
Пересечение А и В
A
C  A B
c C  c  A  c  B
A B  B  A
A  B  C    A  B  C
B
A  2,3,5
B  1,2,3,7,8
A B  1,2,3,5,7,8
A B  2,3
Число элементов
А - конечное
 натуральное число
элементов
А - бесконечное  не является конечным
Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,..}
N={1,2,3,4,……….}
a  A 
 b  B
f
f - взаимнооднозначное соответствие, если
a1  a2  b1  b2
b  B a  A : a 
 b
f
А
В
А
В
Эквивалентность множеств
A~ B
f :AB
f  взаимнооднозначно
А и В конечные и А~В  число элементов
равно
А~N, N  1,2,..., n...
 А - счётно
В - бесконечное 
 A  В А - счётное
Действительные числа
Абсолютная величина
Натуральные числа
N  1,2,3,....n, n  1,.......
Рациональные числа
 m

Q   , m, n  N и 0
 n

a  Q  a  конечная или бесконечная
периодическая десятичная дробь
1
 0,5
2
1
 0,333...
3
Иррациональные числа
2  1,41.....
b  I  b  бесконечная непериодическая
десятичная дробь
Действительные числа
R  Q I
Число x называется действительным, если оно может быть
представлено в виде бесконечной десятичной дроби
x  x, x1 x2 x3 ....
[x] – наибольшее целое число, меньшее или равное x (целая
часть числа x), {x} – дробная часть числа х, равная
x  x  x
Абсолютная величина (модуль)
a, a  0
a 
 a, a  0
a  0
x  a  a  x  a
a b  a  b
a
a
 , b0
b
b
ab  a  b
a  b  a b
ab  a  b
 a a a
 b b b
 a  b   a  b  a  b
ab  a  b
a  b  a b
a  a  b  b  a  b  b

a  b  a b
b  b  a   a  b  a  a  a  b  a
b  a b  a
 a b  a  b  a b


a  b  a b
a  b  a b
Числовая прямая
l
O
M
aR
a0
f
a

M  l M справа от O : OM  a
a0
a
 M  l M слева от O : OM | a |
a0
a
 O
f
f
f - взаимнооднозначное
ab
a на числовой прямой левее b
а
b
a, b
отрезок
a, b 
интервал
полуинтервал a, b 
a xb
a xb
a, b
a,
a,
 ,
xa
xa
R
 , b 
 , b
a xb
a xb
xb
xb
Окрестность
(
x0
x0  l
)
a, b  окрестность x0  x0  a, b
  окрестность
x0  
(
 0
x0
x0  
)
 x0   , x0    
  окрестность x0
x0    x  x0    x  x0  
Проколотая окрестность
 x0   , x0    x0 , x0   
Точная верхняя и точная
нижняя грани множества
E  R E  ограничено сверху

 b  R : x  E
E   ,1
xb
E  R E  ограничено снизу

 a  R : x  E x  a
EN
ER E
ограничено

 a, b  R : x  E a  x  b
E  a, b
E – неограниченно сверху (снизу)

E – не является ограниченным сверху (снизу)
N  1,2,3,......
Z  ....  2,1,0,1,2...
M – точная верхняя грань множества
M  sup E
x  E x  M
M 
x*
M
  0  x *  E M    x *  M
M - наименьшая из всех верхних граней
Е – неограниченно сверху
sup E  
m – точная нижняя грань множества
m  inf E
x  E x  m
m
x*
m
  0  x *  E m  x *  m  
m – наибольшая из всех нижних граней
Е – неограниченно снизу
inf E  
E  a, b inf E  a sup E  b
E  (a, b) inf E  a sup E  b
1 
 1
E  1, ,...., ,... inf E  0 sup E  1
n 
 2
Теорема.
E  
ER
E  ограничено сверху   M  точная верхняя грань
E  ограничено снизу   m  точная нижняя грань
•
•
•
•
•
•
Множество
Действительные числа
Модуль числа
Числовая прямая
Отрезок, интервал, полуинтервал
Точная верхняя и нижняя грани