n+1

Действительные числа.
Множества.
Число x называется действительным, если оно может быть
представлено в виде бесконечной десятичной дроби
x  x, x1 x2 x3 ....
R  Q I
Следующие числа представить в виде
правильных рациональных дробей:
a) 1, (2) б ) 3,00(3)
m
   a0 , a1 ......a M b1 ...bs   a0 , a1 ......a M  b1 ...bs  10  M
n
9....9
2
11
0
1, (2)  1   10 
9
9
3
3
2703 901
2
3,00(3)  3   10  3 


9
900 900 300
Доказать, что число 3 иррационально.
m
3
n
m2
3 2
n
3 | m2
m, n  Z
 3  n2  m2
 3| m
 9 | m2
 3 | n2
Но m и n – несократимые числа
 3| n
Решить уравнение
a, a  0
a 
 a, a  0
 x  2x  3  1
2
 x  2x  3  0
2
D  2 2  4(1)  (3)  8  0
 x  2x  3  0
 x 2  2x  3  x 2  2x  3
2
x  2x  3  1
2
 x  2x  2  0
2
D  2 2  4  2  4  0
Ответ:
x
Решить неравенство
x  2 1
 x  2, x  2
x2  
2  x, x  2
x  2  1
x  3


x  2
x  2
или
x  1
2  x  1


x  2
x  2
Ответ:
 ,1 3,
x3
 x 1
Установить, какая из записей верна:
a) 1,2 1,2, 1,2,3
а) -неверно
б) -верно
б ) 1,2  1,2, 1,2,3
Задать множества перечислением элементов:


A  x  R : x  3x  2 x  0
3
2
x  3x  2 x  x( x  1)( x  2)  0
3
2
A  0,1,2


A  x  N : x 2  3x  4  0
x  3x  4  ( x  1)( x  4)  0
1  x  4
2
A  1,2,3,4
Изобразить на координатной плоскости
множества:
2
2
2
A  ( x, y)  R : x  y  0


x 2  y 2  ( x  y)( x  y)  0
 x  y  0

 x  y  0 
 x  y  0

 x  y  0
 y  x

 y   x
 y  x

 y   x
y  x
y
yx
x
Определить множества A  B,
A  x  R : 0  x  2,
A  B, если
B  x  R : 1  x  3
A  B  x  R : (0  x  2)  (1  x  3  x  R : 0  x  3
A  B  x  R : (0  x  2)  (1  x  3  x  R : 1  x  2
0
(
1
[
2
)
3
]


A  x  R : x  3x  0
2
x 2  3x  x( x  3)  0


B  x  R : x 2  4x  3  0
x 2  4 x  3  ( x  1)( x  3)  0
A  x  R : 0  x  3
B  D  E  x  R :   x  1 x  R : 3  x  
A  B  A  (D  E)  A  D  E 
x  R : (0  x  3)  (  x  1)  (3  x  ) (,)
A  B  A  ( D  E )  ( A  D)  ( A  E ) 
x  R : (0  x  3)  (  x  1)  (3  x  )
 x  R : (0  x  1)  x    x  R : (0  x  1)
Показать, что

A  B  D,
A  ( x, y ) : x  y  

B  ( x, y ) : x  y  
D  ( x, y) : max{ x , y }   
( x, y )  A  x  y   
 x  y 
x  x2
 x  x2  y2

где
2
2
x2  y2  x2  y2  2 | x |  | y | 
 ( x, y )  B
y  y2  x2  y 2
max{| x |, | y |}  x 2  y 2    ( x, y )  D
 A B D

Доказать, что множество Z всех целых чисел
счётно.
Установим взаимно однозначное соответствие между Z и N.
Упорядочим:
0,1,-1,2,-2,3,-3……..
x  Z 
порядковый номер в последовательности
Доказать, что множество
2
X  {n  N : n  k , k  N} счётно.
0,1,4,9,16……
f : N  X f ( n)  n 2
f- взаимно однозначное
Найти точные верхнюю и нижнюю грани
множества X= [0,1).
x  X
y  [0,1) :
yx

наибольшего элемента нет
[1,) -множество верхних граней
1 – наименьший элемент
 sup[ 0,1)  1
1 [0,1) :
0 – наименьший элемент множества [0,1)
(,0] -множество нижних граней
 inf[ 0,1)  min[ 0,1)  0
0 – наибольший элемент
Для множества
1
X  {x  R : x  n , n  N }
2
найти sup X , inf X ,
если они существуют.
1 1
1
0  n  , n
max X 
X
2
2
2
1
1
1
1
x  X x  n  y  n 1
y  n 1  x  n
2
2
2
2
 наименьшего элемента нет  min X
1
[ ,) -множество верхних граней
2
(,0] -множество нижних граней
1
sup X   X
2
inf X  0  X
Пусть X , Y  R произвольные ограниченные сверху
множества.
Доказать, что множество
X  Y  {z  R : z  x  y , x  X , y  Y }
ограничено сверху
sup( X  Y )  sup X  sup Y
x  X  M  R : x  X x  M
y  Y  M 1  R : y  Y y  M 1
 x  y  M  M1  X  Y -ограничено сверху
sup X  M * sup Y  M 1*   sup( X  Y )
x  y  M *  M 1*
  0  x  X
'
M 
x  y  X  Y
'
'
*

 x  M  y Y
'
*
'
M1 
*

 y'  M1
2 *
2 *
*
'
'
*
(M  M 1 )    x  y  M  M 1
sup( X  Y )  sup X  sup Y
*
Метод математической индукции.
Чтобы доказать, что некоторое утверждение верно для любого номера n,
достаточно установить, что
1) это утверждение верно для n=1;
2) если утверждение справедливо для n , то оно справедливо и для n+1.
Доказать, что для любого n справедливо
равенство
n(n  1)( 2n  1)
1  2  ....  n 
6
2
n 1
2
2
1 2  3
1
6
верно
Пусть равенство верно для n. Докажем для n+1.
n(n  1)( 2n  1)
1  2  ....  n  (n  1) 
 (n  1) 2 
6
n(n  1)( 2n  1)  6(n  1) 2 (n  1)[ n(2n  1)  6(n  1)]



6
6
(n  1)( n  2)( 2n  3) (n  1)(( n  1)  1)( 2(n  1)  1)


6
6
2
2
2
2
Доказать неравенство Бернулли
(1  x)  1  n  x
n
n2
x  1, n  N
(1  x ) 2  1  2 x  x 2  1  2  x
верно
Пусть неравенство верно для n. Докажем для n+1.
(1  x) n1 (1  x) n (1  x)  (1  n  x)(1  x) 1  nx  x  nx 2 
 1  n( x  1)  nx 2  1  n( x  1)