Анализ случайных величин • Опр. Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно. • Опр. Дискретной случайной величиной называют такую случайную величину, множество возможных значений которой либо конечно, либо бесконечно, но обязательно счетно. • Опр. Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала. • Случайные величины: • значения: x, y, z,.... . X ,Y , Z ,....; Определение. • Суммой X Y случайных величин X и Y называется случайная величина Z , возможные значения которой есть x1 y1 , x1 y2 , x1 y3 ,..., x1 y j , x2 y1 , x2 y2 ,..., x2 y j ,..., xi y1 , xi y 2 , xi y3 ,..., xi y j ,..., xn y m . • Опр. Произведением X Y случайных величин X и Y называется случайная величина Z , возможные значения которой есть x1 y1 , x1 y 2 , ..., x1 y j , x2 y1 , x2 y2 ,..., x2 y j ,.. ..., xi y1 , xi y2 ,..., xi y j ,.. ..., xn ym . • Опр. Произведением C X случайной величины X на C постоянную называется случайная величина Z , возможные значения которой есть Cx1 , Cx2 , Cx3 ,..., Cxi . • Эмпирическая функция распределения это функция равная отношению числа вариант, меньших x , к объему выборки: . n( x ) F ( x) n Свойства эмпирической функции распределения. • 1) • 2) 0 F ( x) 1; F (x ) - неубывающая; • 3) если x1 наименьшая варианта, то F ( x) 0, при x x1 ; 4) если x k наибольшая варианта, то F ( x ) 1, при k xx. Математическое ожидание. xi x1 x2 x3 pi p1 p2 p3 in p i 1 i 1. …….. …….. xn pn • Опр. Математическим ожиданием MX дискретной случайной величины X наз. сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности появления этих значений: n M ( X ) xi pi . i 1 • Пусть случайная величина X приняла значения x1 , x2 ,..., xk . Причем x1 появилось m1 раз, x 2 появилось m2 раз, ………………………., x k появилось m k раз. x1 m1 x2 m2 ... xk mk mk m1 m2 X x1 x2 ... xk , m1 m2 ... mk n n n где m1 m2 ... mk n. • При n • Тогда mi pi . n X MX . • Опр. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат a; b , называется b f ( x)dx. a • Если возможные значения принадлежат ; , то MX f ( x)dx. 1. MC C. 2. M (CX ) C MC . 3.Если X , Y независимые случайные величины, то M ( X Y ) MX MY . 4.Если X , Y независимые случайные величины, то M ( XY ) MX MY . 5. M ( X MX ) 0. • Пример 1. xi 2 5 8 19 p i 0,2 0,3 0,4 0,1 MX 2 0,2 5 0,3 8 0,4 19 0,1 7. Пример 2. 0 , x 1, f ( x) x 3 , 0, x 1; 1 x 2; 2 x 3; x 3. MX x f ( x)dx 1 2 3 2 1 2 3 1 x 0dx x ( x 1)dx x (3 x)dx x 0dx ( x 2 x)dx 3 (3x x 2 )dx 2 2 x x 3 2 1 3 2 2 3x x 2. 3 2 2 2 3 f (x ) 2 1 2 3 xi Дисперсия • Опр. Математическое ожидание квадрата отклонения СВ X от её математического ожидания MX называют дисперсией СВ X : • DX M ( X MX ) . 2 • Если СВ X - дискретная СВ, то n DX ( xi MX ) pi . 2 i 1 • Если СВ X - дискретная СВ, то DX ( x MX ) f ( x)dx. 2 • Среднее квадратическое отклонение ( x) D( X ). Свойства дисперсии • • • • • 1. 2. 3. 4. 5. D( X Y ) DX DY . DC 0. D(CX ) C DX . 2 DX MX ( MX ) . 2 2 D( X MX ) DX . • Опр. СВ X MX называется центрированной: M ( X MX ) 0, D( X MX ) DX . • Опр. СВ X MX x называется стандартной: X MX X MX 0, D 1. M x x • Опр. Начальным моментом k го порядка k СВ X называется k MX . k k MX : • Опр. Центральным моментом k порядка k СВ X называется го M ( X MX ) : k M ( X MX ) . k k • Опр. Коэффициентом асимметрии наз-ся величина : 3 3 x . 3 A 3. x A • Опр. Эксцессом E наз-ся величина 4 3 . 4 x 4 E 4 3. x