Вероятности случайных событий Теория вероятностей математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений Принцип сложения • Принцип сложения 1: Если объект a можно получить n способами, объект b можно получить m способами и эти способы различны, то объект «a или b» можно получить n+m. • Принцип сложения 2: Если объект a можно получить n способами, объект b можно получить m способами, то объект «a или b» можно получить n+m-k способами, где k – это количество повторяющихся способов. Перестановки • Число всех перестановок обозначается Pn • Итак, Pn n! Пример В команде 6 человек. Сколькими способами они могут построиться для приветствия? Решение Число способов построения равно числу перестановок 6 элементов, т.е. P6 6! 1 2 3 4 5 6 720 Размещения • Определение 1 Размещением из n элементов по k называется всякая перестановка из k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n. Пример Дано множество A a; b; c . Составим все 2размещения этого множества. a; b; b; a; a; c; c; a; b; c; c; b Число размещений • Теорема 1 Число всех размещений из n элементов по k вычисляется по формуле Ank n(n 1)( n 2)...( n k 1). • Доказательство. Каждое размещение можно получить с помощью k действий: • 1) выбор первого элемента n способами; • 2) выбор второго элемента (n-1) способами; • и т. д. • k) выбор k –го элемента (n-(k-1))=(n-k+1) способами. По правилу умножения число всех размещений будет n(n-1)(n-2)…(n-k+1). Теорема доказана. Число размещений • Замечание. Формулу для числа размещений можно записать в виде Ank n! . (n k )! • Действительно Ank n! (n k )!(n k 1) ... (n 1)n (n k 1) ... (n 1)n. (n k )! (n k )! Сочетания • Определение 1 • Сочетанием из n элементов по k называется всякая совокупность попарно различных k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n элементов. • Другими словами k-сочетание – это kэлементное подмножество n элементного множества. A a; b; c • Пример. Дано множество . {a; b};{a; c};{b; c} Составим 2- сочетания: Сочетания • • Теорема 1 Число k- сочетаний n-элементного множества вычисляется по формуле C nk • n! k!(n k )! Доказательство. Из каждого k-сочетания, переставляя его элементы всевозможными способами, получим k! размещений. Значит, k!Cnk Ank • Отсюда k A n! k n Cn k! k!(n k )! Свойства сочетаний 1) Сn0 Cnn 1 Доказательство: Сn0 n! n! 1 0!(n 0)! n! Сnn n! n! 1 n!(n n)! n! Cn1 Cnn 1 n 2) Доказательство: n! (n 1)! n С n 1!(n 1)! (n 1)! 1 n Сnn 1 n! n! (n 1)! n n. (n 1)!(n (n 1))! (n 1)!1! (n 1)! Свойства сочетаний 3) С nk C nn k Доказательство: Сnk n! k!(n k )! Сnn k n! n! (n k )!(n (n k ))! (n k )! k! Cnk Cnn k 4) C nk11 C nk 1 C nk Доказательство: Сnk11 (n 1)! (n 1)! (k 1)!(n 1 (k 1))! (k 1)!(n k )! Сnk 1 Cnk n! n! n!(n k ) n!(k 1) n!(n 1) (n 1)! (k 1)!(n k 1)! k!(n k )! (k 1)!(n k )! (k 1)!(n k )! (k 1)!(n k )! Бином Ньютона n ( а b) C a n k 0 k n nk b k Классическое определение вероятности • Определение: Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных этому событию случаев к общему числу всех случаев m P( A) n Свойства вероятности 1. P ( A) m n 1 n n 2. 0 P ( A) 0 n 3. 0≤P(A)≤1 - вероятность достоверного события; - вероятность невозможного события; - вероятность любого события. Относительная частота • Определение: Относительной частотой называется отношение числа испытаний, в которых событие появилось к общему числу фактически произведенных испытаний m P ( A ) • - относительная частота события А n или статистическая вероятность, m- число появлений события,n – общее число испытаний. • Отличие вероятности от относительной частоты: вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта. • Опр. Событие называется случайным по отношению к данному испытанию (опыту), если при осуществлении этого испытания (опыта) оно может наступить или не наступить. • Событие обозначается: A, B, C ,.... Определения. 1.Событие , которое в результате опыта обязательно произойдет называется достоверным. 2.Событие, которое в результате опыта никогда не наступит называется невозможным. 3. Если одновременно одно событие влечет за собой другое и наоборот, такие события называются равносильными. 4. События называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление любого другого. 5. События называются равновозможными, если в результате испытания по условиям симметрии ни одно из этих событий не является объективно более возможным. 6. События называются единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них является практически достоверным событием. 7. Несколько событий образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания. Это означает, что в результате испытания обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий. A B A B • Опр. Произведением событий A и B называется событие AB , состоящее в одновременном появлении этих событий. A B AB • Опр. Событие А называется противоположным событию A , если оно считается наступившим тогда и только тогда, когда A не наступает. А A Опр. Разностью A B двух событий A и B называется событие, которое состоится, если событие A произойдет, а событие B не произойдет. A B A B Правило сложения вероятностей. Если события несовместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P A B P A PB P A B P A PB P(AB) • Опр. Условной вероятностью PB A события A относительно события B называется вероятность осуществления события A при условии, что событие B уже произошло. P AB PB A PB P AB PB PB A • Опр. События называются независимыми, если наступление одного не меняет шансов появления другого . Если события A и B независимы, то P AB P A PB ЗАМЕЧАНИЯ. • Для совместных событий: P( А В) P( А) P( В) P( АВ); • Для несовместных событий: P( А В) P( А) P( В); • Для независимых событий: P( AB) P( A) P( B); • Для зависимых событий: P AB P A PA B • Предположим, что событие A может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместных событий Н1 ,..., Н n тогда имеет место формула n P( А) P( H i ) PH ( A) i 1 i • Эта формула решает следующую задачу: пусть произведен опыт, и в результате него наступило событие A. Сам по себе этот факт ещё не позволяет сказать, какое из событий Н1 ,..., Н n имело место в проделанном опыте. Можно поставить следующую задачу: найти вероятности PA H i ФОРМУЛА БАЙЕСА PA H i PH i PH A P A i