Элементы теории вероятности

1
1.Что изучает теория вероятностей? Случайные
события.
2. Эксперименты со случаем. Сравнение шансов.
Вероятностная шкала.
3. Частота и вероятность случайного события.
4. Статистическое определение вероятности.
5. Вероятность и комбинаторика.
6. Исторические комбинаторные задачи.
7. Вероятность вокруг нас.
2
Мы часто говорим:
"это возможно",
"это невозможно",
"это маловероятно",
"это обязательно случиться".
События, которое в одних и тех же условиях
может произойти, а может и не произойти,
называются случайными.
3
4
События, которые при данных условиях
имеют
равные
шансы,
называются
равновероятными.
События, которые при данных условиях
обязательно
происходят,
называют
достоверными.
События, которые при данных условиях не
могут
произойти,
называют
невозможными.
5
В коробке 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара.
Вытаскиваем, не глядя, один за другим шара.
Какие из следующих событий невозможные,
достоверные, случайные:
А: все вытянутые шары одного цвета;
В: все вытянутые шары разного цвета;
С: среди вытянутых есть шары разного цвета;
D: среди вытянутых есть шары всех трех шаров.
6
Можно ли оценить
шансы наступления
интересующего нас
события?
7
Бросают игральный кубик.
Выясним, каковы шансы наступления следующих
событий:
А: выпадет четное число очков;
В: выпадет меньше десяти очков;
С: выпадет пять очков;
D: выпадет семь очков.
8
А: три шанса из шести;
В: достоверное;
С: один шанс из шести;
D: невозможное.
 D, С, А, В.
9
Сравните между собой на основе опыта
общения по телефону шансы следующих
случайных событий и определите, какие из
них боле вероятны:
А: вам никто не позвонит с 5 до 6 утра;
В: вам кто-нибудь позвонит с 5 до 6 утра;
С: вам кто-нибудь позвонит с 6 до 9 вечера;
D: вам никто не позвонит с 6 до 9 вечера.
10
Какие из перечисленных ниже событий
случайные, достоверные, невозможные:
а) черепаха научится говорить;
б) вода в чайнике, стоящем на плите, закипит;
в) день рождения одного из ваших знакомых – 30 февраля;
г) вы выиграете, участвуя в лотереи;
д) вы не выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее;
е) вы проиграете партию в шахматы;
ж)вы завтра встретите инопланетянина;
з) на следующей недели испортится погода;
и) вы нажали на звонок, а он не звонит;
к) сегодня – четверг;
л) после четверга будет пятница;
м) после пятницы будет четверг.
11
Придумайте по три примера достоверных,
невозможных и случайных событий.
12
В коробке лежат 2 красных, 1 желтый и 4 зеленых шара.
Из коробки наугад вынимают три шара. Какие из
следующих событий невозможные, случайные,
достоверные:
А: будут вытянуты три зеленых шара;
В: будут вытянуты три красных шара;
С: будут вытянуты шары трех цветов;
D: будут вытянуты шары одного цвета;
E: среди вытянутых шаров есть синий;
F: среди вытянутых шары трех цветов;
G: среди вытянутых есть два желтых шара.
13
Данил и Егор договорились: если стрелка
вертушки остановится на белом поле, то
забор будет красить Егор, а если на
голубом поле – Данил. У кого из
мальчиков больше шансов красить забор?
14
Используя выражения «более вероятно», «менее
вероятно», «равновероятные события», сравните
возможность наступления случайных событий А и В:
а) Вы просыпаетесь утром.
А: это будет день. В: это выходной.
б) Вы подбрасываете игральный кубик.
А: выпадет шестерка. В: выпадет не шестерка.
в) Сборная России играет в хоккей со сборной Чехии.
А: выиграет сборная России.
В: сборная России не выиграет.
15
В коробке лежат черные и белые шары. Из
нее наугад вытягивают один шар.
Используя выражения «более вероятно»,
«менее вероятно», «равновероятные
события», сравните возможность
наступления случайных событий А и В, где
А: вытянутый шар будет белым;
В: вытянутый шар будет черным
16
17
Три господина, придя в ресторан, сдали в
гардероб свои шляпы. Расходились по домам они
уже в темноте и разобрали свои шляпы наугад.
Какие их следующих событий невозможные,
случайные, достоверные:
А: каждый надел свою шляпу;
В: все надели чужие шляпы;
С: двое надели чужие шляпы, а один – свою;
D: двое надели свои шляпы, а один – чужую.
Проверь себя!
18
 Есть
ли среди событий А, В и С
равновероятные?
 Какое из событий А и В более вероятно?
 Какое из событий С и В менее вероятно?
 Какое из событий А, В и С менее вероятно?
19
 Какие
события называются случайными?
 Какие события называются равновероятными?
 Какие события называются достоверными?
Невозможными?
 Какие события называются более вероятными?
Менее вероятными?
20
В коробке лежат 10 красных, 1 зеленая и 2 синие
ручки. Из коробки наугад вынимают две ручки.
Какие из следующих высказываний
невозможные, случайные и достоверные:
А: будут вынуты две красные ручки;
В: будут вынуты две зеленые ручки;
С: будут вынуты две синие ручки;
D: будут вынуты две ручки разных цветов;
E: будут вынуты два карандаша.
21
Два приятеля с помощью вертушки решают, как
им провести воскресенье: если стрелка
остановится на белом поле, они пойдут в кино;
если на голубом – на стадион. Какое из событий
вероятнее: приятели пойдут на стадион или в
кино?
22
123 132 213 231 312 321
А, В и С – случайные
D - невозможное
23
 Винни-Пух
и Пятачок обычно решают, к
кому идти в гости , с помощью вертушки.
Если стрелка остановится на черном поле,
то они идут к Винни Пуху, если на зеленом
к Пяточку. К кому они ходят чаще? Во
сколько раз?
24
Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1.07.1646 - 14.11.1716)
- всемирно известный немецкий учёный,
занимался философией, математикой,
физикой, организовал Берлинскую
академию наук и стал её первым
президентом. В математике он вместе с
И. Ньютоном разделяет честь создателя
дифференциального и интегрального
исчислений. В 1666 году Лейбниц
опубликовал "Рассуждения о
комбинаторном искусстве". В своём
сочинении Лейбниц, вводя специальные
символы, термины для подмножеств и
операций над ними находит все k сочетания из n элементов выводит
свойства сочетаний…
25

Замки и ключи.
Перед нами 10 закрытых замков и 10 похожих ключей
к ним. К каждому замку подходит только один ключ,
но ключи смешались. Возьмем один из замков,
назовем его первым и попробуем открыть его каждым
из 10 ключей. В лучшем случае он откроется первым
же ключом, а в худшем - только десятым.
Сколько нужно в худшем случае произвести проб,
чтобы открыть все замки?
ответ
26
.
Чайная комбинаторика.
В магазине "Все для чая'' есть 5 разных
чашек и 3 разных блюдца. Сколькими
способами можно купить чашку с блюдцем?
28
 Ответ:
Выберем чашку. В комплект к ней
можно выбрать любое из трех блюдец.
Поэтому есть 3 разных комплекта,
содержащих выбранную чашку. Поскольку
чашек всего 5, то число различных
комплектов равно 15 ( 15=5*3 ).
29
.
Выбираем варенье.
У вас в тёмном чулане стоят банки с
вареньем трёх сортов: яблочное, сливовое
и земляничное. Какое наименьшее
количество банок вам надо взять, не
глядя, чтобы среди них наверняка
оказалось не менее девяти банок с
вареньем одного сорта?
30
 Ответ:
25 банок. При этом распределение
по сортам будет (к примеру) таким: 8
банок - с яблочным вареньем, 8 - со
сливовым и 9 - с земляничным (8+8+9=25).
Двадцати четырех банок для выполнения
условия уже не хватает: каждого сорта
может быть только по 8 банок.
31
32
"Статистическая
информация и формы
ее представления"
33
« Статистика знает все. Известно,
сколько какой пищи съедает в год средний
гражданин республики… Известно, сколько
в стране охотников, балерин… станков,
собак всех пород, велосипедов,
памятников, маяков и швейных машинок…
Как много жизни, полной пыла, страстей и
мысли глядит на нас со статистических
таблиц! »
И.Ильф, Е.Петров
 Статистика
– “состояние” - наука,
занимающаяся обработкой и анализом
количественных данных о разнообразных
явлениях;
 Общий ряд данных //генеральная
совокупность//- множество всех
возможных результатов измерения;
 Выборка //статистический ряд// множество результатов реально
получившихся в данном измерении;
 Варианта - значение одного из
результатов измерения;
Ряд данных //ранжированный ряд// значения всех результатов измерений,
перечисленные по порядку;
Репрезентативная выборка –
представительная;
Кратность варианты – количество
повторений выборки;
Частота варианты =
Полигон частот - график распределения
частот или кратностей;
Гистограмма – столбчатая диаграмма.
Средним арифметическим
ряда чисел называется
частное от деления суммы
этих чисел на их количество
Модой ряда чисел
называется число,
наиболее часто
встречающееся в
данном ряду
3,2,4,5,3,2,4,4
Мо = 4
7, 2, 4, 5 Мо – нет
4, 4, 3, 5, 2, 3
Мо = 3,4
2,3,3,4,4,5,5
Медианой упорядоченного
числового ряда
называется число, которое
делит его ровно пополам.
Me = 4
Размах – это
разность
наибольшего и
наименьшего
значений ряда
1)Определите, является ли
репрезентативной выборка:
А) Число автомобильных аварий в июне,
если необходимо
составить статистический отчет по
авариям в городе за год.;
Б) Городски жители при подсчете числа
автомобилей на душу
населения в стране;
В) Люди в возрасте от 40 до 50 лет при
выяснении рейтинга
молодежной телепрограммы.
А) Определите наиболее популярный
сорт молока.
Б) Сколько тыс. литров продано
полностью обезжиренного молока?
В) Как вы думаете, на что следует
обратить внимание производителя
молока в следующем месяце?
Объем продаж,%
35
30
25
20
15
10
5
0
0
0,5
1
2,5
3,2
Жирность молока, %
3,8
6
1) Даны результаты успеваемости
учащихся 9 “в” класса по геометрии за
полугодие:
“5” - 3 учащихся
“4” - 6 учащихся
“3” - 7 учащихся
“2” - 0 учащихся
2) Постройте таблицу распределения
выборки и полигон распределения
кратностей.
Варианта
Кратность
варианты
«5»
«4»
«3»
«2»
3
6
7
0
количество учащихся
8
7
6
5
4
3
2
1
0
"5"
"4"
"3"
оценки
"2"
Работниками телевидения был проведен
опрос среди молодежи с целью
определения времени просмотра
телевизионных программ. Всего было
опрошено 1000 человек. Зависимость
числа зрителей от времени суток
показана на гистограмме:
А) В какие периоды времени число
зрителей превосходит 500 человек?
Б) Сколько человек в среднем смотрят
телевизор в течение часа, в период с 16
часов до 19 часов?
В) Как бы вы использовали данные этого
опроса, если бы были главным
редактором молодежной программы?
количество зрителей
800
700
600
500
400
300
200
100
0
 На
диаграмме представлено
зависимость смертности от
количества выкуриваемых сигарет.
Какой вывод можно сделать?
Количество человек (%)
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0,5 пачки
0,5-1 пачки
1-2 пачки
более 2
Количество выкуренных пачек сигарет за день
Заполните таблицу, зная, что объем
выборки равен 60.
Вариа
нта
Кратно
сть
вариан
ты
1
3
2
6
3
15
4
21
5
12
6
3
Частот
а
кратно
сти
0,05
0,1 0,25 0,35
0,2 0,05
Объем
выбор
ки =
60
Вариа
нта
Кратно
сть
вариан
ты
1
3
2
6
3
15
4
21
5
12
6
3
Частот
а
кратно
сти
0,05
0,1 0,25 0,35
0,2 0,05
Объем
выбор
ки =
60
В отделе “Бытовая техника” в течение
дня произведен учет стоимости
проданного товара: 1200, 1110, 2300,
890, 320, 1200, 560, 1340, 1400, 1050,
1050, 4700, 3200, 2900, 2100, 2450,
890, 1110, 1200, 1200, 2300, 1050,
1400, 1200, 890, 320, 1320, 890,
1100,1050.
Представьте данные в виде
интервальной таблицы, разбив на
интервалы: от 0 до 1000; 1000-2000;
2000-3000; 3000-4000; 4000-5000
вычислите кратность и частоту
варианты. Постройте гистограмму
кратности. Какой интервал цен
оказался наиболее популярным?
Вариант
а
(интерв
ал цен)
Кратнос
ть
вариант
ы
01000
7
1000- 20002000 3000
16
5
Всего
вариант
3000- 40004000 5000 5
1
1
Объем
выборк
и
17
16
15
14
13
12
Кратность варианты
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
Среди учащихся 9 классов была
проведена контрольная работа.
Результаты контрольной работы
представлены в виде таблицы:
Представьте в виде диаграммы.
Варианта
(оценка)
Кратност
ь
варианты
Частота
варианты
Частота
%
варианты
«2»
«3»
«4»
«5»
2
22
12
4
0,05
0,55
0,3
0,1
5
55
30
10
Всего 4
варианты
Объем
выборки=
4
Сумма =1
Сумма =
100%
"5"
"2"
"4"
"3"
Предмет
теории
вероятностей. Понятие
вероятности и его
интерпретации.
62
Предметом теории вероятностей
является построение и
исследование математических
моделей случайных явлений и
процессов, наблюдаемых в
статистических экспериментах.
 Исходом
эксперимента называют значение
наблюдаемого признака, непосредственно
полученное по окончании эксперимента.
Каждый эксперимент заканчивается одним
и только одним исходом.
 Событием, наблюдаемым в эксперименте,
называют появление исхода, обладающего
заранее указанным свойством.
Статистическое определение вероятности
обеспечивает нам принципиальную
возможность оценки вероятности любого
события и во всех случаях, когда возможно
проведение реальных экспериментов и
изучение изменения относительной частоты
m/n по их результатам. Но любая серия
реальных экспериментов может дать только
приблизительную оценку значения
вероятности, а сам статистический подход
также связан с серьезными теоретическими
проблемами.
 Теория вероятностей не занимается оценкой
вероятностей реальных событий. Теория
вероятностей строит математические модели,
которые, а зависимости от конкретных
значений их параметров позволяют вычислять





Достоверное событие – это событие, которое
происходит при каждом проведении рассматриваемого
эксперимента.
Невозможное событие – это событие, которое никогда
не может произойти при проведении данного
эксперимента. Противоположное событие ( по
отношению к рассматриваемому событию А) – это
событие А1, которое не происходит, если А происходит,
и наоборот.
Суммой двух случайных событий А и В называют новое
случайное событие А+В, которое происходит, если
происходят либо А, либо В, либо А и В одновременно.
Произведением двух случайных событий А и В
называется новое случайное событие А·В, которое
происходит только тогда, когда происходят события А и
В одновременно.




Достоверное событие – это событие, которое
происходит при каждом проведении рассматриваемого
эксперимента.
Невозможное событие – это событие, которое никогда
не может произойти при проведении данного
эксперимента. Противоположное событие ( по
отношению к рассматриваемому событию А) – это
событие А1, которое не происходит, если А происходит,
и наоборот.
Суммой двух случайных событий А и В называют новое
случайное событие А+В, которое происходит, если
происходят либо А, либо В, либо А и В одновременно.
Произведением двух случайных событий А и В
называется новое случайное событие А·В, которое
происходит только тогда, когда происходят события А и
В одновременно.
 Случайная
величина – это математическая
модель теории вероятностей, имеющая
большое значение и широчайшее
применение.
 В очень многих случаях при работе со
случайными величинами достаточно знать
лишь вероятности всех возможных
значений случайной величины.






Для каждого из описанных событий определите, каким
оно является: невозможным, достоверным или
случайным.
Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения:
1) 30 января; 2) 30 февраля.
Решение:
Событие, заключающееся в том, что двое из 25
учащихся родились 30 января – случайное, оно может
произойти, а может и не произойти (все зависит от
состава группы из 25 учащихся).
Второе событие – невозможное, поскольку даты 30
февраля не существует, следовательно, никто из
учащихся не мог родиться в такой день
Ответ: 1) случайное; 2) невозможное.
В
заключении своей работы мы решили
опросить учителей, родителей, соседей и
сделать статистический опрос по
предстоящем выбором президента
Российской Федерации:
 Путин – 70%
 Зюганов – 19%
 Жириновский – 9%
 Богданов – 2%
Процентное соотношение избирателей
70
60
50
Медведев
40
Зюганов
Жириновский
30
Богданов
20
10
0
Медведев
Зюганов
Жириновский
Богданов