Алгебра логики

Алгебра логики
Основные понятия
Логика - наука о правильном мышлении, или о
правилах, которым подчиняется процесс
рассуждения.
Предметом логики являются законы и формы,
приемы и операции мышления, с помощью которых
человек познает окружающий его мир.
Суждение - это форма мышления (мысль), в
которой что-либо утверждается или отрицается в
отношении субъекта. Суждения бывают истинные
или ложные.
Основные понятия
Умозаключение - это форма мышления
(рассуждение), в процессе которого из некоторых знаний,
выраженных в исходных суждениях (посылках), получают новое
знание, выраженное в итоговом суждении (заключении).
Высказывание (суждение) - это форма
мышления, выраженная с помощью понятий, посредством
которой что-либо утверждают или отрицают о предметах, их
свойствах и отношениях между ними.
Высказывание называется простым, если никакая его
часть сама не является высказыванием. Высказывание,
состоящее из простых высказываний, называется составным
(сложным).
Упражнение
Укажите какие высказывания простые, а
какие сложные, определите их.
А. Сегодня и завтра я буду работать.
Б. Все трубы железные.
В. Сегодня или через три дня мне привезут
заказ.
Г. Если углы при основании равны, то
треугольник равнобедренный.
Логические элементы
Инверсия
(отрицание)
логического
высказывания ложна т.т.т.к. само высказывание
истинно, и истинно, когда само высказывание
ложно.
Обозначение:
A
Читается:
не A
A
A
1
0
0
1
Логические элементы
Конъюнкция (логическое умножение) двух
логических элементов истинна т.т.т.к. оба
высказывания одновременно истинны и ложна
во всех остальных случаях.
Обозначение:
A&B, A^B, A*B
Читается:
AиB
A
B
A^B
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Логические элементы
Дизъюнкция (логическое сложение) двух
логических элементов ложна т.т.т.к. оба
высказывания одновременно ложны и истинна
во всех остальных случаях.
Обозначение:
A B
Читается:
A или B
A
B
AvB
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Логические элементы
Эквивалентность двух логических элементов
истинна т.т.т.к. оба высказывания принимают
одинаковые значения, и ложна во всех
остальных случаях.
Обозначение:
AB
Читается:
A т.т.т.к. B
A
B
AB
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Логические элементы
Импликация(логическое следование) двух
логических элементов ложна т.т.т.к. первое
высказывание истинное, а второе ложное и
истинно во всех остальных случаях.
Обозначение:
AB
Читается:
Если A то B
AB
A
B
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
Логические элементы
Неравнозначность двух логических элементов
ложна т.т.т.к. оба высказывания принимают
одинаковые значения, и истинна во всех
остальных случаях.
Обозначение:
A B
Читается:
A неравнозначно B
A
B
A B
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Количество строк в таблице
истинности
K 2
N
K – КОЛИЧЕСТВО СТРОК
N – КОЛИЧЕСТВО ЛОГИЧЕСКИХ СИМВОЛОВ
Количество столбцов в таблице
истинности
s  k o
S – КОЛИЧЕСТВО СТОЛБЦОВ
K – КОЛИЧЕСТВО ЛОГИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
O – КОЛИЧЕСТВО ЛОГИЧЕСКИХ СВЯЗОК
Законы алгебры логики
1. Закон двойного отрицания:A
2.
A B  A B
3.
A B  A B
A
Законы де Моргана
5.
A  B  A B
A  B  A B
6.
A  B  ( A  B)  ( A  B)  ( A  B)  ( A  B)
7.
A  ( A  B)  A
8.
A  ( A  B)  A
9.
A  ( A  B)  A  B
4.
Законы поглощения
Законы алгебры логики
10. A 
A B  A B
13. Законы идемпотентности:
11. Законы коммутативности:
A B  B  A
A B  B  A
A A  A
A A  A
14. Законы дистрибутивности:
12. Законы ассоциативности:
A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )
A  ( B  C )  ( A  B)  ( A  C )
( A  B)  C  A  ( B  C )
( A  B)  C  A  ( B  C )
15.
A  1  1; A  1  A; A  A  1
16.
A  0  0; A  0  A; A  A  0