Идентификация динамических моделей объектов

ИДЕНТИФИКАЦИЯ
ДИНАМИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ ОБЪЕКТОВ
Дискретные динамические модели
стохастических объектов
В динамическом режиме поведение объектов описывается различными динамическими
уравнениями: обыкновенными дифференциальными, интегральными,
интегродифференциальными уравнениями; уравнениями с запаздываниями;
уравнениями в частных производных и их дискретными аналогами. С целью упрощения
будем рассматривать наиболее простые дискретные модели. Последние выбраны
именно потому, что получаемые алгоритмы идентификации и управления напрямую
реализуемы на цифровой вычислительной технике (мини-,микро-ЭВМ,
микропроцессоры).
Дискретные модели привязаны к номерам дискретных моментов времени и поэтому
основным аргументом для входных u(t) и выходных x(t), y(t) переменных является
номер дискреты t = 0, 1, 2,…
Например:
x(t )  Ax (t  1)  Bu(t  1), t  1, 2, ..., x(0)  x0
x(t )  f ( x(t  1), u(t  1),(t  1), ), t  1, 2, ..., x(0)  x0
Дискретные динамические модели
стохастических объектов
Считаем, что объект описывается дискретным уравнением:
x (t )  ax (t  1)  bu(t  1)  e(t )  ce(t  1), t  1, 2, ... .
Модель имеет вид:



y (t )  ax(t  1)  b u (t  1)  с ( x(t  1)  y (t  1))
e( t )
q
c

u( t )
q
b

(t )

a
x (t )
q
Дискретные динамические модели
стохастических объектов
Если объект имеет вид:
x (t )  ax (t  1)  b(u(t  1)  e(t  1))
То оптимальная модель имеет вид:


y (t )  ay (t  1)  b u(t  1), t  1, 2, ... .
e( t )
u( t )

q
b

x (t )
a
q
Подстройка параметров
с использованием функций чувствительности
Для примера рассмотрим модель:



y (t | (t ))  a (t ) x (t  1)  b (t )u(t  1)  c (t )[ x (t  1)  y (t  1 | (t ))]



(t )  ( a (t ), b (t ), c (t ))T
Построим алгоритм расчета параметров:
Линеаризуем модель относительно параметров α(t-1) , вычисленных в
предыдущий момент времени:



y (t | (t ))  y (t | (t  1))  a (t )a (t )  b (t )b (t )  c (t )c (t )  y (t | (t  1))  T (t )(t )
Здесь y(t|α(t-1)) – выход модели в момент времени t при значениях параметров,
полученных в предыдущий момент времени t-1



y(t | (t  1))  a (t  1) x(t  1)  b (t  1)u(t  1)  c (t  1)[ x(t  1)  y(t  1 | (t  1))]
ω(t) – вектор-столбец функций чувствительности выхода модели к параметрам
модели.
Подстройка параметров
с использованием функций чувствительности
Функции чувствительности удовлетворяют уравнениям чувствительности:

a (t )  c (t  1)a (t  1)  x(t  1), a (0)  0

b (t )  c (t  1)b (t  1)  u(t  1), b (0)  0

c (t )  c (t  1)c (t  1)  ( x(t  1)  y (t  1 (t  1))), c (0)  0
Каждое уравнение чувствительности получается дифференцированием
уравнения модели по соответствующему параметру.
Для расчета параметров α(t) можно использовать, например, простейший
адаптивный алгоритм:
(t )( x (t )  y (t ( (t  1))
(t )  (t  1) 
T (t )(t )
Применение простейшего адаптивного
алгоритма
Рассчитаем параметры линейных и нелинейных динамических моделей на основе
простейшего адаптивного алгоритма.
(t )  (t  1) 
(t )( x (t )  y (t ( (t  1))
T (t )(t )
Пример: Рассмотрим модель без обратной связи:
n
m 

y (t )   ai x (t  i )   b j u (t  j )
i 1
j 1
Функциями чувствительности выхода модели к ее параметрам являются
измеренные значения выхода и входа объекта:
ai (t )  x(t  i ), i  1, n, b j (t )  u(t  j ), j  1, m
Применение простейшего адаптивного
алгоритма
В каждый текущий момент времени t на основе измерений x(t); x(t-1), u(t-1); x(t-2), u(t-2)
параметры корректируем по простейшему адаптивному алгоритму:
x (t )  y (t | (t  1))


ai (t )  ai (t  1)  n
x (t  i ); i  1, n
m
2
2


(
t
)


 ai
 b (t )
i 1
j 1
j


x (t )  y (t | (t  1))
b j (t )  b j (t  1)  n
u(t  j ); j  1, m
m
2
2
 ai (t )   b (t )
i 1
j 1
j
m 

y (t | (t  1)   ai (t  1)x(t  i )   b j (t  1)u(t  j )
n
i 1
j 1
Применение простейшего адаптивного
алгоритма
Рассмотрим нелинейную модель без обратной связи:
y(t )  f ( x(t  1), u(t  1), 1 , 2 )
Получаем следующие выход модели и функции чувствительности:
y(t | (t  1)  f ( x(t  1), u(t  1), 1 (t  1), 2 (t  1))
 f ( x(t  1), u(t  1), 1 (t  1),  2 (t  1))
1
 f ( x(t  1), u(t  1), 1 (t  1),  2 (t  1))
2 (t ) 
 2
1 (t ) 
Алгоритм перестройки параметров:
1 (t )  1 (t  1) 
x (t )  y (t | (t  1))
1 (t )
2
2
1 (t )   2 (t )
 2 (t )   2 (t  1) 
x (t )  y (t | (t  1))
 2 ( t )
2
2
1 (t )   2 (t )