Часть 8.

ИДЕНТИФИКАЦИЯ И
АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
ДИНАМИЧЕСКИМИ
ОБЪЕКТАМИ
Дискретные динамические модели
стохастических объектов
В динамическом режиме поведение объектов описывается различными
динамическими
уравнениями:
обыкновенными
дифференциальными,
интегральными, интегродифференциальными уравнениями; уравнениями с
запаздываниями; уравнениями в частных производных и их дискретными
аналогами. С целью упрощения будем рассматривать наиболее простые
дискретные модели. Последние выбраны именно потому, что получаемые
алгоритмы идентификации и управления напрямую реализуемы на цифровой
вычислительной технике (мини-,микро-ЭВМ, микропроцессоры).
Дискретные модели привязаны к номерам дискретных моментов времени и
поэтому основным аргументом для входных u(t) и выходных
x(t), y(t)
переменных является номер дискреты t = 0, 1, 2,…
Например:
x(t )  Ax (t  1)  Bu(t  1), t  1, 2, ..., x(0)  x0
x(t )  f ( x(t  1), u(t  1),(t  1), ), t  1, 2, ..., x(0)  x0
Дискретные динамические модели
стохастических объектов
Считаем, что объект описывается дискретным уравнением:
x (t )  ax (t  1)  bu(t  1)  e(t )  ce(t  1), t  1, 2, ... .
Модель имеет вид:



y (t )  ax(t  1)  b u (t  1)  с ( x(t  1)  y (t  1))
e( t )
q
c

u( t )
q
b

(t )

a
x (t )
q
Дискретные динамические модели
стохастических объектов
Если объект имеет вид:
x (t )  ax (t  1)  b(u(t  1)  e(t  1))
То оптимальная модель имеет вид:


y (t )  ay (t  1)  b u(t  1), t  1, 2, ... .
e( t )
u( t )

q
b

x (t )
a
q
Подстройка параметров
с использованием функций чувствительности
Для примера рассмотрим модель:



y (t | (t ))  a (t ) x (t  1)  b (t )u(t  1)  c (t )[ x (t  1)  y (t  1 | (t ))]



Построим алгоритм расчета параметров: (t )  ( a (t ), b (t ), c (t ))T
Линеаризуем модель относительно параметров α(t-1) , вычисленных в
предыдущий момент времени:



y (t | (t ))  y (t | (t  1))  a (t )a (t )  b (t )b (t )  c (t )c (t )  y (t | (t  1))  T (t )(t )
Здесь y(t|α(t-1)) – выход модели в момент времени t при значениях
параметров, полученных в предыдущий момент времени t-1



y(t | (t  1))  a (t  1) x(t  1)  b (t  1)u(t  1)  c (t  1)[ x(t  1)  y(t  1 | (t  1))]
ω(t) – вектор-столбец функций чувствительности выхода модели к
параметрам модели.
Подстройка параметров
с использованием функций чувствительности
Функции чувствительности удовлетворяют уравнениям чувствительности:

a (t )  c (t  1)a (t  1)  x(t  1), a (0)  0

b (t )  c (t  1)b (t  1)  u(t  1), b (0)  0

c (t )  c (t  1)c (t  1)  ( x(t  1)  y (t  1 (t  1))), c (0)  0
Каждое уравнение чувствительности получается дифференцированием
уравнения модели по соответствующему параметру.
Для расчета параметров α(t) можно использовать, например, простейший
адаптивный алгоритм:
(t )( x (t )  y (t ( (t  1))
(t )  (t  1) 
T (t )(t )
Применение простейшего адаптивного
алгоритма
Рассчитаем параметры линейных и нелинейных динамических моделей на
основе простейшего адаптивного алгоритма.
(t )( x (t )  y (t ( (t  1))
(t )  (t  1) 
T (t )(t )
Пример: Рассмотрим модель без обратной связи:


y (t )   ai x (t  i )   b j u (t  j )
n
m
i 1
j 1
Функциями чувствительности выхода модели к ее параметрам являются
измеренные значения выхода и входа объекта:
ai (t )  x(t  i ), i  1, n, b j (t )  u(t  j ), j  1, m
Применение простейшего адаптивного
алгоритма
В каждый текущий момент времени t на основе измерений x(t);
x(t-1), u(t-1); x(t-2), u(t-2) параметры корректируем по простейшему
адаптивному алгоритму:
x (t )  y (t | (t  1))


ai (t )  ai (t  1)  n
x (t  i ); i  1, n
m
2
2


(
t
)


 ai
 b (t )
i 1
j 1
j


x (t )  y (t | (t  1))
b j (t )  b j (t  1)  n
u(t  j ); j  1, m
m
2
2


(
t
)


 ai
 b (t )
i 1
j 1
j
m 

y (t | (t  1)   ai (t  1)x(t  i )   b j (t  1)u(t  j )
n
i 1
j 1
Применение простейшего адаптивного
алгоритма
Рассмотрим нелинейную модель без обратной связи:
y(t )  f ( x(t  1), u(t  1), 1 , 2 )
Получаем следующие выход модели и функции чувствительности:
y(t | (t  1)  f ( x(t  1), u(t  1), 1 (t  1), 2 (t  1))
 f ( x(t  1), u(t  1), 1 (t  1),  2 (t  1))
1
 f ( x(t  1), u(t  1), 1 (t  1),  2 (t  1))
2 (t ) 
 2
1 (t ) 
Алгоритм перестройки параметров:
x (t )  y (t | (t  1))
1 (t )  1 (t  1) 
1 (t )
2
2
1 (t )   2 (t )
 2 (t )   2 (t  1) 
x (t )  y (t | (t  1))
 2 ( t )
2
2
1 (t )   2 (t )
Адаптивные системы обработки информации
В адаптивных системах обработки информации и управления
происходит приспособление к изменяющимся условиям и
неизвестным характеристикам объекта.

u

z
Объект
управления
x
Регулятор
фиксированной
структуры

Блок перестройки
параметров
регулятора
Устройство управления
x
u
z
Объект
управления
x
x
Синтезируемый
регулятор
x*

Блок перестройки
параметров модели
Устройство управления
x*
Постановка задачи адаптивного
управления
Рассматриваем адаптивную систему с идентификацией (АСИ). Синтезируем алгоритм
расчета управления (алгоритм работы устройства управления) u(t) в каждый текущий
момент времени t. Исходными экспериментальными данными о входе и выходе объекта.
Необходимо рассчитать управляющее воздействие u(t) , обеспечивающее достижение
следующей цели: наименьшего уклонения выхода системы x от заданной траектории x*
в каждый текущий момент времени.
Считаем, что поведение объекта в динамическом режиме описывается разностным
уравнением:
x(t )  f ( x(t  1), u (t  1), a)   (t ), t  1, 2, 
Обозначим через y(k|α(t)) выход модели в момент времени k при значении вектора
параметров α(t), вычисленных в момент времени. Если шум – белый, то
y ( k | (t ))  f ( x ( k  1), u( k  1), (t ))
Примеры синтеза устройств управления
для простейших линейных систем
Пример 1. Считаем, что объект описывается уравнением:
x(t )  x(t  1)  u (t  1)  h(t  1)
h(t )
Формируем модель объекта:
y ( k | (t ))  x ( k  1)  u( k  1)  (t )
u (t )
q u(t  1)

x(t 1) q
Находим параметры:
Объект
(t )  x (t )  x (t  1)  u(t  1)
I (u )  ( y (t  1 | (t ))  x * (t  1)) 2 

(t )
min
u1 ( t )  u ( t )  u2 ( t )
Рассчитываем оптимальное управление:
u1 (t ), если v(t )  u1 (t ),

u (t )  v(t ), если u1 (t )  v(t )  u 2 (t ),
u (t ), если u (t )  v(t ).
2
 2
q
x (t )
x* (t  1)
v (t ) 
Из локального квадратичного критерия оптимальности
q




q
Устройство x(t 1)
управления
Примеры синтеза устройств управления
для простейших линейных систем
Пример 2. Объект описывается уравнением:
x(t )  a0  a1 x(t  1)  a2u(t  1)  e(t )
Модель объекта:
y(k | (t ))  0 (t )  1 (t ) x(k  1)  2 (t )u(k  1)
Параметры:
x (t )  y (t | (t  1))
 0 (t )   0 (t  1) 
  0 (t  1)  (t )
2
2
1  x (t  1)  u (t  1)
1 (t )  1 (t  1)  (t ) x(t  1)
2 (t )  2 (t  1)  (t )u(t  1)
Находим управляющее воздействие :
v (t )   21 (t )( x * | t  1)   0 (t )  1 (t ) x (t ))
Синтез алгоритмов управления для
линейных систем
Объект:
n
m
i 1
j 1
x ( t )  a 0   a i x ( t  i )   a n  j u ( t  j )  e( t )
e(t )
u(t )
q
q
an1
q
  
q
a1
q

q
an
  



 1
0
x (t )

a0 1
an  m
1
 n 1
q

an2


  
  
x* (t 1)
 
1
 n2

q
 n m
Идентификатор
n
Алгоритмы адаптивного управления
для нелинейных систем
Объект описывается нелинейным разностным уравнением:
x (t )  f ( x (t  1), u(t  1), a, t  1)  e(t ), t  1, 2, ... .
e(t )
e(t )
u(t )
q

f ()
x (t )
u(t )
q


a
q

x* (t 1)
q
v(t )
f
1
()
x* (t 1)

(t )
Идентификатор
x (t )
q


q
Управление динамическими системами
с чистыми запаздываниями
Рассматриваем объект, описываемый разностным уравнением:
x (t )  f ( x (t  1), u(t  1  ), a )  e(t ), t  1, 2, ....
Строим модель объекта:
y ( k | (t ))  f ( x ( k  1), u( k  1  ), (t ))
Выход модели находим из критерия наименьших квадратов:
I (u)  ( y (t  1   | (t ))  x * (t  1  ))2  min
u1  u ( t )  u2
Решение получается в форме
u1, если v(t )  u1,

u (t )  v(t ), если u1  v(t )  u2 ,
u , если u  v(t ),
2
 2
Управление динамическими системами
с чистыми запаздываниями
x* ,   5
x (t ),
80 o
60 o
40 o
20 o
0
100
20
40
60
80
100
t
80
100
t
u(t ) [0;100]
50
0
0
20
40
60
Пример: на примере гальванической ванны
одного из заводов при однопроцентном уровне
помех
приведены
входная
и
выходная
переменные замкнутой системы управления, а
также
кусочно-постоянный
заданный
температурный режим x*(t). В начальный момент
температура ванны равна 20 С. На первых
двадцати
тактах
происходит
основная
настройка параметров модели, хотя и далее
алгоритм коррекции параметров продолжает
непрерывно
работать.
Если
в
объекте
произойдут
какие-либо
изменения,
то
идентификатор отследит их. После основной
коррекции параметров алгоритм управления
обеспечивает перевод системы на новый
уровень стабилизации за минимальное время и
без перерегулирования.
ВОПРОСЫ ?