1.Способ неопределенных коэффициентов для нахождения

1.Способ неопределенных
коэффициентов для
нахождения частного
решения неопределенного
линейного уравнения.
 Этот
способ применим для правой
части специального вида, которая
содержит показательные функции,
синусы, косинусы и многочлены или
их целые рациональные
комбинации.
Частное решение ищется в форме,
аналогичной правой части.
Если правая часть имеет вид

g ( x)  Pm ( x)e cos lx  P m e kx sin lx
kx
, то частное решение примет
следующий вид y  x Q e cos lx  x Q e sin lx , где 
кратность корней k  li среди корней
характеризующих уравнения. Q (x)
,Q (x)  многочлены той же степени, что
и Pm , P , но взятые в общем виде

чн
kx
m


kx
m
1
m

m

m
Вид правой части
Корни характеризующие Вид частного решения
уравнения
1.
А)0 - не является корнем
характеризующим
уравнения.
Б)0- кратности 
Pm (x)
2.
Pm ( x )e kx
yчн  Qm (x)
y чн  x  Qm (x)
А) K  не корень.
y чн  Qm ( x)e kx
Б) K  корень кратности 
y чн  x  Qm ( x)e kx


3. P ( x) cos lx  P m ( x) sin lx
m
А) li не является корнем.
Qm ( x) cos lx  Q m ( x) sin( x)
Б)  l корень кратности .
x  (Qm ( x) cos lx  Q m ( x) sin( x)
А)k  l числа не корень.
Б)k  li  числа корень
кратности  .
Qm ( x)e cos lx  Q m ( x) sin lx
i
4.
i

Pm ( x)e cos lx  P m ( x)e sin lx
kx
kx


kx


x (Qm e cos lx  Q m ( x) sin lx
kx
2.Метод вариации
произвольной постоянной
решения линейных
неоднородных
дифференциальных
уравнений с постоянными
коэффициентами.
Окончательно, для нахождения
неизвестных функций C i , мы получим
систему n уравнений n с неизвестными
' где i  1,4

Ci
C1' y1  C 2' y 2  C3' y 3  C 4' y 4  0
 ' '
' '
' '
' '
C
y

C
y

C
y

C
 1 1
2 2
3 3
4 y4  0
 ' ''
' ''
' ''
' ''
C
y

C
y

C
y

C
 1 1
2 2
3 3
4 y4  0
...................................................

C1' y1n 1  C 2' y 2n 1  C 3' y 3n 1  C 4' y 4n 1  g x 

4. Линейные
уравнения с
переменными
коэффициентами.
Уравнения Бесселя. Функция
Бесселя.

Задача: Вертикально стоящий и
изгибающийся под действием своего веса
стержень длины l . Дифференциальное
уравнение изогнутой оси имеет вид:
1 '
1
y  y  (1 
)y  0
2
x
9m
''
Уравнение Бесселя с индексом
Общий вид:
2
.
1
m
''
'
y  y  (1  2 ) y  0
x
x
1
m
3
.
Определение
Функции,
удовлетворяющие
уравнению Бесселя,
называются функциями
Бесселя.
 функцию,
являющуюся
решением
дифференциального
уравнения называют
бесселевой функцией первого
рода с индексом m и
обозначают
I m (x)
Чтобы получить окончательное
выражение для I (x) , вводят
специальную функцию- Гамма функцию
Эйлера.

u
Г ( x)   u x 1e (интегрируем
du
по частям),
0
получаем, что
или
1
Г ( x уравнение.
1)  xГ ( x) 
Г
(
x
)

Г ( x  1)
основное xфункциональное

m
Для x  натурального
получаем
Г (1)  1 ; Г (2)  1Г (1)  1 ,
Г (3)  2  Г (2)  2 и так далее,
( Г (1)  1  0!)
Г (n)  (n  1)!
Второе частное решение
зависит от m и,
окончательно
y  C1 I m ( x)  C2 I m ( x)
 Иногда
вместо I m (x) берут
линейную комбинацию,
содержащую cos m , sin mx, т.е
Ym (x) , тогда Y  C I ( x)  C Y ( x) ,
1 m
2 m
функция Вебера, или
функция Бесселя второго
рода.
Функция Бесселя и
тригонометрические функции
связаны тесно: при
определении m они ведут
себя идентично (в школе
затухающие колебания
).
m1
2
 Уравнение
Лагранжа с
переменными коэффициентами
2
''
'
( X  1) y  2 xy  n(n  1) y  0.
n  натуральные решениямногочлены, которые
выражаются формулой Родрига


1 d x 1
Pn ( x)  n
2
2  n!
dx
n
2
n
5. Уравнение
Эйлера.
Определение1.
 Уравнение
n 1 ( a 1)
x y  p1 x y
n (a)
вида
 ...  pn1 xy  p1 y  g ( x)
'
где p1 ... pn  const , называется
уравнением Эйлера.
Теорема1:
Уравнение Эйлера приводится к
линейному уравнению с
постоянными коэффициентами
заменой независимого
t
x

e
переменного подстановкой
(или t  ln x ).
Определение2
Однородное уравнение
Эйлера имеет вид
n 1 ( n 1)
x y  p1 x y
n (n)
 ...  pn1 xy  pn y  0
'
Глава3.
Системы
дифференциальных
уравнений.
1.Нормальные
системы
дифференциальны
х уравнений.
Дано:
( n)
'
( n 1)
y  f ( x, y, y ,..., y
)
пусть
y  y1 ,
y  y  y2 ,
'
'
1
y ''  y 2'  y 3 ,
y
( n 1)
 yn .
y  g n  f ( x, y1 , y 2 ,..., y n ).
n
образом, из уравнения n  ого
порядка мы получили систему
дифференциальных уравнений
первого порядка.  y  y
 Таким
'
1
2
'
 y 2  y3
 ( n 1)
 yn
y
 y '  f ( x, y , y ,..., y )
1
2
n
 n
n штук неизвестных функций, n
уравнений.
Полученная система
представляет собой
частный случай системы
 y  f1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n )
 '
 y 2  f 2 ( x, y1 ,..., y n )

................................
 y '  f ( x, y ,..., y )
n
1
n
 n
'
1
Определение1
Такая система называется
нормальной системой
дифференциальных
уравнений.
Определение2.
Решением системы называется
совокупность n функций
y1 , y 2 ,..., y n , удовлетворяющих всем
уравнением системы.
Определение3.
Частным решением системы
называется решение,
удовлетворяющее
начальным условиям.
Замечание.
Для нормальной системы
дифференциальных уравнений может
быть доказана теорема существования
и единственности решения, частным
случаем которой является теорема
существования и единственности
решения для дифференциального
уравнения n  ого порядка.
Теорема:
Нормальная система n
дифференциальных уравнений первого
порядка эквивалентна одному
дифференциальному уравнению
.
n порядка
Методы решения:
1). Переходят к уравнению n  ого
порядка
 2). Метод интегрирования комбинаций,
когда для неизвестных n функций ищут
n
зависимостей
между функциями и штук
const, затем решаютnсистему
относительно искомых функций.

2. Линейные
системы с
постоянными
коэффициентами.
Определение
 Нормальная
система
дифференциальных уравнений
называется линейной, если
функции
f1 , f 2 ,..., f n
линейны относительно искомых
функций.
Т.е.
 y  a11 y1  a12 y 2  ...  a1n y n  b1
 '
 y 2  a 21 y1  a 22 y 2  ...  a 2 n y n  b2

......................................................
 y '  a y  a y  ...  a y  b
n1 1
n2 2
nn n
n
 n
'
1