Контрольные задания для студентов 2 курса специальности «Математика» по дисциплине «Дифференциальные уравнения». 3 семестр 1. Построить поле направлений для дифференциальных уравнений: y x 2 y 2 . 2. Найти кривую, проходящую через точку (2,0) и такую, что отрезок касательной между точкой касания и осью ОУ имеет постоянную длину, равную 2. 3. Решить уравнения: а). (1 e x )y y e x б). y x y (1 ln y ln x ) x 2y y 1 в). y ytgx г). dx dy 0 cos x ( x y) 2 ( x y) 2 д). x ((y )2 1) 2yy . 4. Найти огибающую семейства решений уравнения у ху ( у ) 2 . 5. Решить задачу Коши: y 3x 2 , xo 0, yo 2, yo 1. 6. Пользуясь каким-либо достаточным условием единственности выделить области, в которых сохраняется единственность решения для данного x 2 уравнения y . x y 7. Перейдя от дифференциального уравнения к интегральному, построить последовательные приближения к решению с данными начальными условиями. Оценить, на каком отрезке теорема Пикара обеспечивает существование решения и сходимость последовательных приближений y y 2 3x 2 1, y (0 ) 1. Найти y 0 , y1 , y 2 . 8. Понизить порядок данного уравнения, свести к уравнению первого порядка y а). ( y )2 2 y y 1 0 б). xy y x sin . x 9. Решить уравнение, преобразовав его к полной производной: yy y (y 1) . 10. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение, имеющее данные частные решения: sin x , cos x . 11. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми (функции рассматриваются в той области, в которой они все определены): x 2 x 3, 2x 2 x , 2x 4 . 12. Привести систему к одному уравнению высшего порядка и найти общее y2 y , z y 1. решение zx 13. Показать, что система функций x1 (t ) С1е t С2 е3t , t 3t x2 (t ) 2C1е 2 С2 е является общим решением системы уравнений dx1 dt x1 x2 , dx 2 x2 4x1 . dt 14. Проверить, является ли данная функция первым интегралом данной системы дифференциальных уравнений: dx1 x12 , dt x 2 а) x1 x2 e t ; dx 2 x x 2 1, dt 15. Найти независимые первые интегралы системы уравнений: dx dy dz . zy x z yx 4 семестр 1. Уравнение (2 x x 2 ) y 2( x 1) y 2 y 2 имеет частные решения у1 = 1, у2 = х. Найти общее решение. 2. Методом вариации произвольных постоянных решить уравнение (1 x 2 )y 2xy 12x 3 3. Решить однородное дифференциальное уравнение y y 0 . 4. Решить неоднородное дифференциальное уравнение IV 2 y 4y 4y x x . 5. Решить системы уравнений: x 2x y z, x 2 x 3y , а) y 2x y 2z, б) y x 2 y 2 sin t . z x y 2z. 6. При каких значениях уравнение y y 0 имеет не нулевое решение, удовлетворяющее краевым условиям: y (0) y ( ), y (0) y ( ) ; 7. Разрешима ли следующая краевая задача: y y 0, y (0) 0, y (2 ) 1 ; 8. Исходя из определения устойчивости по Ляпунову, исследовать на устойdx чивость решения уравнений: 2t ( x 1), x(0) 0 . dt 9. С помощью функций Ляпунова исследовать на устойчивость решение dx x x3 y , dt 2 4 х=у=0 3 dy x y y ; dt 2 4 10. Исследовать на устойчивость по первому приближению нулевое решение y1 y1 3 y 2 y12 sin y 2 , следующих систем: 2 y 2 y1 4 y 2 1 cos y 2 ; 11. Исследовать на устойчивость нулевое решение, изобразить траектории движений, определяемых этой системой, указав на рисунке стрелками dx dt x , направление движения при возрастании времени dy 2 y. dt 12. Исследовать особые точки уравнения. Дать чертеж расположения интегральных кривых на плоскости y x 4y 3x 2 y 13. Найти общее решение уравнения в частных производных z z 2x ( y x) x2 . x y 14. Проинтегрировать уравнения и, где указано найти решение, удовлетворяющее поставленному начальному условию: u u u x u, u y, при x y 1 . x 2 y y