МАТЕМАТИКА Конспект лекционного материала для специальности 030912.51 Право и организация социального обеспечения
реклама
МУРМАНСКАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ
МАТЕМАТИКА
Конспект лекционного материала
для специальности
030912.51 Право и организация социального обеспечения
Мурманск
2012
Математика: конспект лекций по дисциплине для обучающихся по
специальности 030912.51 «Право и организация социального обеспечения» /
сост. ст. преп. кафедры общественных и естественных наук Е.В.Саблина, ст.
преп. кафедры общественных и естественных наук О.Х.Воронская. –
Мурманск: МАЭУ, 2012. – 80с.
Мурманская академия
экономики и управления, 2012
СОДЕРЖАНИЕ
МАТРИЦЫ, ОСНОВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ ..................................................... 4
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. РАНГ МАТРИЦЫ. ........................................................................................... 6
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ МЕТОДОМ
ПРИСОЕДИНЁННОЙ МАТРИЦЫ. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
МЕТОДОМ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ. ............................................................................................ 9
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА И КРАМЕРА ...... 11
ВЕКТОР. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ. ................................................................................ 14
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ. СОБСТВЕННЫЕ
ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ. ........................... 15
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ........................ 17
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ .......................................................................................................... 19
МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ. ............................................................. 22
ФУНКЦИЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ............................................. 23
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ. .............................................. 25
ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ .............................................................. 28
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ. ... 29
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К
ПРИБЛИЖЁННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ. ....................................................................................... 31
ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ ................................................................................................................. 33
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. ОБЩАЯ СХЕМА
ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ ИХ ГРАФИКОВ. ....................................... 34
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ. .................. 39
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДСТАНОВКОЙ .................................................................................... 42
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ.............................................................................................. 43
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ ................................................................... 45
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ .......................................... 49
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ .................................................................................................... 51
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ............................................................................................... 52
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ ....... 53
ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. ..................... 54
ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С
ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ .................................................................................. 54
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. 55
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ...................................................................................................................... 58
РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА............................................................................................... 60
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ.
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ.
........................................................................................................................................................... 62
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ.................................................................................................................. 65
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ............................................................................................. 67
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ .......... 72
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ........................................................................................ 75
МАТРИЦЫ, ОСНОВНЫЕ ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ
Определение. Таблица вида
a11 a12 ... a1n
a 21 a 22 ... a 2 n
А
mn
.
.
.
.
a
a
...
a
m2
mn
m1
называется mn матрицей или, сокращенно, A=(aij), где i=1,…,m - номер строки,
j=1,…,n-номер столбца, аij-элементы матрицы А.
Определение. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется
квадратной.
Определение. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной
диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Определение. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали
равен единице, называется единичной и обозначается буквой Е.
Пример 1.1
1 0 0
Å 0 1 0 - единичная матрица третьего порядка,
33
0 0 1
Определение. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы,
расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.
Пример 1.2
2 4 1
B 0 3 5
0 0 6
Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и
обозначается
0 0 0
O . . ..
0 0 0
В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.
Определение. Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется
вектором-столбцом или вектором-строкой соответственно.
Пример 1.3
3
4
C . - вектор-столбец,
.
1
D 1 5 3 10 - вектор-строка.
Определение. Матрица, полученная из данной заменой каждой её строки столбцом с
T
тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной и обозначается
Пример 1.4
A
.
1 2
A
T
3
4
A
Дано:
. Найти
.
Решение.
1 3
T
A 2 4 .
Действия над матрицами
1. Операция сложения матриц
Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.
Определение. Суммой двух матриц Amn ( aij ) и Bmn (bij ) называется матрица
C mn (cij ) такая, что cij aij bij где i=1,…,m; j=1,…,n.
Пример 1.5.
4 8 5
5 3 1
и B=
Произвести сложение матриц A=
7
6 2 1
2 4
Решение.
4 8 5 5 3 1 9 5 4
+
.
=
7 4 6 8
6 2 1 2 4
2. Операция разности матриц
Аналогично определяется разность матриц.
3. Операция произведения матриц
Операция произведения матриц вводится только для случая, когда число столбцов
первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Определение. Произведением матрицы Amn ( aij ) на матрицу Bn p (bij )
C m p (cij ) такая, что cik = аi1 b1k ai 2 b2k ... ain bnk , где i=1,…,m;
называется матрица
k=1,…,p, т. е. элемент i-ой строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме
произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца
матрицы В.
Пример 1.6
b11 b12
a11 a12 a13 b 21 b 22
a
21 a 22 a 23
Произвести умножение матриц
и b31 b32 .
Решение.
4. Произведение матрицы на число
Произведение матрицы Amn ( aij ) на число k называется матрица Bmn (bij ) такая,
что bij= kаij (i=1,…,m; j=1,…,n).
Пример 1.7
1 2
A
3 4 на число k=2.
Произвести умножение матрицы
Решение.
1 2
2 4
2
A k
3 4
6 8
5. Возведение матрицы в натуральную степень
Возведение в натуральную степень квадратной матрицы А происходит по правилу:
k
A
A
A
A
...
A
0
1
k
, причем по определению 1) А Е ,2) А А .
Пример 1.8
2
1 2
A
3 4 .
Вычислить:
Решение.
2
1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 1 2 2 4 7 10
A
3 4 = 3 4 3 4 = 3 1 4 3 3 2 4 4 = 15 22
Определение. Матрица -А=(-1)А называется противоположной.
Определение. Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них
получается из другой с помощью элементарных преобразований, к которым относятся:
1. перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;
2. умножение всех элементов рада матрицы на число, отличное от нуля;
3. прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов
параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. РАНГ МАТРИЦЫ.
Определение. Определитель-число, характеризующее квадратную матрицу и
обозначается, например определитель матрицы А, следующим образом: или А , или detA.
Пример 2.1
Найти определитель матрицы В, если:
1.
В= 3 , тогда определитель В 3 3
2 4
2 4
, тогда определитель В
2 5 3 4 2
В=
3 5
3 5
Таким образом, получаем формулу для нахождения определителя второго порядка:
2.
Если А= а11 а12 , то А = а11
а 21
а
22
Определение. Минором
а
21
а
а
M
12
а11 а22 а21 а12
22
ij
элемента
a
ij
матрицы n-го порядка называется
определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученного из матрицы А вычеркиванием i-ой
строки и j-го столбца.
Пример 2.2
3 1 2
Дано: А= 0 3 2 Найти все миноры матрицы А.
1 2 4
Решение.
Вычеркиваем первую строку и первый столбец: M 11 =
3 2
=12-4=8
2 4
Вычеркиваем первую строку и второй столбец: M 12 =
0 2
=0-2= -2
1 4
Вычеркиваем первую строку и третий столбец: M 13 =
0 3
= 0-3= -3
1 2
Вычеркиваем вторую строку и первый столбец: M 21 =
1 2
= 4-4=0
2 4
Вычеркиваем вторую строку и второй столбец: M 22 =
3 2
= 12-2=10
1 4
Вычеркиваем вторую строку и третий столбец: M 23 =
3 1
= 6-1=5
1 2
Вычеркиваем третью строку и первый столбец: M 31 =
1 2
= 2-6= -4
3 2
Вычеркиваем третью строку и второй столбец: M 32 =
3 2
= 6-0=6
0 2
Вычеркиваем третью строку и третий столбец: M 33 =
3 1
= 9-0=9.
0 3
А элемента a
А =(-1)i+j M .
Определение. Алгебраическим дополнением
называется его минор, взятый со знаком (-1)i+j, т. е.
ij
ij
матрицы n-го порядка
ij
ij
Пример 2.3
3 1 2
Дано: А= 0 3 2 Найти алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы
1 2 4
А.
Решение.
Вычеркиваем первую строку и первый столбец: А11 = (-1)1+1
3 2
=12-4=8
2 4
Вычеркиваем первую строку и второй столбец: А12 = (-1)1+2
0 2
= -(0-2)= 2
1 4
Вычеркиваем первую строку и третий столбец: А13 = (-1)1+3
0 3
= 0-3= -3
1 2
А
(-1)2+1
1 2
= -(4-4)=0
2 4
Вычеркиваем вторую строку и второй столбец: А22 = (-1)2+2
3 2
= 12-2=10
1 4
Вычеркиваем вторую строку и третий столбец: А23 = (-1)2+3
3 1
= -(6-1)= -5
1 2
Вычеркиваем третью строку и первый столбец: А31 = (-1)3+1
1 2
= 2-6= -4
3 2
Вычеркиваем третью строку и второй столбец: А32 = (-1)3+2
3 2
= -(6-0)= -6
0 2
Вычеркиваем вторую строку и первый столбец:
21 =
3 1
= 9-0=9.
0 3
Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений
элементов любой строки (столбца) на их алгебраическое дополнение:
n
= аi1 Аi1 ai 2 Ai 2 ... ain Ain ais Ais .
Вычеркиваем третью строку и третий столбец: А33 = (-1)3+3
s 1
Пример 2.4
3 1 2
Дано: А= 0 3 2 Вычислить определитель третьего порядка.
1 2 4
Решение.
Вычислим определитель матрицы А, разложив, например, первый столбец:
3 2
1 2
1 2
+0(-1)2+1
+1(-1)3+1
=3 (12-4)+0+(2-6)=24-4=20.
А =3(-1)1+1
2 4
2 4
3 2
Основные свойства определителей
1. определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.
2. при перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.
3. определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю
4. общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за
знак определителя.
5. определитель с нулевым рядом равен нулю.
6. если к какому-либо ряду определителя прибавить другой ряд, умноженный на
скаляр, то определитель не изменится.
7. определитель треугольной и диагональной матрицы равен произведению
элементов, расположенных на главной диагонали.
Ранг матрицы
Определение. Рангом треугольной матрицы называют число её ненулевых строк.
Чтобы найти ранг матрицы необходимо с помощью элементарных преобразований
привести её к треугольному виду.
Элементарные преобразования матрицы, сохраняющие ранг матрицы:
1. отбрасывание нулевого ряда
2. умножение всех элементов ряда матрицы на число, неравное нулю.
3. изменение порядка ряда матрицы
4. прибавление к каждому элементу одного ряда соответствующих элементов
другого ряда, умноженных на число.
5. транспонирование матрицы.
Рассмотрим пример.
Пример 2.5
2
3 1
Дана матрица А= 0 3 2 Найти ранг матрицы.
10
1 2
3
Решение.
Приведём данную матрицу к треугольному виду.
2
3 1
0 3
2 выбираем ведущую
10
1 2
3
1
местами первую и третью строку 0
3
строку и главный элемент, для этого поменяем
4
2 Теперь должны получить нули под
10
1
3
2
3
главным элементом, т.е. под единицей. Первый нуль во второй строке уже есть, поэтому
переписываем первую строку, как ведущую, и вторую строку без изменения. Осталось
получить нуль вместо первого элемента третьей строки, т.е. вместо тройки. Для этого
каждый элемент ведущей строки, умноженный на минус три, складываем со
1
4
Выбираем вторую строку
2
10
0 5
3
2
3
соответствующими элементами третьей строки. 0
за ведущую, и первый ненулевой элемент этой строки берем за главный. Получим нуль под
главным элементом. Для этого к каждому элементу ведущей строки (второй строки),
умноженному на пять, прибавляем соответствующий элемент третьей строки, умноженный
на три.
1 2 4
.
0 3 2
0 0 0
В результате получаем r(A)=2.
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ МЕТОДОМ
ПРИСОЕДИНЁННОЙ МАТРИЦЫ. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
МЕТОДОМ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.
Определение. Матрица А-1 называется обратной к матрице А, если выполняется
условие: А А-1= А-1А=Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица А.
Обратная А-1 матрица имеет ту же размерность, что и матрица А.
Определение. Квадратная матрица А= a11
...
. ...
a n1 ...
1n
.
ann
a
называется невырожденной, если
её определитель неравен нулю, в противном случае матрица называется вырожденной.
Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
~
Определение. Присоединенной матрицей А к матрице А называется матрица вида:
...
~
А = А. 11 А. 12 . А. n1 , где Аij-алгебраическое дополнение элемента аij.
An1
A
n2
...
A
nn
Находят обратную матрицу по формуле: А-1=
1 ~
А.
А
Пример 3.1
Найти обратную матрицу методом присоединенной матрицы.
3 1 2
А= 0 3 2
1 2 4
Решение.
1.
Выясним, является ли данная матрица невырожденной. Для этого найдем
определитель матрицы:
3 2
1 2
1 2
+0(-1)2+1
+1(-1)3+1
=3 (12-4)+0+(2-6)=24-4=20.
А =3(-1)1+1
2 4
2 4
3 2
Т.к. А 0, следовательно, данная матрица имеет обратную.
2. Найдем транспонированную матрицу.
3 0 1
А = 1 3 2
2 2 4
Т
3.
Вычислим присоединенную матрицу. Для этого найдем алгебраическое
дополнение каждого элемента матрицы.
3 2
А11 = (-1)1+1 2 4 =12-4=8
А
= (-1)1+2
1 2
= -(4-4)= 0
2 4
А
= (-1)2+3
А
= (-1)1+3
1 3
= 2-6= -4
2 2
А
= (-1)3+1
0 1
= -(0-2)=2
2 4
А
= (-1)3+2
3 1
= -(6-1)= -5
1 2
А
= (-1)3+3
3 0
= 9-0=9.
1 3
12
13
А
21
А
= (-1)2+1
22
= (-1)2+2
23
31
32
3 1
= 12-2=10
2 4
33
3 0
= -(6-0)= -6
2 2
0 1
= 0-3= -3
3 2
4
6
3 5 9
~ 8
А = 2
0
10
4. Воспользуемся формулой: А-1=
1 ~
А.
А
1
2
0
4 5
5
1
3 .
6 = 1
2
10
3 5 9 10
3
1
9
4 20
20
1 8
А-1=
20 2
0
10
Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы
Пусть дана система линейных уравнений a11 x1 ... a1n xn b1 . Обозначим её через (1).
.........................................
...
ann xn bn
a n1 x1
Выпишим основную матрицу
x1
. и
.
xn
X=
данной системы: А= a
...
11
. ...
a n1 ...
b1
. .
.
bn
вектор-столбец свободных членов: B=
a , вектор-столбец неизвестных:
1n
.
ann
Теперь перепишем систему (1) в
матричной форме: AX=B X=A-1B- решение системы (1).
Пример 3.2
3
2
1
x x
x
Решить систему линейных уравнений: 3 1 22 32
x 2 x3
методом обратной матрицы.
2 4 3
x 2 x3
x1
Решение.
Формула, по которой будем находить решение системы: X=A-1B.
3 1 2
x1
1 2 4
x
3
Основная матрица системы А= 0 3 2 , вектор-столбец неизвестных: X= x 2 и
1
вектор-столбец свободных членов: B= 2 .
3
Найдем определитель
А =3(-1)1+1
3 2
+0(-1)2+1
2 4
1 2
1 2
+1(-1)3+1
=3 (122 4
3 2
4)+0+(2-6)=24-4=20.
Т.к. А 0, следовательно, данная матрица имеет обратную.
Найдем обратную матрицу с помощью присоединенной матрицы (см. пример 3.1):
2
5
А-1= 1
10
3
20
0
1
2
1
4
1
5
3 .
10
9
20
Подставим в формулу X=A-1B, получим:
2
X= 15
10
3
20
0
1
2
1
4
2
3
1 1
1
5 5
5
5 2 =
=
3 1 1 9 1
5
10
10
10 3
9 3 1 27 7
20
20 2 20 10
1
1
7
Ответ: x1 = , x 2 , x3 .
5
5
10
Правильность решения легко проверить, подставив полученные результаты x1 , x 2 , x3
в данную систему уравнения.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА И КРАМЕРА
Пусть дана система линейных уравнений a11 x1 ... a1n xn b1 . Обозначим её через (1).
.........................................
...
ann xn bn
a n1 x1
Основная матрица
данной системы: А= a
...
11
. ...
a n1 ...
x1
.
a , вектор-столбец неизвестных: X= и
.
.
a
xn
1n
nn
b1
. .
.
bn
вектор-столбец свободных членов: B=
Теперь запишем систему (1) в матричной форме:
AX=B.
Теорема Крамера. Пусть -определитель матрицы А, j- определитель матрицы,
получаемой из А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если 0, то
система имеет единственное решение: x j i , (1jn).
Пример 4.1
Решить систему линейных уравнений:
3 x1 x2 2 x3 1
3 x 2 2 x3 2
2 4 3
x 2 x3
x1
методом Крамера.
Решение.
3 1 2
1
1 2 4
3
Основная матрица системы А= 0 3 2 и вектор-столбец свободных членов: B= 2 .
Найдем определитель
А = =3(-1)1+1
3 2
1 2
1 2
+0(-1)2+1
+1(-1)3+1
=3 (122 4
2 4
3 2
4)+0+(2-6)=24-4=20. Т.к. А 0, следовательно, можно применить формулы Крамера.
Найдем определители x1 , x2 , x3 , полученные заменой соответствующих столбцов
столбцом свободных членов:
1 1 2
x1 = 2 3 2 =1(12-4)-1(8-6)+2(4-9)=8-2-10= -4;
3 2 4
3 1 2
x2 = 0 2 2 =3(8-6)-0+1(2-4)=6-2=4;
1 3 4
3 1 1
x3 = 0 3 2 =3(9-4)-0+1(2-3)=15-1=14.
1 2 3
Тогда, по формуле Крамера:
x
4
1
x1 = 1 = - = ;
20
5
x2 4 1
;
x2
=
20 5
x 14 7
.
x3 3 =
20 10
1
1
7
Ответ: x1 = , x 2 , x3 .
5
5
10
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Пусть
дана
система
линейных
11 x11 ... a1n x1n b1
уравнений a..........
.
...............................
a m1 xm1 ... a mn xmn bm
Рассмотрим
расширенную матрицу (АВ) данной системы и с помощью элементарных преобразований
приведем её к ступенчатому виду, в результате получим расширенную матрицу (АВ).
Если ранг основной матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы
r(A)<r(АВ), то система несовместна. Если r(A)=r(АВ)=n, где n-число неизвестных, то
система совместна и определена. Если r(A)=r(АВ)<n, где n-число неизвестных, то система
совместна и неопределенна.
Записываем систему линейных уравнений из полученной ступенчатой матрицы.
Определяем базисные и свободные переменные, и выражая базисные переменные через
свободные получаем решение системы.
Пример 4.2
3
2
1
x1 x2 x3
Решить систему линейных уравнений: 3 2 2
x 2 x3
методом Гаусса.
2 4 3
x 2 x3
x1
Решение.
3 1 2 1
0 3 2 2
еняем
1 2 4 3 1пом
3строку
миестам
и
1 2 4 3
1 2
4 3
2 2
0 3 2 2
0 3
строку
3 1 2 1 1ум
0 5 10 8
на(ножили
3) и
сложили
с 3строкой
2 строку
ум ножаем
на 5 а 3строку
на 3складываем
соотв етствующие
элем енты
1 2
4 3
0
3
2 2
0 0 20 14
r(A)=r(АВ)=n система совместна и определена.
x1 2 x2 4 x3 3
Отсюда, запишем эквивалентную систему уравнений, имеем: 3 2 2
x 2 x3
20 x3 14
1
x1 5
Решая её, получаем:
1
x2
5
7
x3 10
1
1
7
Ответ: x1 = , x 2 , x3 .
5
5
10
Пример 4.3
3 x1 x2 2 x3 0 .
3 x 2 2 x3 0
10
x1 2 x2 x3 0
3
Найти общее решение системы:
Решение.
2
2
10
1 2
3
Составим матрицу системы: А= 3
1
0 3
Приведем её к треугольному виду:
2
3 1
0 3
2
10
1 2
3
4
1 2
0 3
2 1строку
пом еняем
10 ум ножили
1и 3строку
на ( 3) и
м естам и 3 1
3 сложили
с 3строкой
4
1 2
0 3
2
10
0 5
3
2 строку
ум ножаем
на 5 а 3строку
на 3складываем
соотв етствующие
элем енты
1 2 4
0 3 2
0 0 0
x x 2 4 x3 0
r(A)=2. Запишем эквивалентную систему уравнений: 1
3 x 2 2 x3 0
Примем за базисные переменные x1 и x 2 , а свободные находим из условия (n-r), где
n-число неизвестных, получаем (3-2)=1, т. е. у нас одна свободная переменная это x3 .
Выразим базисные переменные через свободные:
2
x1 3 x3 4 x3
2
x 2 x3
3
10
x1 3
x3 .
2
x 2 x3
3
Обозначая
10
x1 c1
3
свободную переменную: x3 = с1 , получаем общее решение в виде: x 2 c
1
2
3
x3 c1
Пример 4.4
Найти общее решение системы:
2 x1 x2 3 x3 2 x 4 4 x5 1
4 x1 2 x2 5 x3 x 4 7 x5 1
2 x1 x2 x3 8 x 4 2 x5 1
Решение.
Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:
АВ=
2 1 3 2 4 1
2 1 3 2 4 1
4 2 5 1 7 1 0 0 1 5 1 1
2 1 1 8 2 1
0 0 2 10 2 2
2 1 3 2 4 1
0 0 1 5 1 1
0 0
0
0
0 0
r(A)= r(AВ)=2<n, где n-число неизвестных, то система совместная и неопределенная.
Запишем эквивалентную систему уравнений: 2 x1 x2 3x3 2 x4 4 x5 1
x3 5 x4 x5 1
Примем за базисные переменные x1 и x3 , а свободные находим из условия (n-r), где nчисло неизвестных, получаем (5-2)=3, значит x 2 , x 4 , x5 -свободные переменные.
1
x3 5 x 4 x5 1
13
1
Выразим базисные переменные через свободные: x1 2 x 2 2 x 4 2 x5 1 Обозначая
свободную
переменную:
x 2 = с1 ,
x4 c2 , x5 c3 получаем
общее
решение
в
c
c 13
x1 1 c 2 3
2
2
2
x 2 c1
виде:
.
x 5c c 1
1
3
3
x4 c2
x5 c3
ВЕКТОР. ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ.
Определение. Вектор - отрезок, имеющий определенную длину и определенное
направление, обозначается а или АВ (А - начало, В - конец)
Координаты вектора находятся по формуле: X= x2 x1 ; Y= y2 y1 ; Z= z 2 z1 .
Определение. Длина отрезка - расстояние между точками:
1. если даны две точки А( x1 ; y1 ; z1 ) и В( x2 ; y2 ; z 2 ), то расстояние между ними равно:
АВ ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2 .
2. если дан вектор а (x;у;z) , то его длина равна: а x 2 y 2 z 2 .
Определение. Ненулевые векторы а и b называются коллинеарными, если они лежат
на параллельных прямых или на одной прямой. Коллинеарные вектора, направленные в одну
и ту же сторону, называются сонаправленными, - в разные стороны -противоположно
направленными.
Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково
направлены и имеют одинаковые длины.
Действия над векторами
1. если а ( x1 ; y1 ; z1 ), b ( x2 ; y2 ; z 2 ), то а b =( x1 x2 ; y1 y2 ; z1 z 2 )
2. если а (x;y;z), то x (x; y; z )
3. если
то
а ( x1 ; y1 ; z1 ),
b ( x2 ; y2 ; z 2 ),
а b =( x1 x2 y1 y2 z1 z 2 )-скалярное
произведение векторов
4. угол между векторами а ( x1 ; y1 ; z1 ) и b ( x2 ; y2 ; z 2 ):
cos =
а b
ab
Отсюда следует, что а b =
=
x1 x2 y1 y 2 z1 z 2
x12 y12 z12 x22 y 22 z 22
a b cos
.
условие перпендикулярности ненулевых
векторов:
а b а b =0
условие коллинеарности векторов:
x
y
z
если а ( x1 ; y1 ; z1 ), b ( x2 ; y2 ; z 2 ), то 1 1 1 .
x2 y 2 z 2
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ. СОБСТВЕННЫЕ
ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ.
Определение. Линейной комбинацией векторов а1 ,..., ак с коэффициентами 1 ,..., к
называется выражение вида: 1 а1 ... к ак .
Пример 6.1
Дано: а {2;-3;1}, b {3;2;-4}. Найти линейную комбинацию векторов 2 а +3 b .
Решение.
2 а +3 b =2{2;-3;1}+3{3;2;-4}={4;-6; 2}+{9;6;-12}={13;0;-10}.
Определение. Система векторов а1 ,..., ак называется линейно независимой тогда и
только тогда, когда 1 а1 ... к ак 0 и все коэффициенты 1 ... к 0
Определение. Система векторов а1 ,..., ак называется линейно зависимой тогда и
только тогда ( ), когда 1 а1 ... к ак 0 и не все коэффициенты 1 ,..., к равны нулю, т.
е. когда уравнение 1 а1 ... к ак 0 имеет ненулевое решение.
Пример 6.2
Линейно зависимы ли данные векторы: а1 {2;3;3}, а 2 {3;4;5}?
Решение.
Составим линейную комбинацию векторов: 1 а1 2 а2 0
21 32 0
1 {2;3;3}+ 2 {3;4;5}={0;0;0} 31 42 0 1 = 2 =0 а1 и а 2 -
линейно
3 5 0
2
1
независимы.
Собственные векторы и собственные значения линейных
Введем обозначения.
операторов
Е - единичная матрица размерности n n; Ann = a ij -матрица;
x1
X= . .
xn
вектор-
столбец; в качестве линейного оператора выступает матрица А.
Определение. Вектор-столбец X называется собственным вектором матрицы А, если:
1)X 0; 2) существует такое число , что АX= x.
Определение. Скаляр называется собственным значением матрицы А.
Теорема. Скаляр называется собственным значением матрицы А А Е 0 .
Определение. Уравнение А Е 0 называется характеристическим уравнением
матрицы А, корни которого являются собственные значения матрицы А.
Алгоритм нахождения собственных векторов и собственных значений матрицы А
1. Записать характеристическое уравнение матрицы А: А Е 0 . Решив его,
найдем корни уравнения, т. е. собственные значения матрицы А.
2. Найдем собственные векторы x ( n ) ( x1 ; x2 ) , принадлежащие собственным
значениям n . Для этого находим ненулевые решения однородной системы
матрицы А:
x1 0
( a11 ) x1 ... a1n x n 0
.
.
A Е ................................... . Каждое ненулевое решение вектора.
.
a x ... ( a ) x 0
nn
n
n1 1
x 0
n
x1
столбца . определяет собственный вектор X.
.
xn
Пример 6.3
Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного
1 2
.
матрицей А=
1
1
Решение.
1. Запишем
характеристическое
уравнение
матрицы
А:
1
2
1 2
1 0
1 2 0
0
0
0
А Е 0
1
1
1 1
0 1
1 1 0
1 2 2 0 решив
как квадратное уравнение, получаем 1 =1+ 2 ,
собственные значения матрицы А.
2. Найдем собственные векторы x (1) ( x1 ; x2 ) , принадлежащие 1 =1+ 2 .
2 =1- 2 -
x
Пусть X= 1 -(искомый собственный вектор)ненулевое решение уравнения: (А- 1 Е)
x2
X=0
1 2
1 0 x1 0
1 2 1 0 x1 0
) =
- 1
) =
-
(
(
2 1
0 1 x2 0
1 1 0 1 x 2 0
2 x1 0
(1 1 ) x1 2 x2 0
1 1
=
1 1 x 2 0
x1 (1 1 ) x2 0
1
Составим
и
решим
основную
матрицу
системы:
2
1 1
1 1
1
1 1 2 1
1 1
1
11 2
2
2
м еняем
ум ножаем 0
(
1
)
2
1
1
1
2
0
(
1
1
2
)
2
1
1 строки
1
1строку
м естам и
1 2
,
тогда
0
0
(1)
векторы x ( 2c; c)
на (1 1 )
склад.со
в торой
x1 2 x 2 0 x1 2x 2 .
Положив
x2 = c ,
получим
3. Найдем собственные векторы x ( 2) ( x1 ; x2 ) , принадлежащие 2 =1- 2 .
x
X= 1 -ненулевое решение уравнения: (А- 2 Е) X=0
x2
1 2
1 0 x1 0
1 2 2 0 x1 0
) =
- 2
) =
-
(
(
2 1
0 1 x2 0
1 1 0 2 x 2 0
2 x1 0
1 2
(1 2 ) x1 2 x2 0
=
1 2 x 2 0
1
x1 (1 2 ) x2 0
Составим
и
решим
основную
матрицу
системы:
2
1 2
1 2
1 2
1
1
2 1 2 1
11 2
2
2
м еняем
ум ножаем 0
1
1
1
2
(
1
)
2
0
(
1
1
2
)
2
2 строки
2
2
1строку
м естам и
1
2
,
тогда
0
0
( 2)
векторы x ( 2c1 ; c1 ) .
на (1 2 )
склад.со
в торой
x1 2 x 2 0 x1 2x 2 .
Положив
x 2 = c1 ,
получим
Ответ: x (1) ( 2c; c) при 1 =1+ 2 , x ( 2 ) ( 2c1 ; c1 ) при 2 =1- 2 .
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Oxy называется уравнение
F(x,y) с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки
данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями F1(x,y)=0
и F2(x,y)=0, сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:
F1 ( x, y) 0
. Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.
F2 ( x, y) 0
Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой
соответствует в прямоугольной системе координат разные виды её уравнений.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y=kx+b, где число k называется
угловым коэффициентом, а число b- свободным членом.
Угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона графика к горизонтальному
направлению - положительному направлению оси Ox.
Рис. 7.1. График линейной функции - прямая
Рассмотрим частные случаи уравнения.
1. если b=0, то y=kx - уравнение прямой, проходящей через начало координат и
образующей при k=tg0 - острый угол с осью Ox, а при k=tg0 - тупой угол
2. если =0, то k=tg=0, уравнение прямой, параллельной оси Ox, имеет вид y=b
3. если = , то уравнение y=kx+b теряет смысл, т. к. для неё угловой коэффициент k=
2
tg= tg
не существует и уравнение имеет вид: x=a, где а - абсцисса точки
2
пересечения прямой с осью Ox.
Уравнение пучка прямых, проходящих через точку М( x 0 , y 0 ): y- y 0 =k(x- x 0 ).
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
y y1
x x1 , где
y 2 y1 x2 x1
т.М1( x1 , y1 ) и т.М2( x2 , y 2 ).
Уравнение прямой в отрезках: x y 1 , где числа a и b указывают, какие отрезки
a
b
отсекает прямая на осях координат.
Общее уравнение прямой: Ax+By+C=0, где А, В, С- произвольные числа, причем А
и В одновременно не равны нулю.
Рассмотрим частные случаи общего уравнения прямой:
C
1. если А=0, то y= - - уравнение прямой, параллельно оси Ox
B
C
2. если В=0, то y= - - уравнение прямой, параллельно оси Oy
А
3. если С=0, то Ax+By=0 -уравнение прямой, проходящей через начало координат.
Угол между двумя прямыми: tg= k 2 k1 , где k1 , k 2 - угловые коэффициенты
1 k1 k 2
данных прямых. Если k1 k 2 , то прямые параллельны, если k1k 2 1 , то прямые
перпендикулярны.
Расстояние от точки до прямой: d=
Ax0 By 0 C
A2 B 2
, где x 0 , y 0 -координаты данной
точки, а А, В, С - коэффициенты в уравнении прямой Ax+By+C=0.
Пример 7.1
Найти расстояние от точки М0(2;-1) до прямой 3x+4y-22=0.
Решение.
d=
Ax0 By 0 C
A2 B 2
Ответ: d=4.
=
3 2 4 (1) 22
9 16
=4.
Определение. Уравнение плоскости, записанное в виде Ax+By+Cz+D=0 называется
общим уравнением плоскости.
A
B
C
Условие параллельности двух плоскостей: 1 1 1 .
A2 B2 C 2
Условие перпендикулярности двух плоскостей: A1 A2 B1 B2 C1C2 0 .
Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей,
т.е. как множество точек, удовлетворяющих системе:
А1 x B1 y C1 z D1 0
.
A2 x B2 y C2 z D2 0
Каноническое уравнение прямой в пространстве: если прямая параллельна
направляющему вектору s (m; n; p) и проходит через точку M 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) , то её уравнение
имеет вид:
x x1 y y1 z z1
.
m
n
p
Расстояние от точки до плоскости: d= Ax0 By 0 Cz0 D , где x 0 , y 0 , z 0 -координаты
A2 B 2 C 2
данной точки, а А, В, С, D - коэффициенты в уравнении прямой Ax+By+Cz+D=0.
Пример 7.2
Найти расстояние от точки М0(1;-2;1) до прямой 2x+3y-z=1.
Решение
d=
Ax0 By 0 Cz0 D
A2 B 2 C 2
Ответ: d=
=
2 1 3 (2) (1) 1 1
4 9 1
=
6
14
= 6 14 3 14 .
14
7
3 14
.
7
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
При решении различных прикладных задач часто приходится исследовать
квадратичные формы.
Определение. Квадратичной формой L( x1 , х2, ..., хn) от n переменных называется
сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо
произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:
L( x1 ,х2,,...,хn) =
n
n
a
i 1 j 1
x xj
ij i
Предполагаем, что коэффициенты квадратичной формы a ij - действительные числа,
причем a ij = a ji . Матрица А=( a ij ) (i, j = 1, 2, ...,n), составленная из этих коэффициентов,
называется матрицей квадратичной формы.
В матричной записи квадратичная форма имеет вид: L = Х'АХ, где X = (х1, х2,..., хn)' матрица-столбец переменных.
Пример 8.1
Записать квадратичную форму L( x1 , х2, х3)= 4 x12 12 x1 x2 10 x1 x3 x22 3x32
в
матричном виде.
Решение.
Найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны
коэффициентам при квадратах переменных, т.е. 4, 1, -3, а другие элементы - половинам
соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому
6 5 x1
.
1
0 x2
5 0 3 x
3
4
L=( x1 , х2, х3) 6
При невырожденном линейном преобразовании X = CY матрица квадратичной
формы принимает вид: А* =С'АС. (*)
Пример 8.2
Дана квадратичная форма L(xx, х2) = 2х12+4x1x2-3 x 22 . Найти квадратичную форму
L(y1,y2), полученную из данной линейным преобразованием x1 = 2у1 - 3y2, x2 = у1 + у2.
Решение.
Матрица
данной
квадратичной
формы
A=
2
,
2 3
2
а
матрица
линейного
преобразования
С = 2 3 . Следовательно, по (*) матрица искомой квадратичной формы
1
1
2 1 2 2 2 3 13 17
, а квадратичная форма имеет вид
А*
3
3 1 2 3 1 1 17
L(y1, y2) = 13 y12 34 y1 y2 3 y22 .
Следует отметить, что при некоторых удачно выбранных линейных преобразованиях
вид квадратичной формы можно существенно упростить.
Определение. Квадратичная форма L( x1 ,х2,...,хn) =
n
n
a
i 1 j 1
x xj
ij i
называется
канонической (или имеет канонический вид), если все ее коэффициенты a ij = 0 при ij:
n
L= a11 x12 a 22 x22 ... a nn xn2 aij xi2 , а её матрица является диагональной.
i 1
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Любая квадратичная форма с помощью невырожденного линейного
преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.
Пример 8.3
Привести к каноническому виду квадратичную форму
L( x1 , х2, х3)= x12 3x1 x2 4 x1 x3 2 x2 x3 x32
Решение.
Вначале выделим полный квадрат при переменной x1 , коэффициент при квадрате
которой отличен от нуля:
2
2
1
1
1
L x12 2 x1 3x2 4 x3 3x2 4 x3 3x2 4 x3 2 x2 x3 x32
2
2
2
2
3
9
x1 x2 2 x3 x22 6 x2 x3 4 x32 2 x2 x3 x32
2
4
2
3
9
x1 x2 2 x3 x22 8 x2 x3 3x32
2
4
Теперь выделяем полный квадрат при переменной x 2 , коэффициент при которой
отличен от нуля:
2
3
9
32
256 2 9 256 2
L x1 x 2 2 x3 x 2 x 2 x3
x3
x3 3x32
2
4
9
81
4 81
2
2
3
9
16
37 2
x1 x 2 2 x3 x 2 x3
x3 .
2
4
9
9
Итак, невырожденное линейное преобразование
16
3
y1 x1 x 2 2 x3 , y 2 x 2 x3 , y 3 x3 приводит данную квадратичную форму к
9
2
9
37 2
y3 .
каноническому виду: L1 ( y1 , y 2 , y 3 ) y12 y 22
4
9
Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным, так
как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими
способами. Однако полученные различными способами канонические формы обладают
рядом общих свойств. Одно из этих свойств сформулируем в виде теоремы.
Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с
положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от
способа приведения формы к этому виду.
Следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы равен числу отличных от
нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.
Определение. Квадратичная форма L( x1 , х2, ..., хn) называется положительно
(отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных, из которых хотя бы
одно отлично от нуля,
L( x1 , х2, ..., хn) > 0 (L( x1 , х2, ..., хn) < 0).
Так, например, квадратичная форма L1 3x12 4 x 22 9 x32 является положительно
определенной, а форма L2 x12 2 x1 x2 x22 - отрицательно определенной.
Теорема. Для того чтобы квадратичная форма L = Х'АХ была положительно
(отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения i ,
матрицы А были положительны (отрицательны).
В ряде случаев для установления знакоопределенности квадратичной формы удобнее
бывает применить критерий Сильвестра.
Теорема. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной,
необходимо и недостаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были
положительны, т.е.
1 >0, 2 > 0,..., 3 >0, где
a11
n = a 21
a12
a 22
... a1n
... a 2 n
...
a n1
...
an2
... ...
... a nn
Следует отметить, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки
главных миноров чередуются, начиная со знака "минус" для минора первого порядка.
Пример 8.4
Доказать, что квадратичная форма L = 13x12 6 x1 x2 5x22 является положительно
определенной.
Решение.
Матрица А квадратичной формы
имеет вид А = 13 3 . Для матрицы А характеристическое
3
5
уравнение A E 13
3
3
или 2 18 56 0 .
5
Решая уравнение, найдем 1 = 14, 2 = 4. Так как корни характеристического
уравнения матрицы А положительны, то на основании приведенной теоремы квадратичная
форма L - положительно определенная.
МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ.
Понятие множества в математике вводится на основе представления о совокупностях,
образованных из конечного или бесконечного числа объектов, называемых элементами
множества. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и
обозначается: . Множества обозначаются большими прописными буквами латинского
алфавита A, B, C…X, Y, Z, а их элементы малыми буквами a, b, c…x, y, z.
Порядком множества называется число его элементов; множество бесконечного
порядка называется бесконечным (N-бесконечно). Бесконечное множество называется
счетным, если его элементы можно пронумеровать. Множество чисел N,Z - счетные,
множества чисел R,C-несчетные.
Множества задаются перечислением своих элементов, например, запись X=x R 2<3x-1<5 означает, что множество X состоит из всех действительных чисел,
удовлетворяющих указанному двойному неравенству.
Множество А называется подмножеством множества В, если любой элемент
множества А принадлежит множеству В и обозначается: АВ.
Для иллюстрации множеств удобно пользоваться диаграммами Венна (кругами
Эйлера), в которых элементы множеств схематически изображаются точками некоторых
кругов.
Примеры 9.1
Операции над множествами
Определение. Множество С всех элементов, принадлежащих одновременно
множествам А и В, называется пересечением множеств А и В и обозначается
С=А В=xxA и xB.
Определение. Множество С всех элементов, принадлежащих множеству А или
множеству В, называется объединением множества А и В и обозначается С=АВ=xxA
или xB.
Определение. Множество С элементы, которого принадлежат множеству А, но не
принадлежат множеству В, называется разностью множеств А и В и обозначается
С=А\В=xxA и xB.
Определение. М - некоторое множество, разность М\B называется дополнением к B
и обозначается B.
Пример 9.2
Дано множество А=1,2,3,4,5и В=3,4,5,6,7. Найти АВ, АВ, А\В, В\А.
Решение.
АВ=3,4,5
АВ=1;2;3;4;5;6;7
А\В=1;2
В\А=6;7
ФУНКЦИЯ. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
Определение функции. Пусть X и Y - это два непустые множества. Соответствие f,
которое каждому элементу x X сопоставляет один и только один элемент y Y, называется
функцией и записывается y=f(x), где x X или f:X Y. Переменная х называется аргументом,
а y-функцией или зависимой переменной от х.
Пример 10.1
1. Функция:
2. Не является функцией, т.к. не каждому x X соответствует элемент y Y:
3. Функция:
Определение области определения функции. Множество X называется областью
определения функции f и обозначается D(f).
Пример 10.2
(6 x 8) x 3
Найти область определения функции y=
2 x 16
Решение.
x 3 0 x 3
2 x 16 0 x 8
Ответ: X [-3;8) (8; ).
Определение области значения функции. Множество всех y Y называется
множеством значений функции f и обозначается E(f).
Основные свойства функции
Четность, нечетность функции
Для того, чтобы определить четность функции сперва необходимо найти область
определения функции, если оно - симметричное множество, то функция либо четная либо
нечетная, если же не симметричное множество, то данная функция общего вида.
Определение. Функция y=f(x) называется
четной, если выполняется условие: f(-x)= f(x),
нечетной, если f(-x)= -f(x),
общего вида, если f(-x) f(x) и f(-x) -f(x).
График четной функции симметричен относительно оси ординат Оy, а нечетной
функции - относительно начала координат.
Пример 10.3
1. y=tg(cosx)
D(f)=(- ;+ )-симметричное множество, следовательно проверим условия
четности.
y(-x)=tg(cos(-x))=tg(cos(x))=y(x) данная функция четная.
2. Y=sinx
D(f)=(- ;+ )-симметричное множество, следовательно проверим условия
четности.
y(-x)=sin(-x)=-sinx= -y(x) данная функция нечетная.
3. y= x
D(f)=[0;+ )- несимметричное множество, следовательно данная функция
общего вида.
Периодичность функции
Определение. Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое
число Т>0, что при каждом значении х функция f(x+T)=f(x). При этом число Т называется
периодом функции.
Если Т - период функции, то ее периодом будут так же числа 4 ,…Основной
период (наименьший положительный) - это период Т=2 . Вообще за основной период
берут наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее равенству f(x+T)=f(x).
Пример 10.4
cos x
1
Найти наименьший положительный период функции y=
3
Решение.
Наименьшее положительное число Т должно удовлетворять равенству f(x+T)=f(x).
Подставим сумму (х+Т) вместо х в данной функции, получим:
cos( xТ )
cos x
1
1
=
3
3
решаем полученное уравнение:
cos(x+T)=cosx
cos(x+T)-cosx=0 применяя формулу разности косинусов, получим:
Т
Т
-2sin( ) sin(x+ ) =0
2
2
Т
T=2 n, n=1,2,3,…-наименьший положительный период
= n
2
1
y=
3
функции
cos x
.
Ограниченность функции
Определение. Функция y=f(x) называется ограниченной сверху (снизу), если
существует такое число M (m), что f(x) М (f(x) m).
Функция одновременно ограниченная
ограниченной.
Пример 10.5
y= х 2 - парабола, график функции
ограничен снизу (прямой y=0)(Рис.10.1).
снизу
и
сверху
называется
просто
Монотонность функции
Определение. Функция y=f(x) называется возрастающей на промежутке (a;b), если
для любых х1 , х 2 (a;b) такие, что х 2 > х1 выполняется неравенство: f( х 2 )>f( х1 ) и
убывающей, если х 2 > х1 , то f( х 2 )<( х1 ).
Одновременно возрастающая и убывающая функция называется строго монотонной.
Пример 10.6
Функция y= х 2 является строго монотонной, так как убывает на луче (- ;0] и
возрастает на луче [0;+ ). (рис.10.1).
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ.
Определение. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (иногда
говорят, при x, стремящемся к x0), если для любого положительного числа можно найти
такое положительное число , что для всех x из -окрестности точки x0 соответствующие
значения y попадают в -окрестность точки y = A.
Можно сформулировать определение предела функции по-другому.
Определение. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0, если для
любого положительного числа можно найти такое положительное число , что для всех x,
удовлетворяющих условию 0 < x - x0 < , выполняется условие y - A < .
Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) в точке x = x0, записывается формулой
lim f ( x) A .
x x0
Рис.11.1.Предел при x x0 .
Свойства предела функции
1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.
2. lim C C , если C - постоянная функция.
x x0
3. Если существует lim
f ( x) и C - постоянная функция, то
x x
0
lim (Cf ( x)) C lim f ( x) .
xx0
xx0
4. Если существуют lim f ( x) и lim g ( x) , то существует lim ( f ( x) g ( x)) , равный
xx0
x x0
x x0
lim f(x) lim g(x) , а также существует lim ( f ( x) g ( x)) , равный lim f(x) lim g(x) .
xx0
xx0
Если
при
xx0
xx0
lim g(x) 0 ,
этом
xx0
то
существует lim (f(x)/g(x)) ,
xx0
xx0
равный
lim f(x)/ lim g(x) .
xx0
xx0
Примеры 11.1
1. Lim(3x 2 2 x 7) Lim 3x 2 Lim 2 x Lim 7 3-2+7=8.
x1
x1
x1
x1
0
0
x 2 14 x 32
(применить четвертое свойство (для частного) нельзя, т.к.
x2
x 2 6x 8
предел знаменателя при x 2 равен нулю; в таких случаях говорят, что имеем
0
неопределенность вида
; для ее раскрытия раскладываем числитель и
0
знаменатель
дроби
на
множители)
( x 16) 2 16
x 16 Lim
( x 2)( x 16)
9 .
x2
= Lim
Аналогичный
Lim
x 2 ( x 2)( x 4)
x2 x 4
Lim ( x 4)
24
2. Lim
x2
приём вычисления пределов можно использовать
неопределенностей в случае иррациональных функций.
для
раскрытия
0
1 x 1` 0
3. Lim
(домножим и разделим дробь на выражение сопряженное
x0
x
(1 x 1)(1 x 1)
числителю) Lim
=(в числители разность квадратов)
x0
x(1 x 1)
1 ( x 1) 2
1 x 1
x
1
1
= .
x0
x0
2
1 x 1
x(1 x 1) x 0 x(1 x 1) x 0 x(1 x 1)
В случае иррациональности в числителе и знаменателе необходимо домножить и
разделить дробь на выражение сопряженное числителю и знаменателю.
Введем определения так называемых “односторонних пределов”.
Определение. Число B называется пределом функции f(x) в точке x 0 справа (это
Lim
= Lim
= Lim
= - Lim
записывается в виде формулы B lim f x ), если для любого положительного числа
x x0
найдется положительное число , такое что из из условия 0 < x - x0 < будет следовать B f(x) < (рис. 11.2).
Рис.11.2.Предел справа
Пример 11.2
Согласно приведенному определению
lim
x 0
x 0 . Отметим, что обыкновенного
предела функция y x в точке x = 0 не имеет.
Определение. Число С называется пределом функции f(x) в точке x 0 слева (это
записывается в виде формулы C lim f x ), если для любого положительного числа
x x0
найдется положительное число такое, что из условия 0 < x 0 - x < будет следовать
C - f(x) < (рис. 11.3).
Рис.11.2.Предел слева
Пример 11.3
Очевидно, что функция yx x 2 x (её график, изображен на рисунке 3) имеет два
x
односторонних предела в точке x = 0:
lim y x 1 ; lim y x 1 .
x 0
x 0
Определение. Левосторонний и правосторонний пределы функции называются
односторонними пределами этой функции при x x0 . Чтобы подчеркнуть отличие от
односторонних пределов, предел lim f x называют двусторонним пределом (рис. 11.4).
x
Рис.11.4.Пределы справа и слева совпадают с двусторонним пределом
Достаточно просто можно доказать теорему, связывающую понятия предела функции
в точке и односторонних пределов. Мы ограничимся только формулировкой теоремы.
Для того, чтобы выполнялось равенство lim f x A , необходимо и достаточно, чтобы
x x0
одновременно выполнялись два равенства:
lim f x A ; lim f x A
xx0
x x0
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к
бесконечности:
A lim f x ,
x
если для любого положительного числа можно найти такое положительное число M
(зависящее от ), что для всех чисел х, превосходящих М, выполняется условие:
f(x) - A < .
При решении пределов при х, стремящемся к бесконечности, следует применять
n
0, n m
ax bx c
следующее правило: Lim
=
m
, n m
x a x b x c
1
1
1
bx c
a n n
a
x
x a
, m n Lim
x
b
x
c
a1
a1
a1 1n 1n
x
x
Пример 11.4
x2 x 3
1. Lim
Lim
x 2 x 2 5x 5
x
1 3
x x2 = 1 .
5 5 2
2 2
x x
1
2 x 3x 1
; разделим числитель и
(неопределенность вида
2
x 4 x 2 x 5
3 1
3 1
2 2
Lim (2 2 )
x
x x
x x 1
x 2 )= Lim
знаменатель
на
(функции
x
2 5
2 5
2
4 2
Lim (4 2 )
x
x x
x x
3 1 2 5
, , , являются бесконечно малыми и равны нулю).
x x2 x x2
3x 3 x 3
3. Lim 2
= (так как показатель степени числителя больше показателя
x x 4 x 1
степени знаменателя)
x3 x 1
4. Lim 5
=0 (так как показатель степени числителя меньше показателя
x x 8x 1
степени знаменателя).
2
2. Lim
ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
Определение. Первым замечательным пределом называется предел
sin x
Lim
x 0
x
Теорема. Первый замечательный предел равен 1
sin x
Lim
=1
x 0
x
Пример 12.1
5x 5
Вычислить предел функции. Lim
x 0 3 x
3
1. Lim sin 7 x Lim sin 7 x 7 x 7
7 x 3x
3
sin 5 x 5 x = 5
sin 5 x =
Lim
Lim
x 0
x 0
3x 5 x 3
3x
x 0
2.
x 0
3x
Определение. Вторым замечательным пределом называется предел:
1. Lim1 x x e
1
x 0
x
1
2. Lim1 e
x
x
Число е, заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом
анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием
натурального логарифма.
Пример 12.2
Вычислить предел функции.
1
x
1. Lim(1 3x) Lim(1 3x)
x 0
x 0
13
3x
e3
8
x)
3
1
x
24
2. Lim (
x
x 5 3 x 1
8
)
Lim (1
)
x
x3
x3
x 3 8
( 3 x 1)
8 x 3
Lim (
e x
24 x 8
)
x 3
Lim (
x
e
e 24 .
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. УРАВНЕНИЕ
КАСАТЕЛЬНОЙ.
Определение. Производной функции y=f(x) в точке x 0 называется предел отношения
приращения функции y f ( x0 x) f ( x0 ) к приращению аргумента x =x- x 0 при
стремлении его к нулю:
y Lim
x 0
f ( x0 x) f ( x0 )
или f ( x0 ) Lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x
x x0
Производная это скорость изменения функции в точке x.
Нахождение производной функции y=f(x) называется дифференцированием.
Производная сложной функции
В любом курсе математического анализа доказывается теорема о производной
сложной функции. Мы ограничимся лишь ее формулировкой.
Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в
точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) имеет в точке x производную
F (x) = f (z) g (x).
Таблица производных сложных функций.
Производная
(С)=0
(x)=1
Степенная функция (xn)=nx(n-1) х
Пример
(5)=0
(8x)=8
(x4)=4x3
(sin 2 x) 2 sin x cos x sin 2 x
Показательная функция
(ax)=axlnax
1
x
x ln a
1
(lnx) =
x
x
(4x)=4xln4
1
x ln 3
1
(lnx2)= 2 2x
x
ln(cos x) sin x tgx
cos x
(logax)=
(log3x)=
(ex)=exx
(sinx)=cosxx
(e3x)=3e3x
(sin5x)=5cos5x
sin x 2x cos x
2
(cosx)= -sinxx
2
(cos8x)=-8sin8x
cos(ln x) sin(ln
1
x
cos 2 x
1
(ctgx)= x
sin 2 x
1
(arcsinx)=
x
1 x2
1
(tgx)=
(arccosx)= -
1 x2
arctgx x 2
1 x
arcctgx
(
x ) =
1
x
x
1 x2
x
2 x
если U=U(x), V=V(x), то y=UV
степенно-показательная функция
(UV )=UVlnUV+VU(V-1)U
x)
1
x
1
5
cos 2 5 x
1
(ctgx2)= 2x
sin 2 x 2
1
(arcsinx3) =
3x2
3 2
1 (x )
(tg5x)=
(arccos
x ) = -
1
1
1 ( x )2 2 x
arctgx
3x 2
1 (x3 )2
arcctgx 2 1 2( xx2 ) 2
1
3
( x ) =
3x2
3
2 x
2
2
y=(sin2x)( x +1) ln(sin2x)2x+(x2+1)(sin2x) x cos2x2
3
Основные правила дифференцирования
Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные в точке x. Тогда функции
f ( x)
S(x) = f(x) g(x) , P(x) = f(x)g(x) , а в случае g(x) 0 также D(x) =
имеют производные
g ( x)
в точке x, которые выражаются следующими формулами:
S (x) =(f(x) g(x))= f (x) g (x)
P (x) = (f(x)g(x))= f (x)g(x) + f(x)g (x)
f ( x)
f ( x) g ( x) g ( x) f ( x)
D(x) =
( g ( x)) 2
g ( x)
Примеры13.1
1. y=xsinx; y=sinx+xcosx
x
cos x x( sin x) cos x x sin x
; y=
=
cos x
cos 2 x
cos 2 x
Уравнение касательной: y y0 y ( x0 )( x x0 ) .
Пример 13.2
Составить уравнение касательной к графику функции y x 2 2 x 5 в точке его
пересечения с осью ординат.
Решение.
x0 0 y 0 5
2. y=
y ( x 2 2 x 5) 2 x 2
y ( x0 ) 2
y y0 y ( x0 )( x x0 )
y 5 2( x 0)
y 2 x 5 - уравнение касательной
Ответ: y 2 x 5
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К
ПРИБЛИЖЁННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ.
Дифференциал функции
Определение. Главная часть приращения функции y = f(x), равная произведению
производной этой функции на дифференциал независимой переменной f (x)dx, называется
dy
дифференциалом и обозначается dy: dy = f (x)dx. Отсюда f ( x)
,то есть производная
dx
функции f(x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.
Поскольку производная f x0 - это угловой коэффициент k касательной к графику
функции при x x0 , то дифференциал df f x0 x kx - это приращение ординаты y
точки касательной y f x0 f x0 x x0 kx b к графику функции y = f(x), когда
абсцисса
точки
касательной
получает
приращение x :
y k x0 x b kx0 b kx (рис. 16.1).
Рис.14.1.Дифференциал равен приращению ординаты касательной
Очевидны следующие свойства дифференциала
1. dC =
янная );
2. d(Cf(x)) = Cdf(x);
3. Если существуют df(x) и dg(x), то d(f(x) g(x)) = df(x) dg(x),
4. Если существуют df(x) и dg(x), то d(f(x)g(x)) = g(x)df(x) + f(x)dg(x).
5. Если существуют df(x) и dg(x), то d f ( x) g ( x)df ( x) f ( x)dg ( x) , g(x) 0
2
g ( x)
g ( x)
Таблица дифференциалов
Дифференциал
dС=0
Степенная функция d(xn)=nx(n-1) xdx
Пример
d5=0
d(x4)=4x3dx
d (sin 2 x) 2 sin x cos xdx sin 2 xdx
Показательная функция
d(ax)=axlnaxdx
1
xdx
x ln a
1
d(lnx) =
xdx
x
d(4x)=4xln4dx
1
dx
x ln 3
1
d(lnx2)= 2 2xdx
x
sin x
d ln(cos x)
dx tgxdx
cos x
d(logax)=
d(log3x)=
d(ex)=exxdx
d(sinx)=cosxxdx
d(e3x)=3e3xdx
d(sin5x)=5cos5xdx
d sin x 2 2 x cos x 2 dx
d(cos8x)=-8sin8xdx
d(cosx)= -sinxxdx
1
d cos(ln x) sin(ln x) dx
x
1
xdx
cos 2 x
1
d(ctgx)= xdx
sin 2 x
1
d(arcsinx) =
xdx
1 x2
1
d(tgx)=
d(arccosx)= d arctgx
1 x
x
dx
1 x2
d arcctgx
d(
x )=
2
xdx
1
1
5dx
cos 2 5 x
1
d(ctgx2)= 2xdx
sin 2 x 2
1
d(arcsinx3) =
3x2dx
d(tg5x)=
1 (x3 )2
d(arccos
d arcctgx 2
xdx
d(
2 x
1
1 ( x)
d arctgx 3
x
dx
1 x2
1
x)=-
2
dx
2 x
3x 2
dx
1 (x3 )2
2x
dx
1 (x2 )2
x 3 )=
1
2 x
Пример 14.1
Найти дифференциал функции f ( x) 3x 2 sin 1 2 x .
Решение.
dy (3x 2 sin 1 2 x )dx 6 x 2 cos1 2 x dx
Пример 14.2
3
3x2dx
Найти и вычислить дифференциал функции y ln 1 e10 x x 2 1 при х=0, dx=0,1.
Решение.
dy (ln 1 e
10 x
10e10 x
x 1)dx
10 x
1 e
2
x 0
dx0,1 10
dx 0 0,1 0,5
2
2
x 1
x
Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Равенство y dy = f ( x)x позволяет с большой точностью вычислить приближенно
приращение любой дифференцируемой функции.
Пример 14.3
Найти приближенное значение приращения функции y x 3 2 x 1 при х=2 и
x 0,001 .
Решение.
x2
x 0 , 001
y dy = x 2 x 1 x 3x 2 x 100,001=0,01.
Формула f x x f ( x) f ( x)x используется для вычислений приближенных
значений функций.
Пример 14.4
Вычислить приближенно:
x
0,05
arctg1,05=arctg(1+0,05)arctgx+(arctgx)xarctgx+
arctg1+
=
2
11
1 x
4
3
2
0,025 0,81
Используются также формулы:
1 x n 1 nx
1 x 1 nx
1
1 x
1 x
ex 1 x
Пример 14.5
Вычислить приближенно:
4
4
1. 1,03 1 0,03 1 4 0,03 1 0,12 1,12
0,02
1 0,0028 1,003
2. 7 1,02 7 1 0,02 1
7
n
ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших
функций равен пределу отношения их производных, если последний существует в указанном
смысле.
f ( x)
f ( x)
0
lim
Итак, если имеется неопределенность вида или , то lim
.
x x0 g ( x )
x x0 g ( x )
0
( x )
( x )
Правило Лопиталя служит весьма мощным средством нахождения сложных пределов.
При этом иной раз приходится применять это правило много раз подряд, пока не получим
предел, значение которого либо очевидно, либо может быть вычислено каким-либо
способом, изученным нами ранее.
Пример 15.1
x
x
1
lim
lim x 0
x e x
x
x
e
ex
1. lim
е x ex 2 0
e x e x 2
e x e x 0
e x e x
e x e x
2. lim
lim
lim
lim
lim
1.
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
2
2
x
2
x2
2x
x
0
0
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ. ОБЩАЯ
СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЯ ИХ ГРАФИКОВ.
Возрастание и убывание функций, экстремумы функций
Определение. Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке
X, если для любых x1 , x2 X , x2 x1 верно неравенство f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) .
Теорема 16.1. Если производная дифференцируемой
функции положительна
(отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то она возрастает (убывает) на этом
промежутке.
Точки области определения функции, в которых производная либо равна нулю, либо
не существует, называются критическими.
Определение. Точка x0 называется точкой минимума функции f(x), если можно
найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности
выполняется условие: f(x) > f(x0) (рис 16(а)).
Определение. Точка x0 называется точкой максимума функции f(x), если можно
найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности
выполняется условие: f(x) < f(x0) (рис.16(б)).
Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками
экстремума.
Пример 16.1
Найти интервалы монотонности и экстремумы функции y= x 2 4 x 3 .
Решение.
D(y)=R
Имеем y 2 x 4
2x 4 0 ; x=2 -критическая точка
x ( ,2) 2
(2, )
y
min
+
y
-1
Ответ: функция убывает на интервале ( ,2) и возрастает на интервале (2, ), точка
x=2 - минимум функции y= x 2 4 x 3 .
Выпуклость функции. Точки перегиба.
Определение. Пусть функция f(x) имеет производную в каждой точке промежутка
(a;b). Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен выше любой своей
касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется выпуклой вниз
на этом промежутке (рис. 16 (в)).
Определение. Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен ниже любой
своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется выпуклой
вверх на этом промежутке (рис. 16(г)).
Определение. Точка x0 называется точкой перегиба графика непрерывной функции
f(x), если она разделяет интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх (рис. 16(д)).
Угловая точка не является точкой перегиба (рис.16(е)).
Теорема 15.2. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции
положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то она выпукла вниз
(выпукла вверх) на этом промежутке.
Пример 16.2
Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции y= x 3 4 x 2 3 .
Решение.
D(y)=R
Имеем y 3x 2 4 x
y 6 x 4
2
6x-4=0 x=
3
x
(,
y
y
+
2
)
3
2
3
т. перегиба
1,6
2
( , )
3
Ответ: функция выпукла вниз на интервале ( ,
2
) и выпукла вверх на интервале
3
2
2
( , ), точка x= - точка перегиба функции y= x 3 4 x 2 3 .
3
3
Асимптоты графика функции
Определение. Асимптотой графика функции y f (x) называется прямая,
обладающая тем свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой
стремиться к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Асимптоты бывают вертикальными (рис. 16.1 а)), горизонтальными (рис. 16.1 б)),
наклонными (рис. 16.1 в)).
Нахождение асимптот графика основано на следующих утверждениях.
Теорема 16.3. Пусть функция y f (x) определена при достаточно больших х и
существует конечный предел функции lim f ( x) b . Тогда прямая y b есть горизонтальная
x
асимптота графика функции y f (x) .
Если lim f ( x) , то функция может иметь наклонную асимптоту.
x
Теорема 16.4. Пусть функция y f (x) определена при достаточно больших х и
f ( x)
k и lim ( f ( x) kx) b . Тогда прямая
существуют конечные пределы функции lim
x
x
x
y kx b является наклонной асимптотой графика функции y f (x) .
Теорема 16.5. Пусть функция y f (x) определена в некоторой окрестности точки
x 0 (исключая саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х x 0 -0 (слева) или
при х x 0 +0 (справа) равен бесконечности, т.е. lim f ( x) или lim f ( x) . Тогда
x х0 0
x х0 0
прямая х= x 0 является вертикальной асимптотой графика функции y f (x) .
Пример 16.3
1
Найти асимптоты графика функции y
.
1 x2
Решение.
1
1
,
Из области определения выпадают точки x=-1 и х=1, т.к. lim
x 1 0 1 х 2
0
1
1
1
1
1
1
lim
, lim
, lim
, следовательно, по
2
2
x 1 0 1 х 2
x
1
0
x
1
0
0
0
0
1 х
1 х
теореме 16.5 прямые x=-1 и х=1 являются вертикальными асимптотами.
Исследуем данную функцию на наклонную и горизонтальную асимптоты (теоремы
16.4 и 16.3).
y kx b
f ( x)
1
0,
lim
k= lim
x
x
x
х х3
1
b lim ( f ( x) kx) lim
0 y=0-горизонтальная асимптота.
x
x 1 x 2
График функции изображен на рис. 16.2.
Ответ: x=-1 и х=1 - вертикальные асимптоты, y=0 - горизонтальная асимптота.
Пример 16.4
Найти асимптоты графика функции y xe x .
Решение.
xe x
f
(
x
)
lim
, следовательно при x график
По теореме 16.4: k= lim
x
x x х
xe x
0,
функции наклонной асимптоты не имеет. При x : k= lim f ( x) lim
x
x x х
b= lim ( f ( x) kx) lim xe x 0 x lim xe x lim
x
x
x
x
x
x
пр.Лопиталя lim
1
0
x e x
e
график имеет горизонтальную асимптоту y 0 .
Максимальное и минимальное значения функции на отрезке
Пусть Функция y=f(x) непрерывна на отрезке [а;b]. Как известно, такая функция
достигает своих максимального и минимального значений. Эти значения функция может
принять либо во внутренней точке x 0 отрезка [а; b] либо на границе отрезка, т. е. при x 0 = а
или x 0 = b. Если x0 (а; b), то точку x 0 следует искать среди критических точек данной
функции (см. рис. 16.3).
рис. 16.3
Получаем следующее правило нахождения максимального и минимального значений
функции на [а; b]:
1. найти критические точки функции на интервале (а; b);
2. вычислить значения функции в найденных критических точках;
3. вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках х = а и х = b;
4. среди всех вычисленных значений функции выбрать максимальное и минимальное.
Замечания:
1. Если функция у = f(x) на отрезке [а; b] имеет лишь одну критическую точку и она
является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает
максимальное (минимальное) значение. На рисунке 16.3 f( x 0 ) = f max (minминимальное, max - максимальное).
2. Если функция у = f(x) на отрезке [а; b] не имеет критических точек, то это означает,
что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое
максимальное значение (М) функция принимает на одном конце отрезка, а
минимальное (m) - на другом.
Пример 16.5
Найти максимальное и минимальное значения функции f(x) = Зх4 + 4х3 + 1 на отрезке
[-2; 1].
Решение:
Находим критические точки данной функции: f (x) = 12х3 + 12x2 = 12х2(х + 1);
f (x) = 0 , тогда 12х2(х + 1)=0 при x1 = 0 [-2;1] и при x 2 = -1 [-2;1].
f(0) = 1, f(-1) = 3- 4+1 = 0,
f(-2) = 48 - 32 + 1 = 17, f(1) = 8.
Итак, f max = 17 в точке х = -2, f min = 0 в точке х = -1.
Общая схема исследования функций и построения их графиков
1. Найти область определения функции
2. Исследовать функцию на четность-нечетность
3. Найти вертикальные асимптоты
4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или
наклонные асимптоты
5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции
6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба
На основании проведенного исследования построить график функции.
Приведенная схема исследования не является обязательной. В более простых случаях
достаточно выполнить лишь несколько операций, например, 1,2,5. Если же график функции
не совсем понятен и после выполнения всех операций, то можно дополнительно исследовать
функцию на периодичность. Построить дополнительно несколько точек графика, выявить
другие особенности функции. Иногда целесообразно выполнение операций исследования
сопровождать постепенным построением графика функции.
Пример 16.5
x
Исследовать функцию y
и построить её график.
1 х2
Решение.
1. Функция не определена при х=1 и х=-1. область определения состоит из трех
интервалов ( ;-1), (-1;1), (1; ), а график из трех ветвей.
x
x
yx
2. Функция y
является нечетной, т.к. y x
2
1 х
1 х2
3. Прямые х=-1 и х=1 -вертикальные асимптоты;
4. Выясним наличие наклонной асимптоты (теорема 16.4):
x
2
f ( x)
1
k lim
0 (k=0 при x и при x ),
= lim 1 x lim
x
x
x
х
x
1 x2
x
x
b lim ( f ( x) kx) lim
0 x lim
0
, подставляя в уравнение
x
x 1 x 2
x 1 x 2
y kx b , получаем y=0 (при x и при x ) - горизонтальную асимптоту.
5. Находим интервалы возрастания и убывания функции:
2
x2 1
x 1 1 x x 2 x
y
2
2
2
1 x
1 x2
1 x 2 . Т.к. y 0 , то функция возрастает на
каждом интервале области определения. Функция экстремумов не имеет, т.к.
критические точки х=-1 и х=1, в которых
принадлежат области определения функции.
производная y не существует, не
6. Исследуем функцию на выпуклость. Находим y :
2 2
2
2
2
x2 1
2 x1 x x 121 x 2 x 2 xx 3
y
1 x 2 2
1 x 2 4
1 x 2 3
x
y
y
( ,-1)
+
-1
(-1;0)
0
т. перегиба
0
(0;1) 1
+
(1; )
График функции изображен на рисунке 16.3.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ.
Определение. Комплексными числами называются числа вида z= x iy , где x, yдействительные числа, i-мнимая единица, определяемая равенством i 2 1 . Действительные
числа x и y называются соответственно действительной x=Re z и мнимой y=Im z частями
комплексного числа z.
Пример 17.1
Приведем примеры комплексных чисел: z= 2 2i , z= 4 5i , z= 3i , z= 1 2i .
Действия над комплексными числами
Пусть z1 x1 iy1 и z 2 x2 iy 2 , тогда
1. z1 z 2 x1 x2 i y1 y2
2. z1 z 2 x1 x2 y1 y2 ix1 y2 x2 y1
x x y1 y2 ix2 y1 x1 y2 ; z 0
z
3. 1 1 2
2
z2
x22 y 22
Пример 17.2
Даны комплексные числа z1= 2 2i , z2= 4 5i . Найти z1 z 2 , z1 z 2 ,
Решение.
z1 z 2 2 (4) i2 5 2 7i
z1
.
z2
z1 z 2 2 (4) i2 5 6 3i
z1 z 2 2 (8) 2 5 i2 5 (4) 2 26 2i
z1 8 10 i 8 10 2 18i 2 18
i
z2
16 25
41
41 41
Определение. Геометрически каждое комплексное число z= x iy изображается
точкой M(x;y) координатной плоскости xOy (рис.17.1). В этом случае плоскость xOy
называют комплексной числовой плоскостью, или плоскостью комплексного переменного z.
Определение. Полярные координаты r= z = x 2 y 2 и =аrg z точки М называются
модулем и аргументом комплексного числа z.
Определение. Значение угла , которое удовлетворяет неравенству ,
называют главным значением аргумента z и обозначают argz.
Аргумент z можно определить по формуле:
y
arctg , x 0
x
y
arctg , x 0, y 0
x
аrgz=
y
arctg , x 0, y 0
x
, x 0, y 0
2
, x 0, y 0
2
Пример 17.3
Изобразить комплексное число z= 2 2i на комплексной числовой плоскости, найти
его модуль и главное значение аргумента.
Решение.
Изобразим z= 2 2i на комплексной числовой плоскости; х=2 и y=2 (рис.17.2).
Найдем модуль z = x 2 y 2 , так как х=2 и y=2, тогда z = 2 2 2 2 8 2 2
x 0
Найдем главное значение аргумента: аrgz arctg
.
4
Формы записи комплексных чисел
Ответ: z = 2 2 , аrgz=
2
arctg1 .
2
4
Определение. Запись числа z в виде z= x iy называется алгебраической формой
комплексного числа.
Определение. Соотношения между модулем и аргументом комплексного числа z и
его
действительной
и
мнимой
частями
устанавливаются
формулами:
x r cos ; y r sin . Заменяя x и y
в записи комплексного числа z= x iy их
выражениями через r и , получаем тригонометрическую форму комплексного числа:
z r cos i sin z cos i sin , где z = x 2 y 2 -модуль, =аrg z- главное значение
аргумента.
Определение. Запись числа z в виде z z e i , где z = x 2 y 2 , =аrg z называется
показательной формой комплексного числа.
Пример 17.4
Записать комплексное число z= 2 2i в тригонометрической и показательной форме.
Решение.
z z cos i sin
z = 2 2 2 2 8 2 2 -модуль комплексного числа
x 0
2
аrgz arctg arctg1 -главное значение аргумента.
2
4
z 2 2 cos i sin - тригонометрическая форма комплексного числа z= 2 2i .
4
4
z= 2 2e i 4 - показательная форма комплексного числа z= 2 2i .
Ответ: z 2 2 cos i sin , z= 2 2e i 4 .
4
4
Формула для возведения комплексного числа в натуральную степень n (формула
n
n
Муавра): z n z cos i sin z cos n i sin n .
Пример 17.5
Найти 1 i .
Решение.
Запишем данное
3
3
i sin
1+i= 2 cos
.
4
4
20
комплексное
число
По
20
в
тригонометрической
формуле
-
Муавра:
20
1 i = 2 cos 3 i sin 3 2 cos 20 3 i sin 20 3 =
4
4
4
4
=1024 cos15 i sin 15 =1024(-1+0i)=1024.
Ответ: 1024.
Извлечение
корня
из
комплексного
2k
2k
n
z n z cos i sin n z cos
i sin
, где k=0, 1, 2, …, n-1.
n
n
20
форме:
числа:
Пример 17.6
Найти 3 1 i .
Решение.
Запишем данное комплексное число в тригонометрической
3
3
i sin
1+i= 2 cos
.
4
4
По формуле извлечения корня из комплексного числа:
форме:
-
3
1 i
3
3
3
2k
2k
, k=0, 1, 2, откуда получаем три значения
2 cos 4
i sin 4
3
3
корня:
при k=0: z1 6 2 cos i sin
4
4
11
11
i sin
при k=1: z 2 6 2 cos
12
12
19
19
i sin
при k=2: z 3 6 2 cos
.
12
12
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДСТАНОВКОЙ
Если заданный интеграл с помощью алгебраических преобразований трудно или
невозможно свести к одному или нескольким табличным интегралам, то для его отыскания
применяют особые способы, одним из которых является способ подстановки (замены
переменной).
Способ подстановки заключается в следующем: новой переменной заменяют такую
часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой получается оставшаяся
часть подынтегрального выражения (не считая постоянного множителя, который всегда
можно вынести за интеграл).
( х) t
/
f ( ( х)) ( х)dх / ( х)dх dt f (t )dt .
Выбор удачной формулы (подстановки) для замены переменной имеет большое
значение. Вместе с тем дать одно общее правило для выбора хорошей подстановки
невозможно. Однако можно посоветовать в качестве потенциальной подстановки
рассматривать наиболее сложную часть подынтегральной функции.
2 xdx
Пример 18.1: Найти интеграл 4
.
x 3
Решение:
Полагаем x 2 t ; дифференцируя обе части, получаем 2xdх dt . Далее подставляем
эти выражения в исходный интеграл и возвращаемся к заданной переменной x.
x2
t
2 xdx
2 xdx
4
2
x 3
2 xdх dt
x2 3
1
3
arctg
x2
3
dt
dt
t 3
t2 3
2
2
1
3
arctg
t
3
C
C
Пример 18.2: Найти интеграл sin xdx .
1 2 cos x
Решение:
1
1
1 2 cos x t
sin xdx
1 2 sin xdx
1 dt
1 2
1
1 2 cos x 2 1 2 cos x 2 sin xdx dt 2 t 2 t dt 2 2t 2 C
t C 1 2 cos x C
Пример 18.3: Найти интеграл
xdx
3
x2 7
.
Решение:
xdx
3
x 7
2
1
1
3
2
3
x 7 t 1 dt 1
1
2 xdx
1 t
1 t
3 t dt 1 C 2 C
2
3
2
2 3 1
2 3
t 2
x 7 2 xdx dt 2
2
2
3
1
3
2
1 3t
3
3
C 3 t 2 C 3 x 2 7 C.
2 2
4
4
1 nx
dx .
Пример 18.4: Найти интеграл
x
Решение:
3
1 nx t
1 nx
2t 2
2 3
2
2
dx
1 nx 3 C
dx
t
dt
t
dt
C
t C
x
dt
3
3
3
x
e 2 x dx
Пример 18.5: Найти интеграл
.
ex 3
Решение:
t 3dt t 3 dt
e 2 x dx
e x e x dx e x 3 t e x t 3
e x 3 e x 3 e x dx dt
t t
t
1
1
1
1
3
1
3
1
2 2
2
2
2
2
t 3t dt t dt 3 t dt t 3 2t 2 C e x 32 6e x 32 C
3
3
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ
При интегрировании функций, содержащих произведения, логарифмы и обратные
тригонометрические функции, удобно использовать способ интегрирования по частям.
udv uv vdu
При практическом использовании формулы интегрирования по частям данное
подынтегральное выражение представляют в виде произведения двух сомножителей,
которые обозначают через u и dv . При этом за u берется такая функция, которая при
дифференцировании упрощается, а за dv - та часть подынтегрального выражения, интеграл
от которой легко вычисляется.
Обычно интегрированием по частям вычисляются интегралы следующих видов.
В случае интегралов вида x n e ax dx , x n sin ax dx , x n cosax dx в качестве u следует
принять x n , а за dv соответственно выражения e ax dx, sin axdx , cosaxdx .
В случае интегралов вида
x
n
og a xdx
x
n
arcsin ax dx ,
x
n
arctg ax dx в качестве u
следует принять соответственно функции og a x, arcsin ax, arctgax , а за dv выражение
x n dx .
Пример 19.1: Вычислить интеграл
Решение:
x cos xdx
x cos xdx
ux
du x dx
x sin x sin xdx x sin x cos x C
dv cos xdx v cos xdx sin x
Пример 19.2: Вычислить интеграл arctgxdx
Решение:
dx
u arctgx du arctgx dx
xdx
.
1 x 2 xarctgx
2
arctgxdx dv dx
1
x
v dx x
Для вычисления полученного в правой части равенства интеграла можно
использовать замену переменной:
xdx
1 2 xdx 1 x 2 t 1 dt 1
1
2
1 x 2 2 1 x 2 2 xdx dt 2 t 2 n t C 2 n 1 x C .
В результате получаем окончательный ответ:
1
2
arctgxdx xarctgx 2 n 1 x C
Пример 19.3: Вычислить интеграл x 2 sin xdx
Решение:
u x2
du x 2 dx 2 xdx
2
x sin xdx dv sin xdx v sin xdx cos x x cos x cos x 2 xdx
2
x 2 cos x 2 x cos xdx.
Для нахождения полученного в правой части равенства интеграла снова интегрируем
по частям:
ux
du x dx dx
x cos xdx dv cos xdx v cos xdx sin x x sin x sin xdx x sin x cos x C
x sin x cos x C
В результате получаем окончательный ответ:
2
2
x sin xdx x cos x 2 x sin x 2 cos x C
Пример 19.4: Вычислить интеграл
x
2
1 nxdx
Решение:
dx
du nx dx
u
nx
x3
x3
dx
x
x
x 2 1 nxdx
x
nx
3
2
x
dv x 1 dx
3
3
x
2
v x 1 dx
x
3
x3
x2
x3
x3
x nx 1dx x nx
xC
9
3
3
3
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ
Определение: Рациональной дробью называют функцию, равную частному от
Р ( x)
деления двух многочленов: m
, где Рm (x) - многочлен степени m, а Qn (x) - многочлен
Qn ( x )
степени n.
Определение. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена
числителя меньше степени многочлена знаменателя; в противном случае рациональная дробь
называется неправильной.
Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы
многочлена и правильной рациональной дроби:
Р ( х)
Q ( x)
L( x)
r ( x)
,
Q( x)
где L (x ) - многочлен, а
r ( х)
- правильная рациональная дробь.
Q( x)
Пример 20.1. Представить дробь
x 3 3x 4
в виде суммы многочлена и правильной
x2
дроби.
Решение:
Исходная дробь является неправильной, поскольку степень многочлена числителя
(равна 3) больше степени многочлена знаменателя (равна 1).
Делим числитель на знаменатель:
x 3 0 x 2 3x 4
x2
3
2
2
x 2x 1
x 2x
2 x 2 3x 4
2x 2 4x
x4
x2
6
Частное L( x) x 2 x 1 остаток r ( x) 6 .
Следовательно,
x 3 3x 4
6
.
x 2 2x 1
x2
x2
2
Определение: Простейшими дробями называются правильные дроби вида
А
и
ха
Mx N
, где А, а, p, q, M и N - действительные числа, а трехчлен х 2 px q не имеет
х px q
действительных корней.
Интегрирование простейших дробей
А
1 случай. Дроби вида
интегрируются посредством замены переменной:
ха
Аdx x a t
dt
x a dx dt A t A n t C A n x a C
2
Пример 20.2: Вычислить интеграл
2dx
x3
Решение:
2dx
x3
x3 t
dt
2 2 n t C 2 n x 3 C
dx dt
t
Пример 20.3: Вычислить интеграл
dx
4x 1
Решение:
4 x 1 t 1 4dx
1 dt 1
1
n t C n 4 x 1 C
4dx dt 4 4 x 1 4 t
4
4
Mx N
2 случай. Дроби вида
также интегрируются посредством замены
2
х px q
dx
4x 1
переменной при предварительном выделении полного квадрата в знаменателе дроби:
p
M t N
p
p
Mx N
Mx N
2
x t xt
dt
2
х 2 px q dx p 2 p 2 dx 2
p2
2
dx
dt
t q
x q
4
2
4
Mp
M
tdt
Mp
dt
M
2
2
2 arctg t C
M 2
N
n(t a )
2
2
2
2 t a
2
a
a
t a
Пример 20.4: Вычислить интеграл
x
2
dx
4x 8
Решение:
x2t
dx
dx
dt
dt
1
1
x 2 4 x 8 x 22 4 dx dt t 2 4 t 2 2 2 2 arctgt C 2 arctg x 2 C
3x 2
dx
Пример 20.5: Вычислить интеграл 2
x 6x 7
Решение:
x3 t x t 3
3x 2
3x 2
3t 3 2
dt
x 2 6 x 7dx x 32 2dx dx dt
t2 2
3t 11
3t
11
dt 2
dt 2
dt.
2
t 2
t 2
t 2
Рассмотрим отдельно каждый из получившихся интегралов:
t 2 2 p 3 2tdt
3tdt
tdt
3 dp 3
3
2
3
t 2 2 t 2 2 2tdt dp 2 t 2 2 2 p 2 n p C 2 n t 2 C .
11dt
dt
dt
11 2
11
2
2
2
t 2
t 2
t
2
11
1
2 2
n
t 2
C .
t 2
В результате получаем окончательный ответ
3x 2
3
1
t 2
3
1
x 3 2
2
2
x 2 6 x 7dx 2 n t 2 11 2 2 n t 2 C 2 n x 3 2 11 2 2 n x 3 2 C
Разложение правильной рациональной дроби на простейшие:
Р( х)
Р( х)
Пусть имеется правильная дробь
. При разложении дроби
на сумму
Q( x)
Q( x)
простейших необходимо выполнить следующие действия:
1. Разложить знаменатель на действительные множители. При этом знаменатель будет
содержать либо линейные множители вида x a , либо квадратичные множители
вида х 2 px q , причем трехчлен х 2 px q не имеет действительных корней.
2. Представить исходную дробь в виде суммы простейших дробей. При этом каждому
линейному множителю знаменателя вида x a соответствует простейшая дробь вида
А
, а каждому квадратичному множителю знаменателя вида х 2 px q
ха
соответствует простейшая дробь вида
Мх N
.
x px q
2
3. Неопределенные буквенные коэффициенты находят так называемым методом
частных значений. Суть метода состоит в следующем:
a. привести простейшие дроби к общему знаменателю;
b. приравнять числители равных дробей;
c. придавая переменной x удобные значения, например корни знаменателя,
получить уравнения для вычисления неопределенных коэффициентов.
4. Подставить найденные значения неопределенных буквенных коэффициентов в
простейшие дроби.
5x 9
dx
Пример 20.6: Вычислить интеграл 2
x 5x 6
Решение:
5x 9
Подынтегральная дробь 2
является правильной (степень многочлена
x 5x 6
числителя, равная 1, меньше степени многочлена знаменателя, равной 2).
5x 9
Проведем разложение дроби 2
на сумму простейших.
x 5x 6
Раскладывая знаменатель на множители, получаем
5x 9
5x 9
.
2
x 5 x 6 x 3x 2
Так как знаменатель состоит из двух линейных множителей вида x a , то каждому
А
из них будет соответствовать простейшая дробь вида
. Окончательно получаем:
ха
5x 9
5x 9
A
B
.
2
x 5 x 6 x 3x 2 x 3 x 2
Найдем неопределенные коэффициенты A и B .
Приводя дроби к общему знаменателю, получаем
5x 9
5x 9
A
B
Ax 2 Bx 3
.
2
x 3x 2
x 5 x 6 x 3x 2 x 3 x 2
Поскольку знаменатели исходной и конечной дробей равны, то равны и числители
этих дробей, то есть 5x 9 Ax 2 Bx 3
Придавая переменной x удобные значения, в качестве которых будут выступать
корни знаменателя x 2 и x 3 , составим систему для нахождения неопределенных
коэффициентов.
x2
5 2 9 A2 2 B2 3
19 A 0 B 1 19 B
19 B
x3
5 3 9 A3 2 B3 3
24 A 1 B 0
24 A
24 A
Подставляя найденные значения A и B в простейшие дроби получаем
5x 9
5x 9
A
B
24
19
2
x 5 x 6 x 3x 2 x 3 x 2 x 3 x 2
Возвращаясь к вычислению интеграла, имеем:
5x 9
19
24
19
1
1
24
x 2 5x 6dx x 3 x 2 dx x 3 dx x 2dx 24 x 3 dx 19 x 2dx
24 n x 3 19 n x 2 C.
Пример 20.7: Вычислить интеграл
x 1
dx
2
1
xx
Решение:
x 1
является правильной (степень многочлена
x x2 1
числителя, равная 1, меньше степени многочлена знаменателя, равной 3).
x 1
Проведем разложение дроби
на сумму простейших.
x x2 1
Знаменатель дроби уже представлен в виде произведения, поэтому сразу переходим к
анализу множителей.
Знаменатель состоит из двух множителей: x и x 2 1 . Первый множитель x является
линейным множителем вида x a , а значит, ему будет соответствовать простейшая дробь
А
вида
. Второй множитель x 2 1 является квадратичным множителем вида
ха
Bх C
.
х 2 px q , а значит, ему будет соответствовать простейшая дробь вида 2
x px q
Окончательно получаем:
x 1
A Bx C
2
2
xx 1 x
x 1
Найдем неопределенные коэффициенты A , B и С .
Приводя дроби к общему знаменателю, получаем
x 1
A Bx C A x 2 1 Bx C x A x 2 1 Bx 2 Cx
2
.
x
x x2 1
x 1
x x2 1
x x2 1
Поскольку знаменатели исходной и конечной дробей равны, то равны и числители
этих дробей, то есть x 1 A x 2 1 Bx 2 Cx
Придавая переменной x удобные значения, в качестве которых будут выступать
корни знаменателя x 0 и два произвольных значения x 1, x 1 составим систему для
нахождения неопределенных коэффициентов.
x0
0 1 A0 2 1 B 0 2 C 0
1 A
2
2
x 1
1 1 A1 1 B 1 C 1
2 2A B C
2
2
x 1
1 1 A 1 1 B 1 C 1
0 2A B C
Подынтегральная
дробь
1 A
1 A
1 A
1 A
2 2 BC
0 BC
2 2B
1 B
2 BC
BC
1 C
0 2 BC
Подставляя найденные значения A , B и С в простейшие дроби получаем
x 1
A Bx C 1 x 1
2
2
x
x x 1
x 1 x x2 1
Возвращаясь к вычислению интеграла, имеем:
x 1
1
x 1
1
x
1
1 x 1
x x 2 1 dx x x 2 1 dx x dx x 2 1 dx x dx x 2 1dx x 2 1dx
Рассмотрим отдельно каждый интеграл:
1
x dx n x C
x 2 1 t 1 2x
x
1 dt 1
1
2
dx
x 2 1 2 xdx dt 2 x 2 1dx 2 t 2 n t C 2 n x 1 C
x
1
2
dx arctgx C
1
Окончательно получаем:
x 1
1
dx n x n x 2 1 arctgx C
2
2
1
xx
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Интегрирование произведений синусов и косинусов
Формулы тригонометрии позволяют перейти от интегрирования произведения
тригонометрических функций к интегрированию суммы или разности тех же функций.
1
1
cos cos
2
2
1
1
sin sin cos cos
2
2
1
1
sin cos sin sin
2
2
Пример 1: Вычислить интеграл sin 3 x cos 5 xdx
cos cos
Решение:
1
sin 3x cos 5 xdx 2 sin 3x 5 x 2 sin 3x 5 x dx 2 sin 2 x dx 2 sin 8 x dx
1
1
1
1 1
1 1
1
1
cos 2 x cos 8 x C cos 2 x cos 8 x C
2 2
2 8
4
16
Вычисление интегралов вида sin m x cos n xdx , где m или n - нечетное число
Если m - нечетное, то следует использовать подстановку cos x t .
Если n - нечетное, то следует использовать подстановку sin x t .
Пример 2: Вычислить интеграл sin 3 x cos 5 xdx
Решение:
Отделяем от одной из нечетных степеней (низшей) один
3
sin x sin 2 x sin x и заменяем cos x t , тогда sin xdx dt или sin xdx dt .
В итоге получаем
3
5
2
5
2
5
sin x cos xdx sin x cos x sin xdx 1 cos x cos x sin xdx
cos t
sin xdx dt
1 t 2 t 5 dt t 2 1 t 5 dt t 7 t 5 dt
t8 t6
t8 t6
cos 8 x cos 6 x
C C
C
8 6
8 6
8
6
множитель,
Вычисление интегралов вида sin m x cos n xdx , где m и n -четное числа
Использовать тригонометрические формулы понижения степени:
1
sin 2 x 1 cos 2 x
2
1
cos 2 x 1 cos 2 x
2
1
sin x cos x sin 2 x
2
Пример 3: Вычислить интеграл sin 2 3xdx
Решение:
1
1 cos 2 x , получаем
2
1
1
1
1
2
sin 3xdx 2 1 cos 6 x dx 2 1 cos 6 x dx 2 dx 2 cos 6 xdx
1
1
x sin 6 x C
2
12
Вычисление интегралов вида Rsin x; cos x dx
Используя формулу понижения степени sin 2 x
Под интегралом вида
Rsin x; cos x dx
понимается интеграл, содержащий дробь,
элементами которой являются тригонометрические функции, например,
В таких случаях используется универсальная тригонометрическая подстановка.
Данная подстановка интеграл от любой рациональной относительно cos x и sin x
тригонометрической функции приводит к интегралу от рациональной функции.
x
2t
1 t 2
2dt
tg t ;
sin x
;
cos
;
dx
2
2
2
1 t
1 t
1 t2
dx
Пример 4: Вычислить интеграл
2 sin x cos x
Решение:
x
Полагая tg t и заменяя sin x , cos x и dx указанными выражениями через t,
2
получаем
2dt
2dt
2
dx
2dt
dt
1 t
1 t2
2 sin x cos x 2t 1 t 2 4t 1 t 2 t 2 4t 1 2 t 22 5
2
1 t2 1 t2
1 t2
x
tg 2 5
d t 2
1
t 2 5
1
2
2
n
C
n 2
C
2
t 2 5
2 5 t 2 5
5 tg x 2 5
2
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пусть на промежутке [a;b] задана непрерывная и неотрицательная функция y=f(x).
Требуется найти площадь S криволинейной трапеции, т. е. фигуры, ограниченной графиком
этой функции, отрезком [a;b] оси Оx и прямыми x=a и x=b(см. рис.1).
Если F(x)-некоторая первообразная для функции f(x) на интервале [a;b], то S=F(b)F(a). Величина F(b)-F(a) называется определенным интегралом от a до b функции f(x) и
записывается следующим образом:
b
f x dx =
b
F(b)-F(a)= F ( x) a - формула Ньютона-Лейбница, где число a -нижний
a
предел, а число b верхний предел интегрирования.
Cвойства определенного интеграла:
b
b
a
a
1. kf x dx k f x dx (здесь k - произвольное число);
f x g x dx f x dx g x dx ;
b
2.
a
b
a
a
b
b
b
a
a
3. f x dx f x dx ;
4. Если c[a;b] (см. рис. 2), то
b
c
b
a
c
f x dx f x dx f x dx .
a
Из этих свойств следует, например, что
2π
sin x dx 0 .
0
Все приведенные выше свойства непосредственно следуют из определения
определенного интеграла.
Пример.
1
Вычислить определенный интеграл: ( y 4 4 y 3 y 5)dy .
0
1
1
1 1
y5
y4 y2
1
4
5 y ) 0 4 5 5,7.
5
4 2
5
4
2
0
Геометрический смысл определенного интеграла
Определённый интеграл от неотрицательной функции y=f(x) на отрезке
численно равен площади криволинейной трапеции:
Решение. ( y 4 4 y 3 y 5)dy = (
[a;b]
S f x dx .
b
a
Если f(x) < 0 во всех точках промежутка [a;b] и непрерывна на этом промежутке
(например, как изображено на рисунке), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной
отрезком [a;b] горизонтальной оси координат, прямыми x = a; x = b и графиком функции
y = f(x), определяется формулой.
b
S f x dx
a
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Интеграл
интеграл I рода)
с
бесконечным
промежутком
интегрирования
(несобственный
Пусть функция f (x) непрерывна на промежутке [a,+ ). Если существует конечный
предел
b
lim f ( x)dx , то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают
b a
f ( x)dx . Таким образом, по определению f ( x)dx = lim f ( x)dx
b
a
a
b a
Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке (- ,b];
b
b
f ( x) dx = lim f ( x)dx .
a a
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой:
c
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx ,
где с – произвольное число. В этом случае интеграл
сходиться лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.
Пример.
dx
Вычислить несобственный интеграл 2
1 x
dx
x
2
b
lim x 2 dx = lim
b
b 1
1
1
x
b
1
(0 1) 1
Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)
Пусть функция f (x) непрерывна на промежутке [a,b) и имеет бесконечный разрыв
при x b . Если существует конечный предел
b
lim
f ( x)dx , то его называют несобственным
0
интегралом второго рода и обозначают
b
a
f ( x)dx .
Таким образом, по определению
a
b
b
f ( x)dx = lim f ( x)dx .
0
a
Если
a
предел
в
правой
части
существует,
то
несобственный
b
интеграл f ( x)dx сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то
a
b
говорят, что интеграл
f ( x)dx
расходится.
a
Приближенное вычисление несобственного интеграла.
b
b a f ( x0 ) f ( x n )
f ( x1 ) ... f ( xn1 ) (22.1) - формула трапеций.
a f ( x)dx n
2
Абсолютная погрешность приближенного равенства (22.1) оценивается с помощью
(b a) 3 M 2
, M 2 – наибольшее значение f // ( x) на отрезке [a; b]
следующей формулы:
12n 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Дифференциальное уравнение с разделенными переменными записывается в виде:
P( x)dx Q( y )dy 0 (1). В этом уравнении одно слагаемое зависит только от x, а другое – от
y. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:
P( x)dx Q( y)dy c – его общий
интеграл.
Пример: найти общий интеграл уравнения: xdx ydy 0 .
Решение: данное уравнение – дифференциальное уравнение с разделенными
c
x2 y2
c1 . Тогда
c1 . Обозначим
переменными. Поэтому xdx ydy c1 или
2
2
2
x 2 y 2 c – общий интеграл дифференциального уравнения.
Уравнение
с
разделяющимися
переменными
имеет
вид
P1 ( x) Q1 ( y)dx P2 ( x)Q2 ( y)dy 0 (2). Уравнение (2) легко сводиться к уравнению (1) путем
P1 ( x)
Q ( y)
почленного деления его на Q1 ( y) P2 ( x) 0 . Получаем:
dx 2
dy 0,
P2 ( x)
Q1 ( y)
P1 ( x)
Q2 ( y)
P2 ( x) dx Q1 ( y) dy c – общий интеграл.
Пример: Решить уравнение ( x xy)dx ( x xy)dy 0 .
Решение: преобразуем левую часть уравнения: y (1 x)dx x(1 y )dy 0 . Делим обе
1 x
1 y
1 x
1 y
части уравнения на xy 0 :
dx
dy 0.
dx
dy c. Решением является
x
y
x
y
выражение: x ln x ln y y c, т.е. ln xy x y c.
ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
Уравнение вида P( x, у )dx Q( x, y )dy 0 называется однородным, если P ( x, у ) и
Q ( x, y ) – однородные функции одного порядка (измерения). Функция f ( x, y ) называется
однородной функцией первого порядка (измерения), если при умножении каждого ее
аргумента на произвольный множитель вся функция умножиться на , т.е.
f ( x, y ) = f ( x , y ) .
y
Однородное уравнение может быть приведено к виду y / . С помощью
x
y
u ( y ux )однородное уравнение приводится к уравнению с
подстановки
x
разделяющимися переменными по отношению к новой функции u .
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно
записать в виде y / p( x) y g ( x) .
Метод Бернулли
Решение уравнения y / p( x) y g ( x) ищется в виде произведения двух других
функций, т.е. с помощью подстановки y u v ( y / u / v v / u ).
Пример: проинтегрировать уравнение y / 2 xy 2 x .
Полагаем y u v . Тогда u / v v / u 2 x uv 2 x , т.е. u / v u (v / 2 x v) 2 x . Сначала
2
dv
2xdx, ln v x 2 , v e x .
решаем уравнение v / 2 x v =0:
v
2
2
2
du
2 xe x , du 2 x e x dx,
Теперь решаем уравнение u e x u 0 2 x, т.е.
dx
2
2
x2
u e c . Итак, общее решение данного уравнения есть y uv (e x c) e x , т.е.
y 1 c ex .
Уравнение Я. Бернулли
Уравнение вида y / p( x) y g ( x) y n , где n 0, n 1 называется уравнением
Бернулли. Данное уравнение решается с помощью метода Бернулли.
2
ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С
ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется
уравнение вида y p y q y 0 (1), где p и q постоянны.
Частные решения уравнения (1) будем искать в виде y e kx , где к – некоторое число.
Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для y , y , y в уравнение (1),
получим k 2 e kx p k e kx q e kx 0, т.е. e kx (k 2 p k q) 0, или k 2 p k q 0 (2)
( e kx 0 ).
Уравнение 2 называется характеристическим уравнением дифференциального
уравнения.
При решении характеристического уравнения (2) возможны три случая.
Случай 1. Корни k1 и k 2 уравнения (2) действительные и различные: k1 k 2 . В этом
случае частными решениями уравнения (1) являются функции y1 e k1x и y 2 e k2 x .
Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид y c1e k1x c2 e k2 x .
Случай 2. Корни k1 и k 2 уравнения (2) действительные и равные: k1 k 2 . В этом
случае частными решениями уравнения (1) являются функции y1 e k1x и y 2 xek2 x .
Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид y c1e k1x c2 xek2 x .
Случай 3. Корни k1 и k 2 уравнения (2) комплексные: k1 i , k 2 i . В этом
случае частными решениями уравнения (1) являются функции y1 e ( i ) x и y2 e( i ) x .
Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид y ex (c1 cos x c2 sin x).
Пример. Решить уравнение y 5 y 6 y 0 .
Решение:
составим
характеристическое
уравнение: k 2 5k 6 0 .
Тогда
2x
3x
k1 2, k 2 3 . Общее решение данного уравнения y c1e c2 e .
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. УСЛОВНЫЙ
ЭКСТРЕМУМ.
Экстремум функции нескольких переменных
Определение. Точка М (хо,уо) называется точкой максимума (минимума) функции
z=f(x, у), если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек {х, у) из этой
окрестности выполняется неравенство f ( x0 , y 0 ) f ( x, y), ( f ( x0 , y0 ) f ( x, y) )
На рис. 1 точка А ( x1 , y1 ) — есть точка минимума, а точка В ( x2 , y2 ) — точка
максимума.
Необходимое условие экстремума — многомерный аналог теоремы Ферма.
Теорема. Пусть точка ( x0 , y0 ) – есть точка экстремума дифференцируемой функции z=f(x, у). Тогда частные производные f x/ ( x0 , y 0 ) и f y/ ( x0 , y0 ) в этой точке равны нулю.
Точки, в которых выполнены необходимые условия экстремума функции z=f(x, у), т.е.
частные производные z'x и z'y равны нулю, называются критическими или стационарными.
Равенство частных производных нулю выражает лишь необходимое, но
недостаточное условие экстремума функции нескольких переменных.
На рис. изображена так называемая седловая точка М (хо,уо). Частные производные
/
f x ( x0 , y 0 ) и f y/ ( x0 , y0 ) равны нулю, но, очевидно, никакого экстремума в точке М(хо,уо) нет.
Такие седловые точки являются двумерными аналогами точек перегиба функций
одной переменной. Задача заключается в том, чтобы отделить их от точек экстремума.
Иными словами, требуется знать достаточное условие экстремума.
Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть
функция z=f(x, у): а) определена в некоторой окрестности критической точки (хо,уо), в
которой f x/ ( x0 , y 0 ) =0 и f y/ ( x0 , y0 ) =0;
б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго
порядка f xx// ( x0 , y 0 ) A ; f xy// ( x0 , y0 ) f yx// ( x0 , y0 ) B ; f yy/ ( x0 , y0 ) C. Тогда, если ∆=АС— В2
>0, то в точке (хо,уо) функция z=f(x, у) имеет экстремум, причем если А<0 — максимум,
если А>0 — минимум. В случае ∆=АС— В2<0, функция z=f(x, у) экстремума не имеет. Если
∆=АС— В2=0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.
Исследование функции двух переменных на экстремум рекомендуется проводить
по следующей схеме:
1. Найти частные производные функции z'x и z'y.
2. Решить систему уравнений z'x =0, z'y =0 и найти критические точки функции.
3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой
критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии
экстремумов.
4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.
2( x y )(1 xy)
.
Пример. Найти экстремумы функции z
(1 x 2 )(1 y 2 )
Решение. 1. Находим частные производные
2(1 x 2 )
2(1 y 2 )
/
z x/
,
z
,
y
(1 x 2 ) 2
(1 y 2 ) 2
2. Критические точки функции находим из системы уравнений:
2(1 x 2 )
0,
2 2
(1 x )
2
2(1 y ) 0
(1 y 2 ) 2
имеющей четыре решения (1; 1), (1; —1), (—1; 1) и (—1; -1).
3. Находим частные производные второго порядка:
4 x( x 2 3)
4 x( y 2 3)
//
//
//
;
;
, вычисляем их значения в каждой
z
z
z
0
yy
xy
yx
(1 x 2 ) 2
(1 y 2 ) 2
критической точке и проверяем в ней выполнение достаточного условия экстремума.
Например, в точке (1; 1) A=z"(1; 1)= -1; В=0; С= -1. Так как ∆= АС— В2 = (-1)2-0=1 >0
и А=-1<0, то точка (1; 1) есть точка максимума.
Аналогично устанавливаем, что (-1; -1) — точка минимума, а в точках (1; —1) и (—1;
1), в которых ∆=АС— В2 <0, — экстремума нет. Эти точки являются седловыми.
4. Находим экстремумы функции zmax = z(l; 1) = 2, zmin = z(-l; -1) = -2,
Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее
экстремум ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем
некоторому условию.
Пусть рассматривается функция z = f(x,y), аргументы х и у которой удовлетворяют
условию g (х,у) = С, называемому уравнением связи.
Определение. Точка ( x0 , y0 ) называется точкой условного максимума (минимума),
если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек (х,у) из этой
окрестности удовлетворяющих условию g (x,y) = С, выполняется неравенство
f ( x0 , y0 ) f ( x, y), ( f ( x0 , y 0 ) f ( x, y) ).
z xx//
На рис. изображена точка условного максимума ( x0 , y0 ) . Очевидно, что она не
является точкой безусловного экстремума функции z = f(x,y) (на рис. это точка ( x1 , y1 ) ).
Наиболее простым способом нахождения условного экстремума функции двух
переменных является сведение задачи к отысканию экстремума функции одной переменной.
Допустим уравнение связи g (x,y) = С удалось разрешить относительно одной из переменных, например, выразить у через х: y (x) . Подставив полученное выражение в функцию
двух переменных, получим z = f(x,y) = f ( x, ( x)) , т.е. функцию одной переменной. Ее
экстремум и будет условным экстремумом функции z = f(x,y).
Пример. Найти точки максимума и минимума функции z = х2 + y2 при условии 3х +2у
= 11.
Решение. Выразим из уравнения 3х +2у = 11 переменную y через переменную x и
2
11 3 x
подставим полученное y
в функцию z. Получим z=x2+2 11 3 x или z
2
2
11 2
= ( x 6 x 11) . Эта функция имеет единственный минимум при x 0 = 3. Соответствующее
2
значение функции y0
11 3x0
1. Таким образом, (3; 1) — точка условного экстремума
2
(минимума).
В рассмотренном примере уравнение связи g(x, у) = С оказалось линейным, поэтому
его легко удалось разрешить относительно одной из переменных. Однако в более сложных
случаях сделать это не удается.
Для отыскания условного экстремума в общем случае используется метод
множителей Лагранжа.
Рассмотрим функцию трех переменных L( x, y, ) f ( x, y ) [ g ( x, y ) C ]
Эта функция называется функцией Лагранжа, а — множитлем Лагранжа. Верна
следующая теорема.
Теорема. Если точка ( x0 , y0 ) является точкой условного экстремума функции z =
f(x,y) при условии g (x,y) = С, то существует значение 0 такое, что
точка ( x0 , y 0 , 0 ) является точкой экстремума функции L{x,y, ).
Таким образом, для нахождения условного экстремума функции z = f(х,у) при условии
g(x,y) = С требуется найти решение системы
L/x f x/ ( x, y ) g x/ ( x, y ) 0,
/
/
/
L y f y ( x, y ) g y ( x, y ) 0,
/
L g ( x, y ) C 0.
На рис. показан геометрический смысл условий Лагранжа. Линия g (х,у) = С
пунктирная, линия уровня g(x,y) = Q функции z = f(x,y) сплошные.
Из рис. следует, что в точке условного экстремума линия уровня функции z = f(x,y)
касается линии g(x,y) = С.
Пример. Найти точки максимума и минимума функции z = х2 + y2 при условии 3х +2у
= 11, используя метод множителей Лагранжа.
Решение. Составляем функцию Лагранжа L = х2 + 2у2 + (3x 2 y 11).
Приравнивая к нулю ее частные производные, получим систему уравнений
2 x 3 0,
4 y 2 0,
3x 2 y 11 0.
Ее единственное решение (х=3, у=1, =—2). Таким образом, точкой условного
экстремума может быть только точка (3;1). Нетрудно убедиться в том, что в этой точке
функция z=f(x,y) имеет условный минимум.
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Ряды, члены которых являются степенные функции c0 c1 x c 2 x 2 ... c n x n ... (1)
называются степенными, а числа c0 , c1 , c2 ...cn ... – коэффициентами степенного ряда.
Область сходимости степенного ряда
Совокупность тех значений х, при которых степенной ряд (1) сходится, называется
областью сходимости степенного ряда.
Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда 1 x x 2 ... x n ...
Решение. Данный ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем
q = x, который сходится при q x 1. Отсюда —1<х<1, т.е. областью сходимости является
интервал (-1; 1).
Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы
Абеля.
Теорема Абеля. 1) Если степенной ряд сходится при значении x x0 0 отличном от
нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях х таких, что x x0
2) Если степенной ряд расходится при x x1 , то он расходится при всех значениях х
таких, что x x1 .
Из теоремы Абеля (см. рис. 14.1) следует, что существует такое число R≥0, что при
x R ряд сходится, а при x R— расходится
Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (—R; R) — интервала
сходимости степенного ряда.
На концах интервала сходимости, т.е. при x= -R и x = R, ряд может как сходиться, так
и расходиться (см. рис.).
Найдем выражение радиуса сходимости степенного ряда (1) через его коэффициенты.
Рассмотрим
ряд,
составленный
из
абсолютных
величин
его
членов
2
n
c0 c1 x c 2 x ... c n x ... (2), в котором все коэффициенты cn , по крайней мере
начиная с некоторого номера п, отличны от нуля.
c
Радиус сходимости: R lim n .
n c
n 1
Замечание. Следует отметить, что у некоторых рядов интервал сходимости
вырождается в точку (R=0), у других охватывает всю ось Ox (R=oo).
Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда
2x
4x 2
2n x n
1 2
...
...
3 3 5 2 32
(2n 1) 2 3n
Решение.
Найдем
радиус
сходимости
ряда
по
формуле
2
n
n 1
c
3
3
(2n 3)
2
2
=
=
,
т.е.
интервал
R lim n = lim
lim
:
2
n c
n
2
2 n (2n 1)
(2n 1) 2 3 n [2(n 1) 1]2 3 n 1
n 1
сходимости ряда 3 ; 3 .
2
2
Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходимости. На левом конце при
3
1
1
(1) n
х= данный степенной ряд принимает вид 1 2 2 ...
... ; этот ряд
2
3
5
(2n 1) 2
сходится по признаку Лейбница. На правом конце, при х=
1
3
2
получаем ряд
1
1
1
2 ...
... , представляющий обобщенный гармонический ряд при =2, у
2
3
5
(2n 1) 2
которого все члены с четными номерами равны нулю. Так как =2> 1, то этот ряд сходится.
Итак, область сходимости данного ряда
3 3
; .
2 2
РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА
Пусть, например, функция f(x) представима в виде ряда
f ( x) a 0 a 1 x a 2 x 2 ... a n x n
n0
. (1)
Следовательно, необходимо определить коэффициенты а0,а1,а2,...; причем интервал
сходимости x R не сводится к точке, то есть R>0.
Учтем то, что степенной ряд (1) в интервале сходимости можно почленно
дифференцировать любое число раз и все полученные таким образом ряды тоже будут
сходиться, а их суммы равны соответствующим производным.
Продифференцируем последовательно ряд (3.1):
f/(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 + ...
f//(x) = 2a2 + 23a3x + 34a4x2 + ...
f///(x) = 23a3 + 234a4x + 345a5x2 + ...
fIV(x) = 234a4 + 2345a5x + ...
Положим теперь в этих равенствах и в (1) х = 0; тогда получим, что
f(0) = a0; f/(0) = a1; f//(0) = 2a2; f///(0) = 23a3; fIV(0) = 234a4; ...
f ( IV) (0)
f // (0)
f / (0)
f /// (0)
a4
a2
a1
a3
4!
1 2 ;
1 ;
3! ;
То есть а0 = f(0);
; ...
Подставляя эти значения в (1), получим ряд Маклорена:
f ( x) f (0)
f / (0)
f // (0) 2
f ( n ) (0) n
x
x ...
x ...
1
2!
n!
.
(2)
Разложение в ряд Маклорена некоторых функций:
1. f(x) = ex.
Так как f(к)(x) = ex для любого к. Полагая х = 0 , получим f(к)(0) = e0 = 1.
Тогда ряд Маклорена имеет вид
x2 x3
xn
ex 1 x
... ...
2! 3!
n!
.
Исследуем ряд на сходимость.
xn
un
n ! , следовательно, применяя признак Даламбера,
x
x n 1 x n
:
lim
0
n ( n 1)! n !
n n 1
.
lim
1
R
lim
x
n 1
R , .
n
, следовательно, ряд сходится для каждого х, принадлежащего
2. f(x) = Sinx.
f/(x) = Cosx; f//(x) = -Sinx; f///(x) = -Cosx...
При х=0 имеем
f(0) = 0; f/(0) = 1; f//(0) = 0; f///(0) = -1.
Отсюда
Sinx x
x 3 x5
x 2n
...( 1) n1
...
3! 5!
(2 n 1)!
.
3. f(x) = Cosx (аналогично). Получим cos x 1
x2 x4
(1) n x 2 n
...
...
2! 4!
(2n)!
1 ex
Пример. Разложить в ряд функцию y
.
x2
2
Решение.
Т.к.
ex 1 x
x2 x3
xn
... ...
2! 3!
n!
,
то
заменяя
х
на
( x 2 ) ,
получим
2
x
(1) x
x
(1) x
и
наконец
...
.... ,
1 e x x 2
...
.... ,
2!
n!
2!
n!
2
1 ex
x2
(1) n 1 x 2 n 2
1
...
....
2!
n!
x2
Область сходимости ряда (;).
В некоторых случаях функция f(x) или ее производная неопределенны при х = 0: так,
e x 1 x 2
2
4
n
2n
4
n 1
2n
например, ведут себя функции f(x) = ln(x), f ( x) x , для которых
f / ( x)
f / ( x)
1
x или
1
2 x . Следовательно, такие функции не могут быть разложены в ряд Маклорена.
Тогда нужно воспользоваться более общими степенными рядами.
Рассмотрим разложение в степенной ряд функции f(x) по степеням (х-а), где а0 и его
можно подобрать соответствующим образом так, чтобы f(x) = А0 + А1(х - а) + А2(х - а)2 +...
(3)
Пусть х - а = z. Тогда разложение (3) примет вид F(z) = f(z + a) = А0 + А1z + А2z2 +..
(4), где z R . Но это уже ряд Маклорена.
Так как F(n)(z) = f(n)(z + a),
(n=1,2,...).
A1
F/ (0) f / (a)
1!
1! ,
An
F ( n ) (0) f ( n ) (a)
n!
n! , ...
Таким образом, имеем A0 = F(0) = f(a),
...,
Подставив эти выражения в (4), получим ряд Тейлора
f / (a )
f // (a)
f ( n ) (a )
f ( x) f ( a )
( x a)
( x a) 2 ...
( x a) n ...
1!
2!
n!
. (5)
Если а = 0, получим ряд Маклорена.
Если в (5) взять конечное число членов, то вместо ряда Тейлора получим многочлен
Тейлора
f ( k ) (a)
Pn ( x)
( x a) k
k!
k 0
.
n
(6)
То есть если (5) сходится в некоторой окрестности точки а (Ua), то его сумма равна
f(x), a Pn(x) дает приближенное представление f(x) в Ua.
Пример. Разложить многочлен f(x) = x4 + 2x2 – 6 по возрастающим степеням (х - 2).
f/(x) = 4x3 + 4x; f//(x) = 12x2 + 4; f///(x) = 24x; f(IV)(x) = 24; f(V)(x) = 0; f(n)(x) = 0
(n > 4).
При х = 2 получим коэффициенты разложения: f(2) = 16 + 8 - 6 = 18; f/(2) = 40; f//(2) =
12; f///(2) = 48; f(IV)(2) = 24.
Таким
образом
имеем
следующее
разложение
12
48
24
f ( x) 18 40 ( x 2) ( x a) 2 ( x a) 3 ( x a) 4
2!
3!
4!
, или окончательно f(x) = 18 +
2
3
4
40(x-2) + 6(x-2) + 8(x-2) + (x-2) .
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ.
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ И
ДИФФЕРЕНЦИАЛ.
Определение. Пусть имеется п переменных величин, и каждому набору их значений
(хх, х2,..., хп) из некоторого множества X соответствует одно вполне определенное значение
переменной величины z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменныхz=f(хх,
х2,..., хп).
Переменные хх, х2,..., хп называются независимыми переменными или аргументами, z
— зависимой переменной, а символ f означает закон соответствия. Множество X называется
областью определения функции. Очевидно, это подмножество n-мерного пространства.
Функцию двух переменных обозначают z=f(x, у). Тогда ее область определения X есть
подмножество координатной плоскости Оху.
Окрестностью точки M 0 ( x0 , y0 ) X называется круг, содержащий точку M 0 (см. рис.
1).
Очевидно, круг на плоскости есть двумерный аналог интервала на прямой.
При изучении функций нескольких переменных используется математический
аппарат: любой функции z=f(x, у) можно поставить в соответствие пару функций одной
переменной: при фиксированном значении х=х0 функцию Z= f ( x0 , y) и при фиксированном
значении у=у0 функцию z=f(x, у0).
Графиком функции двух переменных Z= f ( x0 , y) называется множество точек
трехмерного пространства (х, у, z), аппликата z которых связана с абсциссой х и ординатой у
функциональным соотношением Z= f ( x0 , y) .
Для построения графика функции z=f(x, у) полезно рассматривать функции одной
переменной z=f(x, у0) и Z= f ( x0 , y) , представляющие сечения графика z=f(x, у) плоскостями,
параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz, т.е. плоскостями у= у0 и х=х0.
Пример 1. Построить график функции z x 2 y 2 2 y .
Решение. Сечения поверхности z x 2 y 2 2 y = x 2 ( y 1) 2 1 плоскостями,
параллельными координатным плоскостям Oyz и Oxz, представляют параболы (например,
при х = 0 z ( y 1) 2 1 , при у = 1 z x 2 1 и т.д.). В сечении поверхности координатной
плоскостью Оху, т.е. плоскостью z=0, получается окружность x 2 ( y 1) 2 1. График
функции представляет поверхность, называемую параболоидом (см. рис. 2)
Определение. Линией уровня функции двух переменных z=f{x, у) называется
множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то
же и равно С. Число С в этом случае называется уровнем.
На рис.3 изображены линии уровня, соответствующие значениям С=1 и С=2. Как
видно, линия уровня L1 состоит из двух непересекающихся кривых. Линия L2 – самопересекающаяся кривая.
Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны. Например, параллели и
меридианы на глобусе — это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики
публикуют карты с изображением изотерм — линий уровня температуры.
Пример 2. Построить линии уровня функции z x 2 y 2 2 y .
Решение. Линия уровня z=C это кривая на плоскости Оху, задаваемая уравнением х2 +
у2 - 2у = С или х2 + (у - I)2 = С+1. Это уравнение окружности с центром в точке (0; 1) и
радиусом C 1 (рис. 4).
Точка (0; 1) — это вырожденная линия уровня, соответствующая минимальному
значению функции z=-1 и достигающемуся в точке (0; 1). Линии уровня — концентрические
окружности, радиус которых увеличивается с ростом z=C, причем расстояния между
линиями с одинаковым шагом уровня уменьшаются по мере удаления от центра. Линии
уровня позволяют представить график данной функции, который был ранее построен на рис.
2.
Частные производные
Дадим аргументу х приращение ∆х, аргументу у — приращение ∆у. Тогда функция z
получит наращенное значение f(х+∆х, у+∆у). Величина ∆z=f(x+∆x, y+∆y)-f{x, у) называется
полным приращением функции в точке (х; у). Если задать только приращение аргумента X или
только приращение аргумента у, то полученные приращения функции соответственно
x z f ( x x, y) f ( x, y) и y z f ( x, y y ) f ( x, y ) называются частными.
Полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных, т.е.
z x z y z.
Пример 15.6. Найти частные и полное приращения функции z=xy.
Решение. x z ( x x) y xy yx ; x z ( x x) y xy yx ;
z ( x x)( y y ) xy xy yx xy .
Получили, что z x z y z.
Определение. Частной производной функции нескольких переменных по одной
из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения
функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении
последнего к нулю (если этот предел существует).
z z
Обозначается частная производная так: z x/ , z y/ или
, , или f x/ ( x, y), f y/ ( x, y) .
x y
Для нахождения производной f x/ ( x, y ) надо считать постоянной переменную у, а для
нахождения f y/ ( x, y) — переменную х. При этом сохраняются известные правила
дифференцирования.
Пример. Найти частные производные функции:
y
a) z=x ln y+ .
x
Решение: Чтобы найти частную производную по х, считаем у постоянной величиной.
/
y
1
Таким образом, z ln y y ln y 2 . Аналогично, дифференцируя по у, считаем х
x
x
x 1
1
постоянной величиной, т.е z y/ x(ln y ) / y / .
y x
x
Дифференциал функции
Определение. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных
производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.
dz= z x/ x z y/ y . (1)
/
x
Учитывая, что для функций f(х, у)=х, g(x, у)=у согласно (1) df=dx=∆x; dg=dy=∆y
формулу дифференциала (1) можно записать в виде dz=z'x dx+z'y dy
(2) или
z
z
dz dx dy.
x
y
Определение. Функция z=f(x, у) называется дифференцируемой в точке (х, у), если
ее полное приращение может быть представлено в виде z dz x y (3), где dz —
(x, y ), (x, y ) –
дифференциал
функции,
,бесконечно
малые
при
x 0, y 0. .
Достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных.
Теорема. Если частные производные функции z'v (x, у) существуют в окрестности
точки (х, у) и непрерывны в самой точке (х, у), то функция z=f{x, у) дифференцируема в этой
точке.
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
Понятие двойного интеграла
Пусть функция f(x,y) определена внутри некоторой области D и на ее границе.
Разобьем область D на n частичных областей D1, D2, ..., Dn. Их площади обозначим через σ1,
σ2, ..., σn. Наибольшую хорду (отрезок, соединяющий две точки границы области) каждой из
областей назовем ее диаметром. Через h обозначим диаметр, наибольший из всех n
диаметров. В каждой частичной области возьмем по точке (P1(x1; y1) в области D1, P2 (x2;
y2) в области D2 , и т.д.). Составим интегральную сумму:
Устремим n к бесконечности так, чтобы h стремилось к нулю. Конечный предел
последовательности Sn (если он существует) при h → 0 , который не зависит ни от способа
разбиения области D , ни от выбора точек P1, P2, ..., Pn, называется двойным интегралом
функции f(x,y) и обозначается
.
Функция f(x,y) называется интегрируемой функцией на области D . Область D
называется областью интегрирования.
Непрерывная на замкнутой области функция является интегрируемой на этой области.
Геометрический смысл двойного интеграла
Пусть интегрируемая функция f(x,y) принимает в области D только положительные
значения. Тогда двойной интеграл
численно равен объему вертикального
цилиндрического тела, построенного на основании D и ограниченного сверху
соответствующим куском поверхности z = f(x,y).
Вычисление двойного интеграла
Если граница области D пересекается всякой прямой x = c (c - const) не более чем в
двух точках, то область D называется правильной в направлении оси OX. Ограниченная
область D , правильная в направлении оси ОХ, задается неравенствами: a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y ≤
φ2(x), где φ1(x), φ2(x) - функции, непрерывные на отрезке [a, b] .
В этом случае двойной интеграл сводится к двукратному интегралу
.
Сначала, полагая переменную интегрирования x постоянной, находим определенный
интеграл
как
функцию
Ф(x) переменной x Затем находим
определенный интеграл
.
Изменение порядка интегрирования
Пусть задан двукратный интеграл
(рис. 1), задаваемая неравенствами
. Если область интегрирования D
является также правильной
относительно оси ОУ, т.е. граница области D пересекается прямой y = c (c постаянная) не
более чем в двух точках, то область D можно задать другими неравенствами:
.
Здесь α, β - соответственно наибольшее и наименьшее значение y в области D; x =
ψ1(y)
левая
часть
границы;
x = ψ2(y) - правая часть границы области D .
Тогда в двукратном интеграле можно изменить порядок интегрирования:
Рис. 1
Вычисление площадей плоских фигур
В прямоугольной системе координат площадь
ограниченной правильной в
направлении оси ОХ области
равна
Двойной интеграл в полярных координатах
Пусть область D - правильная в полярных координатах, т.е. прямая φ = c, (c - const)
пересекает границу области D не более двух раз. Пусть область D задается неравенствами β
≤ φ ≤ α, ρ1(φ) ≤ ρ ≤ ρ2(φ).
Тогда двойной интеграл
функции f(x,y) , заданной в прямоугольных
координатах, можно свести к вычислению двукратного интеграла в полярных координатах:
.
Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах
Площадь правильной области
полярных координатах находится так:
в
.
Вычисление объемов с применением двойного интеграла
Объем V тела, ограниченного поверхностью z = f(x,y). , где f(x,y) - неотрицательная
функция, плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью, направляющей для которой
служит граница области D, а образующие параллельны оси ОZ, равен двойному интегралу от
функции f(x,y) по области D :
.
Пример: вычислить интеграл
( x y
3
)dxdy , где D – круговой сектор, изображенный
D
на рисунке.
Решение:
Множество
является
D
элементарным.
Здесь
1 ( x) 0, 2 ( x) 1 x 2 . Таким образом искомый интеграл примет вид:
а=0,
( x y
b=1,
3
)dxdy =
D
1 x 2
1
dx
0
0
y4
( x y )dy ( xy
4
0
1
1
1 1 x2
(1 2 x 2 x 4 )
3
40
2
2
1
1
1
(1 x 2 ) 2
1
2
2
2
dx x 1 x
dx 1 x d (1 x ) +
4
2
0
1 x 2
3
0
3
2
1
2
x5
x x 3
4
3
5
0
1
Пример: вычислить интеграл
1
0
1 1 2 1 7
1 .
3 4 3 5 15
9 x 2 y 2 dxdy , где D – круг x 2 y 2 9 .
D
Решение: применим формулу:
получим
,
9 ( cos ) ( sin ) dd 9 dd . Область D в полярной
2
2
D
2
D
системе координат определяется неравенствами 0 2 ,0 3.
Поэтому:
D
3
1
2
3
2
2 2
1
1
9
2 3
2 2
2
9 dd = d 9 d d (9 ) d (9 ) d
0
20 0
2 0
3
0
0
2
2
3
2
2
2
1
(0 27)d 9 18
3 00
0
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Вычисление интегралов встречается при моделировании достаточно часто. Численные
методы обычно применяются при взятии неберущихся интегралов от достаточно сложных
функций, которые предварительно табулируются, или при интегрировании таблично
заданных функций, что в экономических приложениях встречается значительно чаще.
b
f(x)dx
Для приближенного вычисления интеграла a
(1) существует много численных
методов, из которых рассмотрим три основных:
1) метод прямоугольников;
2) метод трапеций;
3) метод Симпсона.
При вычислении интеграла следует помнить, каков геометрический смысл
определенного интеграла. Если f(x)0 на отрезке [a; b], то численно равен площади фигуры,
ограниченной графиком функции y=f(x), отрезком оси абсцисс, прямой x=a и прямой x=b
(рис. 1).
Таким образом, вычисление интеграла равносильно вычислению площади
b
криволинейной трапеции. f(x)dx=F(b)-F(a)
(2)
a
Y=f(x)
Рис. 1.
Метод прямоугольников
Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков.
b-a
h=
n .
Длина каждого элементарного отрезка
Точки деления будут: x0=a; x1=a+h; x2=a+2h, ... , xn-1=a+(n-1)h; xn=b. Эти числа будем
называть узлами. Вычислим значения функции f(x) в узлах, обозначим их y0, y1, y2, ... , yn.
Тогда, y0=f(a), y1=f(x1), y2=f(x2), ... , yn=f(b). Числа y0, y1, y2, ... , yn являются ординатами
точек графика функции, соответствующих абсциссам x 0, x1, x2, ... , xn (рис. 2). Из рис. 2
следует, что площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью
многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление
определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.
Рис. 2. Иллюстрация метода прямоугольников
b
S f(x)dx y 0 h+y1 h+y 2 h+y 3 h+...+y n-1 h h (y 0 +y1 +y 2 +y 3 +...+y n-1 )
a
(3)
b
S f(x)dx y1 h+y 2 h+y3 h+y 4 h+...+y n h h (y1 +y 2 +y3 +y 4 +...+y n )
a
(4)
n-1
h
(5)
S h y(x i + )
2
i=0
Формула (3) называется формулой левых прямоугольников, (4) - формулой правых
прямоугольников, (5) - формулой средних прямоугольников.
Метод трапеций.
b
y +y
S f(x)dx h ( 0 n +y1 +y 2 +...+y n-1 )
2
a
Формула трапеций:
(6)
Формула (6) означает, что площадь криволинейной трапеции заменяется площадью
многоугольника, составленного из n трапеций (рис. 3); при этом кривая заменяется
вписанной в нее ломаной.
Рис. 3. Иллюстрация метода трапеций
Метод Симпсона.
Геометрически иллюстрация формулы Симпсона состоит в том, что на каждом из
сдвоенных частичных отрезков заменяем дугу данной кривой дугой графика квадратного
трехчлена.
h=
b-a
2n .
Разобьем отрезок интегрирования [a; b] на 2n равных частей длины
Обозначим точки разбиения x0=a; x1=x0+h, ... , xi=x0+ih, ..., x2n=b. Значения функции f в
точках xi обозначим yi, т.е. yi=f(xi). Тогда согласно методу Симпсона
b
S f(x)dx
a
b-a
(y0 +4 y1 +2 y 2 +...+4 y 2n-1 +y 2n )
6n
2n-1
b-a
(y0 +y 2n + (3+(-1)i-1 ) yi )
6n
i=0
(7)
Каждая из формул (3) – (7), как правило, дает результат тем точнее, чем больше n. Из
всех приведенных формул наиболее точной является формула Симпсона, наименее точны
формулы прямоугольников.
Уточнение корней
Решение алгебраических уравнений численными методами разбивается на 2 этапа:
1) отделение корней, т.е. отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых
заключен один и только один корень уравнения;
2) вычисление выделенного корня с заданной точностью.
Для вычисления выделенного (изолированного) корня существует множество
методов: метод сканирования, метод половинного деления, метод итераций, метод Ньютона,
метод хорд и т.д.
Метод сканирования
Метод предусматривает разделение всего интервала [а, b], где отделен корень, на
маленькие отрезки, равные заданной погрешности , с последующим вычислением (или
определением экспериментально) значений функции f(x) на концах этих отрезков (т.е. в
точках, расстояние между которыми не превышает величины ). Анализируя значения
функции, нетрудно выбрать отрезок, где функция меняет знак (или точно равна нулю, что
маловероятно). В качестве решения можно взять любую точку — левую ( xi ) или правую
( xi 1 ) границу выделенного отрезка, хотя предпочтительнее взять середину этого отрезка х*
=( xi + xi 1 )/2 В любом случае погрешность решения не будет превышать заданную погрешность , даже при условии, что мы не знаем точного значения решения.
Иногда весь отрезок разбивают на маленькие отрезки величиной 2 , а затем искомое
значение корня берут в середине отрезка, где функция меняет знак. Это непринципиальная
разница с основным вариантом, результаты вариантов полностью совпадут и по значению
корня, и по затратам на поиск, если в первом сразу взять погрешность вдвое больше
необходимой.
Для повышения эффективности метода можно уточнение производить в несколько
этапов. На первом этапе задать большое значение , найти отрезок, где функция меняет
знак (грубо найти корень), затем найденный отрезок еще раз разделить с более мелким
шагом, более точно найти корень и т.д. еще несколько этапов (обычно 3...5), после чего
удается найти корень с заданной погрешностью в целом за меньшее число раз вычисления
f(x). Метод очевиден- и не требует практического пояснения.
Метод деления отрезка пополам.
Разделим отрезок [a; b] пополам (рис. 4) и положим x0=(a+b)/2. Из двух полученных
отрезков [a, x0] и [x0, b] выбираем тот, на концах которого функция f(x) имеет
противоположные знаки. Полученный отрезок снова делим пополам и приводим те же
рассуждения. Процесс продолжаем до тех пор, пока длина отрезка, на концах которого
функция имеет противоположные знаки, не будет меньше заданного , любую точку отрезка
можно с точностью принять за корень уравнения f(x)=0.
Рис. 4. Иллюстрация метода половинного деления
Метод половинного деления, как и метод сканирования, очевиден и не требует
практического пояснения.
Метод хорд.
В этом методе нелинейная функция f(х) на отделенном интервале [а, b] заменяется
линейной, в качестве которой берется хорда — прямая, стягивающая концы нелинейной
функции. Эта хорда определяется как прямая, проходящая через точки с координатами
(а,f(а)) и (b,f(b)). Имея уравнение хорды у = сх + d, можно легко найти точку ее пересечения с
горизонтальной осью, подставив в уравнение у = 0 и найдя из него х. Естественно, в полученной таким путем точке x1 не будет решения, ее принимают за новую границу отрезка,
где содержится корень. Через эту точку с координатами ( x1 , f( x1 )) и соответствующую
границу предыдущего интервала опять проводят хорду, находят х2 и т.д. несколько раз,
получая последовательность x3 , х4, х5,..., сходящуюся к корню. Метод применим только для
монотонных функций.
Алгоритм метода зависит от свойств функции f(x). Если f(b) f // (b) > 0, то строящаяся
на каждом этапе хорда имеет правый фиксированный ("закрепленный") конец, и алгоритм
выглядит следующим образом:
при этом последовательность x1 ,x2,… будет приближаться к корню слева.
Если f(a) f // (a) > 0, то строящаяся на каждом этапе хорда имеет левый
фиксированный ("закрепленный") конец, и алгоритм выглядит следующим образом:
при этом последовательность x1 ,x2,… будет приближаться к корню справа.
На рис. 5 приведен один из вариантов применения метода хорд. В рассматриваемом
случае "закрепленным" является правый конец. Приведено пять шагов (пять хорд), при этом
к решению приближаемся слева.
Рис. 5. Иллюстрация метода хорд
Теоретически доказано, что если первые производные на концах интервала при
монотонной и выпуклой функции f(x) не различаются более чем в 2 раза, то справедливо
соотношение | x * - xi | < | xi - xi 1 |и условием прекращения пополнения последовательности
может быть | xi 1 - xi | , а В качестве корня принято xi 1 (можно также окончить процесс и
при достижении f( xi ) , о чем указывалось в концепции методов). На практике указанные
условия можно применять и без предварительной проверки производных, отклонение
погрешности результата при пологих функциях не будет существенным.
Метод Ньютона (касательных).
Идея, на которой основан метод, аналогична той, которая реализована в методе хорд,
только в качестве прямой берется касательная, проводимая в текущей точке
последовательности. Уравнение касательной находится по координате одной точки и углу
наклона (значение производной). В качестве начальной точки в зависимости от свойств
функции берется или левая точка х0 = а (если f(a) f // (a) > 0), или правая точка х0 = b (если
f(b)f "(b) >0). Алгоритм записывается следующим образом:
Алгоритм работоспособен при выпуклых и монотонных функциях f(x) . Главным
теоретическим достоинством метода является квадратичная скорость сходимости, что во
многих случаях может привести к сокращению числа вычислений функции при получении
решения с заданной погрешностью. В ряде случаев можно применять упрощенный алгоритм,
связанный с сокращением числа раз вычисления производных — вместо вычисления
производной в каждой очередной точке f ( xi ) использовать значение производной в
начальной точке f'( x 0 ). Следует обратить внимание на следующую особенность метода:
последовательность x1 , x 2 , x3 ,… приближается к корню с другой стороны, чем при исполь-
зовании метода хорд при прочих равных условиях. На рис. 6 приведен один из вариантов
применения метода Ньютона. В рассматриваемом случае процесс начинается с правого
конца. К решению приближаемся справа. Условия окончания поиска аналогичны методу
хорд.
Рис. 6. Иллюстрация метода Ньютона
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ
При использовании численных методов решение дифференциальных уравнений
dy/dx=f(x,y) или у' =f(x,y) представляется в табличном виде, т.е. получается совокупность
значений yi и xi . Решение носит шаговый характер, т.е. по одной или по нескольким
начальным точкам (х, у) за один шаг находят следующую точку, затем следующую и т.д.
Разница между двумя соседними значениями аргумента h= xi 1 - xi , называется шагом.
Наибольшее распространение имеют задачи Коши, в которых (заданы начальные
условия: при х =х0 , у(х0) = у0. Имея их, легко начинать процесс решения, т.е. найти y1 при x1 ,
y2 — при х2 и т.д. Задачи другого типа — краевые задачи (например, с конечными условиями
или с условиями в промежуточной точке) - решаются специальными приемами, в том числе
нередко сведением к другим эквивалентным задачам с начальными условиями.
Выделяют два класса методов решения: одношаговые и многошаговые. Первый класс
методов требует для нахождения следующего значения функции только одной текущей
точки, т.е. y i 1 = F[f( xi , yi )], а второй — нескольких, например, y i 1 = F( yi 3 , yi 2 , yi 1 , yi ).
К недостаткам многошаговых методов относится невозможность изменения в
процессе решения величины шага (так как они используют предыдущие точки с ранее
применяемым шагом, а учет меняющегося шага очень сложен и громоздок), что бывает
необходимо для повышения эффективности метода. Заметим, что величина шага
существенно влияет на точность и скорость решения, поэтому изменение ее в процессе
решения—увеличение при медленно изменяющемся решении и уменьшение при быстро
изменяющемся — очень важно для эффективности решения. К достоинствам многошаговых
методов относят в основном меньший объем памяти компьютера, требующейся для
реализации, и возможность теоретической оценки погрешности решения. Представителем
класса многошаговых методов являются методы прогноза и коррекции. К классу
одношаговых методов относятся методы Эйлера, Рунге — Кутта и др.
Основная идея получения простейших вычислительных алгоритмов в одношаговых
методах сводится к разложению искомого решения у(х) в ряд Тейлора в окрестности текущей
точки и усечения его. Количество оставленных членов ряда определяет порядок и,
следовательно, точность метода. По полученному разложению, зная значение у в точке
разложения yi и производную f( xi , yi ), находят значение функции у через шаг h: y i 1 =
y i y i . Если в разложении удерживается большее число членов, то необходимо
рассчитывать f( xi , yi )
в нескольких точках (таким способом избегают необходимости
прямого вычисления высших производных, присутствующих в разложении в ряд Тейлора).
Расчетные алгоритмы многошаговых методов базируются на построении интерполяционных
или аппроксимирующих функций, от которых берется интеграл.
Численными методами решаются не только отдельные уравнения, но и системы
уравнений (чаще всего первого порядка), причем большинство методов решения одного
уравнения легко распространяются на решение систем. Дифференциальные уравнения
высших порядков вида
решаются в основном сведением к системе уравнений
первого порядка путем замены переменных: у1 = у', у2 = у", у3= y и т.д. При этом
дифференциальное уравнение n-го порядка заменяется системой из п уравнений:
Метод Эйлера.
В основе метода Эйлера лежит идея графического построения решения
дифференциального уравнения. Однако этот метод дает одновременно и способ нахождения
искомой функции в табличной форме.
Пусть дано дифференциальное уравнение y'=f(x,y) (1). Найти приближенное
численное решение этого дифференциального уравнения, т.е. составить таблицу
приближенных значений функции у=у(х) удовлетворяющей заданным начальным условиям.
x x0 x1 x2 x3 x4 x5 … xn
y y0 y1 y2 y3 y4 y5 … yn
Где, xi=x0+ih, h=
x-x 0
– шаг таблицы.
n
Приближенно можно считать, что правая часть в (1) остается постоянной на каждом
из отрезков между точками деления. Метод Эйлера состоит в непосредственной замене
производной разностными отношениями по приближенной формуле:
Δy
= f(x, y)
Δx
y-y0=f(x0,y0)(x-x0)
y=y0 + f(x0,y0)(x-x0)
если x=x1, то y1=y0+f(x0,y0)(x1-x0), y1=y0+hf(x0,y0), y0=hf(x0,y0)
если x=x2, то y2=y1+f(x1,y1)(x2-x1), y2=y1+hf(x1,y1), y1=hf(x1,y1)
…
если x=xi+1, то yi+1=yi+hf(xi,yi), yi=hf(xi,yi)
Таким образом, получение таблицы значений искомой функции у(х) по методу Эйлера
заключается в циклическом применении пары формул:
yk=hf(xk,yk), yk+1=yk+yk, где k=0, 1, 2, … ,n
Геометрически эти формулы означают, что на отрезке [xi, xi+1] интегральная кривая
заменяется отрезком касательной к кривой (см. рис. 1, рис. 2).
Li
y
y
L3
yi
L2
L1
h
yi
0
x0
x1
x2
x3
x
Рис. 1
0
xi
xi+h
x
Рис 2
Метод Рунге-Кутта.
Существует целая группа методов Рунге — Кутта (в последние годы начинает в
литературе появляться "русский" вариант произношения фамилий авторов метода, в
соответствии с которым название звучит как метод Рунге — Купы), среди которых
наибольшее распространение получил метод четвертого порядка. Следовательно, он более
точен, чем метод Эйлера, который является методом первого порядка. Для расчета одного
значения функции необходимо четыре раза вычислять правую часть дифференциального
уравнения, а не два, как в модифицированном методе Эйлера второго порядка.
Вычислительный алгоритм записывается следующим образом:
Здесь также для контроля точности можно применять прием двойного просчета.
Метод Милна.
Метод Милна относится к многошаговым методам и представляет один из методов
прогноза и коррекции. Решение в следующей точке находится в два этапа. На первом этапе
осуществляется по специальной формуле прогноз значения функции, а затем на втором этапе
— коррекция полученного значения. Если полученное значение у после коррекции
существенно отличается от спрогнозированного, то проводят еще один этап коррекции. Если
опять имеет место существенное отличие от предыдущего значения (т.е. от предыдущей
коррекции), то проводят еще одну коррекцию и т.д. Однако очень часто ограничиваются
одним этапом коррекции.
Метод Милна имеет следующие вычислительные формулы:
• этап прогноза:
h
y iП1 y i 3 4 (2 f i 2 f i 1 2 f i )
3
де для компактности записи использовано следующее обозначение f i f( xi , yi );
• этап коррекции:
Абсолютная погрешность определяется по формуле | yi 1 y iП1 |/29.
Метод требует несколько меньшего количества вычислений (например, достаточно
только два раза вычислить f(x,y), остальные запомнены с предыдущих этапов), но требует
дополнительного "расхода" памяти. Кроме этого, как уже указывалось выше, невозможно
"запустить" метод: для этого необходимо предварительно получить одношаговыми методами
первые три точки.
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Линейное программирование — наука о методах исследования и отыскания
экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные
которой наложены линейные ограничения.
Эта линейная функция называется целевой, а ограничения, которые математически
записываются в виде уравнений или неравенств, называются системой ограничений.
Определение. Математическое выражение целевой функции и ее ограничений называется
математической моделью экономической задачи.
В общем виде математическая модель задачи линейного программирования (ЛП)
записывается как
Z(x)=C1X1+C2X2 + . . . +СJXJ + . . . +СnXn _
max(min)
при ограничениях:
где Xi — неизвестные;a ij , bj , Ci — заданные постоянные величины.
Все или некоторые уравнения системы ограничений могут быть записаны в виде
неравенств.
Математическая модель в более краткой записи имеет вид
Z(x) = ∑Ci Xi max(min)
при ограничениях:
Определение Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования
называется вектор X = (х1, х2, ,...хn , ) , удовлетворяющий системе ограничений.Множество
допустимых решений образует область допустимых решений (ОДР).
Определение Допустимое решение, при котором целевая функция достигает своего
экстремального значения, называется оптимальным решением задачи линейного
программирования и обозначается Хопт.
Базисное допустимое решение
Является опорным решением, где r— ранг системы ограничений.
Виды математических моделей ЛП
Математическая модель задачи ЛП может быть канонической и неканонической.
Определение. Если все ограничения системы заданы уравнениями и переменные Xj
неотрицательные, то такая модель задачи называется канонической.
Если хотя бы одно ограничение является неравенством, то модель задачи ЛП является
неканонической. Чтобы перейти от неканонической модели к канонической, необходимо в
каждое неравенство ввести балансовую переменную хn+i .
Если знак неравенства < , то балансовая переменная вводится со знаком плюс, если
знак неравенства >, то — минус. В целевую функцию балансовые переменные не вводятся.
Чтобы составить математическую модель задачи ЛП, необходимо:
— ввести обозначения переменных;
—исходя из цели экономических исследований, составить целевую функцию;
—учитывая ограничения в использовании экономических показателей задачи и их
количественные закономерности, записать систему ограничений.
Задачи линейного программирования можно решить аналитическим путем и
графическим методом. Второй метод – наглядный, но пригоден лишь для n=2 ( т.е. где число
переменных = 2).
Пример. Известно, что уравнение прямой имеет вид: a1x1+a2x2=b.
Построим прямую 2x1+x2=2. Перепишем это уравнение в виде:
x1 x2
1.
1 2
x2
При такой форме записи в знаменателе показаны отрезки,
которые отсекает прямая на осях координат (Рис. 1). Если от
исходного уравнения перейти к неравенству 2x1+x22, то графически
решение этого неравенства показано на рис. 1, т.е. решением
линейного неравенства с двумя переменными является полуплоскость.
На рис. 2 часть плоскости, которая не удовлетворяет неравенству
расположена выше прямой, заштрихована. Координаты всех точек,
принадлежащих не заштрихованной части плоскости, имеют такие
значения х1 и х2, которые удовлетворяют заданному неравенству. Эта
полуплоскость является областью допустимых решений (ОДР).
Рассмотрим систему неравенств:
x1 +4x 2 14 (а)
3x +4x 18 (б)
1
2
6x1 +2x 2 27 (в)
x1 0; x 2 0
Для удобства запишем ее в следующем виде:
x1 x 2
14 + 7 2 1 (а)
x1 x 2
1 (б)
+
6 9 2
x
x
1 + 2 1 (в)
9
2
27
2
x 0; x 0
1
2
x2
5
4
A 3
6х1+2х227
(в)
3х1+4х218
(б)
х1+4х214
(а)
B
1
O
C
1
2
1
x1
1
2
2
3
4
x1
5
D
6
Рис. 3
3
Рис.1
x2
3
2
1
x1
1
2
Рис. 2
Графическое решение этой системы показано на рис. 3
2
3
3
Решением этой системы являются координаты всех точек, принадлежащих ОДР, т.е.
многоугольнику ABCDO.
Т.к. в ОДР бесчисленное множество точек, значит, рассматриваемая система имеет
бесчисленное множество допустимых решений.
Если мы хотим найти оптимальное решение, то мы должны принять целевую
функцию. Пусть мы хотим, чтобы решение было оптимальным в смысле максимизации
целевой функции F=x1+x2 → max
Эта зависимость на рис. 4 представлена в форме уравнения прямой с угловым
коэффициентом x2=F–x1, из которого видно, что tg= –1. При этом угол =135, а величина
F равна отрезку, отсекаемому прямой на оси ординат. Если прямую перемещать параллельно
самой себе в направлении, указанном стрелками, то величина F будет возрастать. Совместим
теперь ОДР, изображенную на рис. 3, с линией целевой функции F, построенной на рис. 7.5,
получим рис. 5.
x2
x2
Fmax
Fmax
4
A 3
F
=135
x2*
x1
1
O
O
Рис. 4
B
2
Fmax
C
x1*
1
2
3
4
x1
5
6
Рис. 5
Поскольку требуется найти оптимальное решение, при котором целевая функция
F=x1+x2max, т.е. стремится к максимуму, будем перемещать график целевой функции в
направлении увеличения F. Очевидно, что оптимальным решением будут координаты точки
С, равные х1* и х2*. При этом F=F*.
На основании рассмотренного можно сделать вывод: оптимальным решением
являются координаты вершин ОДР.
На этом базируется аналитический метод решения задач линейного
программирования, который заключается в следующем:
1) Найти вершины ОРД, как точки пересечения ограничений.
2)Определить последовательно значения целевой функции в вершинах.
Вершина, в которой ЦФ приобретает оптимальное (максимальное или минимальное)
значение, является оптимальной вершиной. Координаты этой вершины и являются
искомыми оптимальными значениями переменных.
Основные положения симплекс-метода
Для аналитического решения задач линейного программирования разработан
специальный алгоритм направленного перебора вершин ОРД (области допустимых
решений). Этот алгоритм обеспечивает переход от одной вершины к другой в таком
направлении, при котором значение целевой функции от вершины к вершине улучшается. В
геометрии есть такое понятие, как «симплекс». Симплексом тел в К-мерном пространстве
называется совокупность (К+1) его вершин. Так, для плоскости при К=2 симплексом будут 3
вершины треугольника. При К=3 – 4 вершины четырехгранника и т.д. С учетом этого
понятия аналитический метод решения задач линейного программирования называется
симплекс-метод. Вычисления, обеспечивающие определение значения ЦФ и переменных в
одной вершине называются итерацией.
Транспортная задача
Математическая модель транспортной задачи
Постановка задачи:
Однородный груз сосредоточен у m поставщиков в объемах а1, а2, …, аm.
Данный груз необходимо доставить n потребителям в объемах, b1, b2, … bn.
Известен Сij (i= 1, 2, … , m; j=1, 2 ,…, n) – стоимости перевозки единицы груза от
каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю.
Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех поставщиков
вывозятся полностью, запросы всех потребителей удовлетворяются полностью и суммарные
затраты на перевозку всех грузов минимальны.
Исходные данные транспортной задачи записываются в таблице вида:
bj
b1
b2
…
bn
аi
а1
С11
С12
…
С1n
а2
С21
С22
…
С2n
…
…
…
…
…
аm
Cm1
Cm2
...
Cmn
Переменными (неизвестным) транспортной задачи являются xij (i=1,2,…,m;
j=1,2,…,n) – объемы перевозок от каждого i-го поставщика j-му потребителю. Эти
переменные могут быть записаны в виде матрицы перевозок.
x11 x12 ... x1n
x21 x22 ... x2 n
X
( xij )
... ... ... ...
x
x
...
x
mn
m1 m 2
Математическая модель транспортной задачи в общем виде имеет вид:
m
n
Z ( X ) cij xij
min
i 1 j 1
n
x
j 1
ij
m
x
i 1
ij
ai , i 1,2,..., m,
b j , j 1,2,...n,
xij 0.
Целевая функция задачи Z(X) выражает требование обеспечить минимум суммарных
затрат на перевозку всех грузов. Вторая группа из уравнений ограничений записанных в
общем виде, выражает требование, что запасы всех m, поставщиков вывозятся полностью, а
также полностью должны удовлетворятся запросы всех n потребителей. Последнее
неравенство является условием неотрицательности всех переменных.
В рассмотренной математической модели транспортной задачи предполагается, что
суммарные запасы поставщиков равны суммарным запросам потребителей, т.е.
m
n
i 1
j 1
ai b j .
такая задача называется сбалансированной, а её модель закрытой. Если же это
равенство не выполняется, то задача называется несбалансированной (с неправильным
балансом), а её модель – открытой.
Для того чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение,
необходимо, чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись суммарным запросам
потребителей, т.е. задача должна быть сбалансированной.
Математическая модель двойственной задачи:
m
n
i 1
j 1
Z ' aiU i b jV j
max
U i V j C ij
U i ,V j произвольного знака
если целевая функция Z’ стремится к минимуму то в системе ограничении меняется
знак: U i V j C ij экономический смысл перемененных двойственной задачи:
Ui – условная оценка i-го поставщика (условная плата поставщика перевозчику);
Vj – условная оценка j-го потребителя (условная плата потребителя перевозчику).
Ui, Vj – называются потенциалами.
Определения:
1) Если задача открыта, то необходимо добавить фиктивного поставщика или
потребителя с недостающим объемом поставки и нулевой стоимостью перевозки.
Распределение поставки фиктивному потребителю (поставщику), идет в последнюю
очередь.
2) Клетка в плане перевозок называется базисной (закрытой), если в нее ставится
перевозка.
3) Количество базисных клеток определяется соотношением r=m+n-1. опорное решение
не может иметь базисных клеток больше, чем r.
4) План называется вырожденным, если количество базисных клеток меньше r, т.е.
базисных клеток не хватает при выполненном условии, что объем поставок
поставщиков распределен полностью и спрос потребителей также удовлетворен. В
этом случае необходимо добавить нулевую перевозку.
5) Если в задаче указана не только стоимость перевозки, но и стоимость производства
товара, тогда необходимо сложить эти стоимости с учетом перевозки товара от i-го
поставщика j-му потребителю. Кроме того, математическая модель составляется с
учетом этой суммарной стоимости.
Алгоритм решения транспортных задач.
1) Составить опорный план, т.е. начальное приближение.
2) Составить математическую модель исходной прямой и математическую модель
двойственной задач.
3) Пользуясь методом наименьшего (наибольшего) элемента и методом потенциалов
найти улучшение исходного опорного плана до тех пор, пока он не будет
удовлетворять условию оптимальности.
1.1 Метод наименьшего элемента.
1) Сбалансировать задачу (убедиться, что задача сбалансирована).
2) Определить свободную клетку с наименьшей стоимостью перевозки. Если таких
клеток несколько, то выбрать клетку с наибольшей потенциальной грузоперевозкой.
Если и таких клеток несколько, то выбирается любая из этих клеток.
3) В выбранную клетку поставить максимально возможную грузоперевозку для
потребителя от поставщика.
4) Проверить, остался ли нераспределенным груз у этого поставщика.
5) Если груз распределен не полностью, то применяем п.2 относительно строки этого
поставщика. Продолжать до тех пор, пока груз этого поставщика будет полностью
распределен.
Если груз поставщика распределен полностью, проверить, полностью ли
удовлетворен объем потребителя.
Если потребитель полностью удовлетворен, то применить пункт 2 относительно
оставшихся поставщиков и потребностей в таблице.
Если объем потребителя полностью не удовлетворен, тогда применяется пункт 2
относительно соответствующего столбца.
6) Проверить план на вырожденность. Количество базисных клеток должно быть
равным r=m+n-1.
Если план вырожденный, то поставить фиктивное значение груза так, чтобы иметь
возможность найти потенциалы всех базисных клеток (ставить нулевую перевозку).
7) Проверить на оптимальность и по возможности дальше улучшить, перейдя к методу
потенциалов.
1.2 Метод потенциалов.
1) Для всех базисных клеток создать систему уравнений вида U i V j C ij .
Выбрать переменную Ui или Vj, которой соответствует наибольшее количество
занятых клеток, приравнять её к нулю, решить систему уравнений относительно Ui и
Vj и найти эти значения.
2) Для всех свободных клеток составить и проверить выполнение неравенств:
U i V j Cij
3) Условия оптимальности: если для всех свободных клеток выполняется это
неравенство, то тогда найден оптимальный план.
Если хотя бы для одной клетки не выполняется это неравенство, то необходимо
улучшить опорный план с помощью коэффициента перераспределения W.
4) Находим клетку, где сильнее всего не выполняется неравенство. Если таких клеток
несколько, то выбирается любая. В эту клетку ставим W со знаком «+».
5) Построить контур перераспределения груза, начиная с выбранной клетки, исходя из
следующих правил:
В строке и столбце должно быть четное число W;
Контур меняет направление только в базисных клетках;
Коэффициент W меняет свой знак с «+» на «-» поочередно в углах контура.
6) После построения контура отметить, в каких базисных клетках коэффициент W стоит
с отрицательным знаком. Из этих клеток найти клетку с наименьшим значением
перевозки, коэффициент W будет равен перевозке в выбранной клетке.
7) Найти новый план, перераспределив найденное значение W по контуру с учетом
знаков «+» и «-», прибавляя или уменьшая стоящую в клетке перевозку.
8) Проверить новый план в соответствии в п.2. если неравенства для свободных клеток
выполняются, значит найденный план оптимален.
Если в математической модели целевая функция на максимум (Zmax), то задача
решается методом максимального элемента. т.е. грузоперевозка (Xij) распределяется при
составлении опорного плана с учетом наибольшего значения Cij аналогично метода
наименьшего элемента. В методе потенциалов проверяется выполнение неравенства
U i V j Cij
