Полуаналитический расчет компонент электромагнитного поля

Полуаналитический расчет
становления
электромагнитного поля для
горизонтально-слоистой
среды
Автор: Д.В. Горащенко
Руководитель: Г.М. Тригубович
Постановка задачи
Источник поля – в начале координат.
Приемник – в точке (x,y,z), z<=0
Вертикальный магнитный диполь
• Модель круговой токовой петли малых
размеров
• Магнитный момент диполя:
M = πa²I,
I – сила тока
a – радиус петли.
• Симметричный источник
Постановка А.Н. Тихонова для
ВМД
• Полностью учитывает
симметрию задачи
Краевая задача для Z
Z  Z
2
0
 2 m Z 0
t z
 mz
Z t 0  e
2
1   Az 
Bz 
r

r r  r 

0
Az 
J 0 (mr ) Z (m, z , t )dm

4 0
• A – вектор-потенциал. J –
функция Бесселя нулевого
порядка. B – вектор
магнитной индукции
 Z

 mZ   0

 z
 z 0
 Z

 mZ 
0

 z
 zH
Проблемы
• Быстрое решение краевой задачи.
• Необходимость вычислять несобственный интеграл от
функций Бесселя.
Нулевого порядка
Первого порядка
Быстрое решение задачи:
выделение основного поля
Основное поля для полупространства    0
Z  Z 0  Z1
Z0
- решение задачи
при
1
  0
0
2Z1

Z

Z
 2  m 2 Z 1  0
 0 (   0 )
z
t
t
Z1  0
t 0
Z 1
 mZ 1  0, z  0
z
Z 1
 mZ 1  0, z  H
z
Проблемы постановки с
выделением поля
• Выбор оптимальной константы  0
(среднее по слоям)
• Генерация оптимальной сетки для
задачи на добавочное поле
– Выбор оптимальной глубины
– Оптимальная расстановка узлов.
Выделение поля: результаты
• Решение 250 одномерных задач.
• Время решения (intel Atom 1,6)
– С выделением поля: 8 сек
– Без выделения поля: 20 сек
Можно добиться десятикратного и более
ускорения путём оптимизации сеток.
Вычисление ЭДС
Bz (r  r0 , t )
 (t )   
dS R dST
t
ST S R
dST - Элемент площади генератора
dS R - Элемент площади приёмника
r0
- Радиус вектор до центра элемента
площади генератора
r
- Радиус вектор до центра элемента
площади приёмника
Алгоритм вычисления ЭДС
1. Приёмник разбивается на несколько
элементов, каждый из которых считается
ВМД.
2. Генератор разбивается на кольца (rj, rj+1)
(интеграл зависит только от R)
3. По какой-либо квадратурной формуле
вычисляется интеграл для каждого кольца.

 (t )   

j

r j 1

rj
Bz (r )  j
dr ST

t

Проблема вычисления интеграла
при больших значениях R и
больших M(ранние времена)

0
Az 
J 0 (mr ) Z (m, z , t )dm

4 0
При больших значения m, r – много
осцилляций подынтегральной функции –
проблема взятия интеграла от быстро
меняющейся (осциллирующей) функции.
Взятие интеграла: формула
Филона
• Заменяем функцию Z на отрезке
(m1,m2) линейным интерполянтом
• Аналитически вычисляем интеграл вида
m2

m1
j0 (mr)( am  b)dm
Результаты: формула Филона
График погрешности рассчитанной ЭДС
Чёрный – по формуле
трапеций (11 сек)
Синий – по формуле
Филона (16 сек)
Результаты: вычисление ЭДС
• Квадратные петли
со стороной 1
(генератор) и 0.1
(приёмник).
• Разнос (r) – 1 метр.
• Среда –
двухслойная.
– H1 = 10, Sigma1 =
0.1
– H2 = 10000, Sigma2
=1
• Время расчета – 8
секунд (с
выделением поля)