83591_glava_1_-_osnovy_elektromagnitnoi_teorii_sveta

Глава 1. Основы
электромагнитной теории света
Свет является электромагнитным возмущением,
распространяющимся через поле в
соответствии с законами электромагнетизма.
Джеймс Максвелл
Моделирование формирования оптического изображения
кафедра ПиКО
1.1. Моделирование
распространения света
Моделирование формирования оптического изображения
кафедра ПиКО
Электромагнитное поле
Электромагнитная теория описывает взаимодействие
между электрически заряженными частицами или
телами, которое осуществляется посредством
электромагнитного поля – особой формы материи,
связывающей части в единые системы и передающей с
конечной скоростью действия одних частей этой
системы на другие
Уравнения Максвелла для
однородной среды
rot E  
 H

t
 E
rot H  
c t
div E  0
c
div H  0








где E – напряжённость электрического поля,
H – напряжённость магнитного поля,
c – скорость распространения электромагнитных волн в вакууме,
µ – магнитная проницаемость среды,
ε – диэлектрическая проницаемость среды,
 t – оператор дифференцирования по времени,
rot – ротор векторного поля,
div – дивергенция векторного поля
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
Ротор и дивергенция
В декартовых координатах ротор и дивергенция напряжённости
электрического(магнитного) поля :
 E z E y 
 E y E x 
E x E z 

  i  
  k
rot E  



  j  
z 
x 
y 
 z
 y
 x
(1.5)
E x E y E z
div E 


x
y
z
(1.6)
Физический смысл уравнений
Максвелла
(1.1) - с переменным магнитным полем неразрывно связано вихревое
индуктированное электрическое поле независимо от того, находятся в
нём проводники или нет

обобщение закона электромагнитной индукции Фарадея
(1.2) - переменное электрическое поле является источником
магнитного поля

обобщение закона полного тока
(1.3) - отсутствия статического электрического поля в вакууме
(1.4) - отсутствие магнитных зарядов.
Таким образом:


Переменные электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом,
образуя единое электромагнитное поле
Возмущение, возникшее в каком-либо месте пространства, становится источником
возмущений в соседних областях пространства, от этих областей системы
возмущение переходит к смежным с ними, распространяясь от точки к точке в виде
электромагнитной волны.
Волновое уравнение
Для линейной диэлектрической среды можно
вывести волновые уравнения:
1  2E
E  2 
0 ;
2
 t




где
1  2H
H  2 
0
2
 t
(1.7)
– оператор Лапласа,
  c  – скорость распространения волны в среде,
 2  t 2 – вторая производная по времени.

2
 x2   2  y2   2  z 2
Решение волнового уравнения – уравнения изменений в
пространстве и во времени:
 электрической напряжённости E(r,t)
 магнитной напряжённости H(r,t)


r – радиус-вектор в некоторой декартовой системе координат
t – время
Скалярное волновое уравнение
Для однородной среде в пространстве, свободном от токов и
зарядов можно перейти к скалярной модели

Поле в каждой точке пространства в каждый момент времени описывается
скалярным возмущением V(r,t), которое удовлетворяет одному
волновому уравнению:
1  2V
 V 2  2  0
 t

(1.8)
Вместо скалярной функции в волновое уравнение (1.8) можно
подставить любую составляющую векторов электрической или
магнитной напряжённости и оно останется справедливым
Монохроматическое поле
Монохроматическое поле - вызванное волной в некоторой
точке пространства, зависит только от времени, и эта
зависимость не произвольная, а гармоническая:
Vr, t   V (r )  cos t   r   V (r )  cos kct   r 




(1.9)
где  r  – фаза,
  kc – циклическая частота гармонических колебаний,
k  2  – волновое число,
 – длина волны.
Аналитический сигнал – комплексная функция A(r,t),
вещественная часть которой представляет собой скалярное
возмущение:
ReAr, t   Vr, t 

используется вместо действительной функции V(r,t)
(1.10)
Преобразование Гильберта
Мнимая часть аналитического сигнала А и
скалярное возмущение V связаны через
преобразование Гильберта:
ImAr, t  

Vr, t 
dt 

  t  t
1

(1.11)
где t  – смещение во времени относительно t.
Таким образом, монохроматическое поле
описывается аналитическим сигналом, который
может быть представлен в экспоненциальной форме:
(1.12)
Ar, t   U r   e ikct
Комплексная амплитуда поля
и эйконал
Комплексная функция U(r) зависит только от координат
рассматриваемой точки и называется комплексной
амплитудой поля.
Представим её в виде:
U r   ar   ei r 


(1.13)
где ar   U r  – амплитуда поля,
 r   argU r  – фаза поля.
Часто вместо фазы используется понятие эйконала поля:
 r   r 
E r  


k
2

(1.14)
эйконал удобно измерять в длинах волн,
если изменение эйконала кратно λ, то изменение фазы кратно 2π.
Волновой фронт
Волновой фронт - геометрическое место точек, в которых фаза поля
имеет одинаковые значения.

Используется при анализе распространения и состояния монохроматического поля
Нормали к волновой поверхности представляют собой световые лучи,

используются в качестве модели света в геометрической оптике
Путь l, который проходит волновой фронт в однородной среде вдоль
некоторого луча, определяет значение фазы поля и связан с
приращением эйконала:
(1.15)
E r2   E r1   n  l r1 ,r2 

где n   – показатель преломления среды, в которой распространяется волна из
точки с радиус-вектором r1 в r2.
Произведение показателя преломления однородной среды и
геометрической длины пути в выражении (1.15) называется
оптической длиной.
Уравнение Гельмгольца
Подставим выражения для описания монохроматических полей
в волновое уравнение (1.8).
Волновое уравнение для комплексной амплитуды - уравнение
Гельмгольца:
(1.16)
U r   k 2 n 2U r   0


При анализе распространения светового возмущения обычно
рассматривается именно изменение комплексной амплитуды поля. Это
изменение называют распространением комплексной амплитуды поля или
распространением поля.
Таким образом, решение уравнения Гельмгольца позволит определить
состояние поля в любой точке пространства.
Сферическая волна
Рассмотрим решения уравнения (1.16).
Например, распространение поля в однородной среде вблизи
точечного источника можно описать сферической волной.
Комплексная амплитуда поля для сферической волны:
(1.17)
eikr
U r   a 


r
где а – постоянная амплитуда волны,
r  x 2  y 2  z 2 – длина радиус-вектора
рассматриваемой точки (x,y,z).
y
r
z
Плоская волна
Распространение поля в однородной среде на
бесконечном расстоянии от источника можно описать
плоской волной.
Комплексная амплитуда поля плоской волны зависит
только от координаты z:
(1.18)
U r   U z   a  eikz
r
z
Интенсивность поля
Приёмники изображения не воспринимают комплексную
амплитуду, так как они не могут регистрировать быстрые
изменения поля с частотой c   1015 c 1
В силу инерционности любой приёмник реагирует на средний
квадрат возмущения поля за время t, которое значительно
больше периода колебаний T   c .
Интенсивность – усреднённая величина, пропорциональна
квадрату модуля комплексной амплитуды поля:
T
(1.19)
1
2
2
*
I r    Ur, t  dt  U r   U r   U r 
T T


Монохроматическое поле в пространстве полностью определено, если
известна длина волны и комплексная амплитуда поля в каждой точке
пространства.
Комплексная амплитуда монохроматического поля полностью определяет
состояние поля, его интенсивность и реакцию приёмника.
1.2. Суперпозиция световых
волн с учётом их когерентности
Моделирование формирования оптического изображения
кафедра ПиКО
Квазимонохроматическое поле
Монохроматическое поле – это математическая абстракция:


комплексная амплитуда и фаза реального поля претерпевают
нерегулярные флуктуации
в поле, создаваемом реальным источником, частота волн не постоянна, а
находится в некотором диапазоне Δ
Поле можно считать квазимонохроматическим, если диапазон
длин волн гораздо меньше среднего значения частоты
Δ   
Поле можно представить как суперпозицию множества
квазимонохроматических полей с различными длинами волн и
различными комплексными амплитудами

Это возможно, так как световые волны разных частот и направлений
распространяются независимо друг от друга.
Суперпозиция волн
Математически суперпозиция полей является
следствием линейности волнового уравнения.
Если комплексные амплитуды поля U1, …,Un
являются решением волнового уравнения (1.16), то
его решением оказывается и сумма полей:
U  U n
(1.20)
n
Суперпозиция полей должна осуществляться с
учётом их когерентных свойств.
Когерентность
Когерентность – способность монохроматических
электромагнитных волн коррелировать (интерферировать)
между собой
Световых волны (в отличие от электромагнитных волн других
типов) имеют следующие особенности:



световые волны, исходящие из двух различных источников, не
интерферируют;
световые волны, исходящие из различных точек одного источника,
не интерферируют;
световые волны, исходящие из одной точки источника,
интерферируют только в том случае, когда разность их фаз не
превышает некоторой небольшой величины.
В электромагнитной теории света выделяют два типа
когерентности: временная и пространственная.
Временная и пространственная
когерентности
Временная когерентность – это способность световой волны
интерферировать с запаздывающим, но не смещённым в
пространстве, вариантом этой волны. Поля Ur, t  и Ur, t  Δt ,
приходящее со смещением во времени Δt , когерентны, если Δt
намного меньше времени когерентности, то есть Δt  1 Δ .
Пространственная когерентность – это способность световой
волны интерферировать со смещённым в пространстве, но не
задержанным во времени, вариантом этой волны. В этом
случае, поля U(r1,t) и U(r2,t) когерентны, если разность
временных задержек, приобретаемых ими при прохождении
расстояний r1 и r2 от источника, намного меньше времени
когерентности, то есть r2  r1  c  1 Δ .

при моделировании формирования и регистрации изображений важна
пространственная когерентность
Закон интерференции
Согласно принципу суперпозиции комплексная амплитуда поля в точке
на конце некоторого радиус-вектора r в момент времени t
определяется как сумма
Ur, t   U1 r, t   U 2 r, t 

где U1 и U2 – комплексные амплитуды поля, которые обусловлены возмущением в
точке источника, находящейся в начале системы координат.
Интенсивность поля в этой точке определяется законом
интерференции:
I r   I1 r   I 2 r   2 I1 r   I 2 r   12  cosψ12  ψ 




(1.21)
где µ12– комплексная степень когерентности двух волн (степень
когерентности) , причем 0  12  1
ψ12– эффективная разность фаз колебаний,
  2 t12 – разность фаз, возникшая из-за разности хода
интерферирующих волн от источника до рассматриваемой точки,
t12– время задержки одной волны относительно другой.
Пространственная когерентность
и некогерентность
В пространственно когерентном свете 12  1


изменение амплитуды комплексных функций U1 и U2 происходит
одновременно во всех точках
фазы полей меняются согласованно, их эффективная разность остаётся
постоянной
Если разность фаз, возникшая из-за разности хода равна
эффективной разности фаз то выражение (1.21) принимает вид:
(1.22)
2
I r   I1 r   I 2 r   2 I1 r   I 2 r   U1 r   U 2 r 
В пространственно некогерентном свете 12  0


амплитуда и фаза U1 и U2 изменяются независимо во всех точках
интерференционных эффектов не возникает
I r   I1 r   I 2 r   U1 r   U 2 r 
2
.
2
(1.23)
Частичная когерентность
На практике чаще всего имеют дело с промежуточным случаем, когда
колебания световых волн частично когерентны.
Преобразуем выражение (1.21):


I r   12  I1 r   I 2 r   2 I1 r   I 2 r   cosψ12  ψ  
 1  12   I1 r   I 2 r 


(1.24)
первое слагаемое описывает интенсивность когерентной суперпозиции волн
второе слагаемое описывает интенсивность некогерентной суперпозиции волн
Степень когерентности характеризует долю когерентной
составляющей в суперпозиции интенсивностей при частично
когерентных колебаниях
Таким образом, при моделировании распространения света можно
рассмотреть распространение отдельных квазимонохроматических
полей, а затем применить принцип суперпозиции с учётом их
когерентных свойств
1.3. Моделирование
дифракционных явлений
Моделирование формирования оптического изображения
кафедра ПиКО
Принцип Гюйгенса
Под дифракцией понимают совокупность
явлений, которые претерпевает поле при
Вторичные
наличии препятствий его распространению.
волновые


в теории дифракции решаются задачи описания поверхности
распространения волн от одной точки пространства
к другой, когда на их пути возникают различные
препятствия (экраны, отверстия)
Существующая теория дифракции описывает
распространение поля в соответствии с принципом
Гюйгенса.
Каждую точку волновой поверхности
можно рассматривать как вторичный
источник колебаний, а затем,
следующие волновые поверхности
находить как огибающие сферических
волн испускаемых этими точечными
источниками.

Френель дал математическую формулировку
принципа Гюйгенса и предложил учитывать фазы
колебаний, пришедших от различных точек, при их
сложении
Первичная
волновая
поверхность
Новая волновая
поверхность
(как огибающая)
Основная задача теории
дифракции
Пусть в точке М известна к.а. поля U(rМ). Надо найти
поле в произвольной точке P, то есть к.а. U rP 



поле в точке P - суперпозиция полей, приходящих в эту точку от
различных точек поверхности SM
выделим на поверхности SM
y
y'
элементарную площадку dSM
n
действие поля от площадки dSM
P
в точке P:
 пропорционально к.а. поля U(rМ)
в точке М и размеру площадки dSM
 обратно пропорционально
расстоянию r между точками М и P,
 зависит от наклона площадки
к направлению МP.
K  


U(rM)
r
M
ro
SM
SP

U(rP)
x
O
z
O'
Зависимость ориентации данного элемента поверхности от
наклона описывает функция
Эйконал в точке P будет отличаться на оптическую длину nl
x'
Интеграл Гюйгенса-Френеля
Таким образом, вклад к.а. поля в точке M в к.а. поля в точке P:
e iknr
(1.25)
dU rP   U rM  
r
 K  dSM
Чтобы получить полное поле в точке P, необходимо
просуммировать действие всех элементарных площадок dSM
поверхности SM, то есть к.а. находится как интеграл по
поверхности SM:
(1.26)
e iknr
U rP  
U rM  
SM

r
 K  dS M
iknr
r в подынтегральном выражении описывает распространение
Множитель e
элементарной вторичной сферической волны от поверхности SM к поверхности SP
Дифракционный интеграл (интеграл Гюйгенса-Френеля) (1.26)
– это математическая формулировка принципа Гюйгенса
Формы дифракционных
интегралов
Различные формы дифракционных интегралов отличаются
множителем K  , который описывает зависимость вклада в
комплексную амплитуду поля от угла дифракции α.

начальное значение этой функции при всех формах интеграла
K 0   1 i
Френель: K   убывает от начального значения до нуля при
изменении угла от 0 до π/2
Кирхгоф
 рассмотрел распространение сферических волн через отверстия, решая
уравнение Гельмгольца (2.16) с учётом граничных условий, описывающих
свойства экрана и отверстия:
K   
1  1  cos  


i 
2

Формулировка Рэлея-Зоммерфельда
1
K     cos 
i
(1.27)
(1.28)
Ограничения применения
дифракционного интеграла
Дифракционный интеграл (2.26) справедлив, если точка P
удалена от поверхности SM на расстояние, гораздо большее
длины волны

Для анализа дифракционных картин в области прилегающей к экрану с
отверстием, когда r   , следует непосредственно искать решение
волнового уравнения с учётом жёстких граничных условий, описывающих
свойства экрана и отверстия.
Для расчёта дифракционных картин на достаточном удалении
от экрана с отверстием, когда r   , широко применяются
приближённые и более простые решения задачи дифракции:


приближение Френеля
приближение Фраунгофера.
Приближение Френеля
Приближение Френеля описывает дифракцию слаборасходящихся
световых пучков, когда расстояние z много больше области анализа
( z  x, y, x, y  ), и расстояние r можно определить приближённо:
(1.29)
x  x2   y  y2
rz


2z
экран с отверстием находится в плоскости xy, дифракционная картина
анализируется на плоскости x’y’, параллельной экрану и находящейся на
расстоянии z от него
Множитель K  считается постоянным, равным константе 1 i
 
Подставим (2.29) в (2.26), тогда пренебрегая отличием r от z:
ikn
(1.30)
 
  x  x  2   y  y  2 
1 e  iknz
U x, y, z   
   U x, y   e 2 z
dxdy
i
z
 

Качественная особенность приближения Френеля - форма вторичных
волновых поверхностей, является параболической, а не сферической
Приближение Френеля
Выражение (1.30) представляет собой решение
задачи дифракции в приближении Френеля, когда:



поверхность, на которой комплексная амплитуда известна, и
поверхность анализа, на которой комплексная амплитуда должна
быть определена, являются плоскостями;
расстояние между этими плоскостями много больше области, в
которой осуществляется анализ комплексной амплитуды поля;
вклад вторичных волн в комплексную амплитуду поля не зависит
от угла дифракции.
Приближение Фраунгофера

Экспериментальные данные показывают, что, начиная с некоторого расстояния от
экрана, распределение интенсивности поля перестает зависеть от координаты z.
Дифракционная картина приобретает устойчивую структуру, вид которой зависит
только от распределения поля в плоскости xy. Это свойство используется при решении
задачи дифракции в приближении Фраунгофера.
Используется расстояние r0 от некоторой базовой точки O в
области отверстия до точки P:
(1.31)
ro  z 2  x2  y2

из-за того, что на большом удалении от отверстия размеры картины
дифракции достаточно велики и разница между r и z становится
существенной
Если расстояние r много больше области анализа, то его
значение можно приближённо представить в виде:
x 2  y 2 xx  yy 
r  ro 

2ro
ro
(1.32)
Приближение Фраунгофера


поверхности анализа являются плоскостями,
зависимость от угла дифракции равна константе 1 i
Подставим (1.32) в (1.26):
x

1 e iknro
2 ro
U x, y, z   
   U x, y   e
i ro 


ikn
2
 y2

e
ikn
 xx yy 
ro
dxdy
(1.33)
в области больших значений z, а точнее, при kd 2 2ro  1 ,
устанавливается устойчивое угловое распределение поля.
 где d  x 2  y 2 - начальный поперечный размер области анализа
светового пучка

2
Расстояние z d  ro  kd 2 называется дифракционной длиной пучка.
Область пространства, где z  z d , называется зоной
Фраунгофера или дальней зоной дифракции
Дифракция в дальней зоне
Для описания дифракционной картины в дальней
зоне дифракции выражение (1.33) можно упростить:
ikn
 iknro    
 xx   yy  
(1.34)
1 e
r
U x, y, z  

i

ro

  U x, y   e
o
dxdy
 
Согласно выражению (1.34), качественной особенностью
приближения Фраунгофера является замена сферических
вторичных волновых фронтов на плоские
z
Границы применения
модулей дифракции
Дифракция Фраунгофера
z 

k x2  y 2
2

10.75 мм
5.77 мм
Дифракция Френеля
z  3


x  x 2   y  y 2
4

2
max
Области применения различных
решений задачи дифракции в
зависимости от расстояния
между экраном с отверстием
диаметром 50 мкм и
поверхностью анализа для волн
с длиной 365 нм и 680 нм в
воздухе.

(x',y')
1280 мкм
1040 мкм
Интегралы
Френеля-Кирхгофа и
Рэлея-Зоммерфельда
z  
365 нм
680 нм
Волновое уравнение
Выбор модели определяется
размерами области анализа и
расстоянием, которое проходит
поле от экрана до поверхности
анализа

z
(x,y)
50 мкм
200 мкм
1
2
для приближения Френеля принято,
что анализ дифракционных картин
ведётся на плоскости в области с
диаметром 200 мкм, то есть в 4 раза
больше отверстия
для моделирования дифракционных
явлений в большинстве оптических
систем формирующих изображение
вполне применимо приближение
Фраунгофера
Выводы
Для моделирования формирования оптических изображений
используется электромагнитная теория. Электромагнитное поле
описывается уравнениями Максвелла (1.1 – 1.4), а распространение
электромагнитных волн в любой точке пространства описывается с
помощью волновых уравнений (1.7) или (1.8).
Монохроматическое поле в пространстве полностью определяется
функцией комплексной амплитуды поля и длиной волны , а
распространение волн – уравнением Гельмгольца (1.16).


Моделирование распространения монохроматического поля заключается в
определении его к.а. в любой момент времени в любой точке пространства.
При моделировании распространения света следует рассмотреть распространение
отдельных квазимонохроматических полей, а затем применить принцип суперпозиции
с учётом их когерентных свойств в соответствии с законом интерференции (1.21).
Дифракция является основным явлением, которое происходит в
оптических системах при формировании изображений. Существует
несколько решений задачи дифракции.

В большинстве оптических систем рассматривается дифракция слаборасходящихся
пучков в дальней дифракционной зоне, поэтому вполне применимо приближение
Фраунгофера.