Первый игрок загадывает любое целое число от 1 до 3. Второй

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет экономики
Программа дисциплины
МАТЕМАТИКА КОНФЛИКТОВ
для направления 08.1100.68 "Государственное и муниципальное управление"
подготовки магистра
Автор: доцент, к.т.н. А.А. Рубчинский
arubchinsky@yahoo.com
Рекомендована секцией УМС
Одобрена на заседании кафедры
высшей математики на ф-те
экономики
Зав. кафедрой проф. Алескеров Ф.Т.
Председатель
_____________________________
________________________________
«_____» __________________ 20__ г.
«____»__________________ 20__ г
Утверждена УС факультета
Государственного и муниципального управления
Ученый секретарь
_________________________________
« ____» ___________________20__ г.
Москва 2011
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
1
Тематический план учебной дисциплины
№
Всего
часов
Название темы
Аудиторные часы
СамостояСеминарские тельная
Лекции
работа
занятия
Раздел I. Содержательные описания и формальные модели конфликтов
Общесистемная проблема достижения
цели и её блок-схема
Естественность и имманентность конф2
ликтов в мире
Игровые модели и конфликтные ситуа3
ции
1
Всего
5
1
−
4
6
1
1
4
7
2
1
4
18
4
2
12
Раздел II. Теория игр – базовая модель конфликтов
4
Принцип гарантированного результата
9
2
2
5
5
Матричная игра, седловые точки, чистые и смешанные стратегии
11
2
2
7
6
Равновесия Нэша
8
2
1
5
7
Дилемма заключённого и размывание
социального капитала
8
2
1
5
36
8
6
22
Всего
Раздел III. Повторяющиеся игры и коллективное поведение
8
9
10
Экспериментальное исследование дилеммы заключённого.
Коллективное взаимодействие и гипотеза индикаторного поведения.
Модели и примеры коллективного
поведения в конфликте
Всего
10
2
2
6
12
2
2
8
14
4
2
8
36
8
6
22
Раздел IV. Неигровые конфликты
11
Обобщённые паросочетания
8
2
2
4
12
Задача голосования и парадокс Эрроу
10
2
2
6
13
Пропорциональное представительство
6
2
−
4
14
Коалиции и индексы влияния
10
2
2
6
15
Манипулирование или стратегическое
поведение?
10
2
2
6
44
10
8
26
Всего
2
Раздел V. Задача справедливого дележа
16
Модель Брамса-Тэйлора
7
2
1
4
17
Условия справедливости дележа
9
2
1
6
18
Задачи дележа в разрешении конфликтов
10
2
2
6
Всего
26
6
4
16
Итого
108
38
26
98
Формы контроля
Текущий контроль: письменная аудиторная контрольная работа (80 мин.; модуль 1),
письменная аудиторная контрольная работа (80 мин.; модуль 2). Итоговый контроль:
письменная зачётная работа (80 мин., модуль 1), письменная зачётная работа (80 мин.,
модуль 2)
Оценки за контрольную работу ОКР в каждом из двух модулей, работу студента на
семинарских занятиях в первом и втором модулях ОС, зачётную работу ОЗ в первом и
втором модулях, а также итоговая оценка студента за дисциплину в целом ОИ ставятся в
десятибалльной шкале. Все эти оценки округляются до целого числа баллов.
Итоговая десятибалльная оценка успеваемости студента по дисциплине в целом ОИ в
каждом модуле определяется по формуле
ОИ = 0,3 ОКР + 0,5 ОЗ + 0,2 ОС .
Перевод итоговой десятибалльной оценки в пятибалльную осуществляется по правилу:
0  ОИ  3 – неудовлетворительно,
4  ОИ  5 – удовлетворительно,
6  ОИ  7– хорошо,
8  ОИ  10 – отлично.
Содержание программы
Раздел 1. Содержатедьные описания и формальные модели конфликтов
Общесистемная задача достижения цели. Основная блок-схема. Оперирующие стороны и
метаигроки. Естественность и имманентность конфликтов в мире. Закон и Практика – постоянные источники конфликтов. Основные задачи принятия решений в конфликтных ситуациях: условия определённости, риска, неопределённости и противодействия. Игровые
модели и конфликтные ситуации. Примеры конфликтов.
Основная литература:
1. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения, гл. 10, 11. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 350с.
2. Шеллинг Т. Стратегия конфликта. М.: ИРИСЭН, 2007.
3. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. Учебное пособие. 5-е изд., стер. М.: КноРус, 2010. 192с.
Дополнительная литература:
1. Воробьёв Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. Предисловие и введение.М.:
Наука, 1985. 272 с.
2. Барсукова С.Ю. Неформальная экономика. М.: Изд. дом ВШЭ, 2009. 354с.
3. Дальгрен Л. Вопреки абсурду (воспоминания бывшего генерального директора ИКЕА в
России). М.: ООО «Юнайтед Пресс». 2010. 229с.
3
4. Коэн Г. Обо всём можно договориться. М.: АСТ: АСТ МОСКВА. 2010. 284с.
5. Саати Т.Л. Математические модели конфликтных ситуаций. Часть I. Введение. М.: Сов.
Радио, 1977. 304с.
Раздел 2. Теория игр – базовая модель конфликтов
Игра с природой. Оптимизация в условиях неопределённости и многокритериальная оптимизация. Принцип гарантированного результата. Другие принципы.
Матричная игра – простейшая игровая модель. Седловая точка. Чистые и смешанные стратегии. Биматричные игры. Равновесие Нэша. Случай нескольких игроков.
Дилемма заключённого и размывание социального капитала. Игра Аумана. Координационные игры. Общественные блага и игра в цыпленка. Фокальные равновесия.
Игровые модели контроля над вооружениями. Модели нарушения соглашений.
Основная литература:
1. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения, гл. 10, 11. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 350с.
Дополнительная литература:
1. Мюллер Д. Общественный выбор III. М.: Изд-во ГУ-ВШЭ, 2007. Глава 1 (Введение);
глава 2 (Причина коллективного выбора – аллокативная эффективность), §§ 2.1 – 2.3.
2. Саати Т.Л. Математические модели конфликтных ситуаций. Часть I. Введение. М.: Сов.
Радио, 1977. 304с.
Раздел 3. Повторяющиеся игры и коллективное поведение
Экспериментальное исследование дилеммы заключённого. Повторяющиеся игры. Более
широкая модель: коллективное поведение и гипотеза индикаторного поведения. Модель
распределения сырья. Модель распределения операционных помещений.
Основная литература:
1. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения, гл. 10, 11. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 350с.
Дополнительная литература:
1. Мюллер Д. Общественный выбор III. Глава 1 (Введение); глава 2 (Причина коллективного выбора – аллокативная эффективность), §§ 2.1 – 2.3. М.: Изд-во ГУ-ВШЭ, 2007.
2. Бурков, В.И. Опойцев. Теория активных систем. Главы 1, 2. М.: Наука, 1975.
3. Rubchinsky A. Time Allocation in Surgery Coordination Center. International Conference on
Control Sciences, Book of Abstracts, vol.2, pp.41-42. Institute of Control Science, Moscow,
1999.
Раздел 4. Неигровые конфликты
Обобщённые паросочетания. Задача голосования и парадокс Эрроу. Коллективные решения. Системы пропорционального представительства. Коалиции и влияние групп в выборных органах. Пространственные модели в политологии и теорема о медианном голосовании. Манипулирование или стратегическое поведение?
Основная литература:
1. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения, гл. 2, 4, 5, 6, 7. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 350с.
2. Алескеров Ф.Т., Ортешук П. Выборы. Голосование. Партии. – М., 1995. – 213 с.
Дополнительная литература:
1. Алескеров Ф.Т., Благовещенский Н.Ю., Сатаров Г.А., Соколова А.В., Якуба В.И. Влияние и структурная устойчивость в российском парламенте. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 312 с.
2. Hinich M.J., Munger M.C. Analytical Politics. Cambridge University Press, 1997. 320 c.
4
Раздел 5. Задача справедливого дележа
Разрешение конфликтов как задача справедливого дележа. Модель Брамса-Тэйлора и метод подстраивающегося победителя. Делимые и неделимые пункты. Условия справедливости. Задача дележа при двух и нескольких участниках. Алгоритмы нахождения справедливых дележей. Другие модели дележа.
Основная литература:
1. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения, гл. 9. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 350с.
Дополнительная литература:
1. Brams, S.J., Taylor, A.D. The Win-Win Solution. W.W. Norton & Company, 1999 (русский
перевод: С.Д. Брамс, А.Д. Тэйлор. Делим по справедливости. М.: СИНТЕГ, 2002).
3. Rubchinsky A. Fair Division with Divisible and Indivisible Items: Working paper WP7/2009/
05. Moscow: NRU Higher School of Economics, 2009.
Тематика заданий по различным формам контроля
Аудиторная контрольная работа 1: задачи по темам 1 – 6.
Аудиторная контрольная работа 2: задачи по темам 10 –15.
Зачётная аудиторная работа 1: задачи и вопросы по темам 4 – 9.
Зачётная аудиторная работа 2: задачи и вопросы по темам 13 – 18.
Вариант аудиторной контрольной работы 1
1. Есть ли седловая точка у функции x2  y2 ?
2. Есть ли седловая точка у функции y2  x 2 ?
3. Найти max min 𝐹(𝑥, 𝑦) и min max 𝐹(𝑥, 𝑦), если
𝑥
𝑦
𝑦
𝑥
F(x,y) = (x – y)2, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1;
F(x,y) = (x – y)2 – 0,5x2, -1 ≤ x ≤ 1, -0,5 ≤ y ≤ 0,5.
4. Найти решение в чистых стратегиях в игре с матрицей A = (aij)35, где aij = i – j.
5. Найти оптимальные чистые стратегии в игре и чистую цену игры с платёжной матрицей Q
7
6
5
6
1
8
2
3
8
1
3
2
6. Найти оптимальные смешанные стратегии обоих игроков в игре с матрицей
1 9 4 6 


4
3
2
8


7. Удалить доминируемые стратегии в игре с матрицей
5
2
8
3
7
3
6
4
5
6
6
1
5
3
8
1
8
6
3
9
8. Пусть задана следующая игра с участием двух игроков:
Первый игрок загадывает любое целое число от 1 до 3. Второй игрок должен отгадать это
число. Если второй игрок указывает число правильно, он получает выигрыш, равный значению
этого числа. В противном случае этот выигрыш получает первый игрок.
1. Определить число стратегий игроков и составить платёжную матрицу задачи.
2. Определить нижнюю и верхнюю цену игры.
3. Установить, существует ли в данной игре решение в чистых стратегиях.
5
Вариант аудиторной контрольной работы 2
1. Пусть М = {m1, m2, m3}, W = {w1, w2, w3} и предпочтения участников имеют вид:
P(m1) = w2, w1, w3; P(w1) = m2, m1, m3;
P(m2) = w1, w3, w2; P(w2) = m3, m2, m1;
P(m3) = w2, w3, w1; P(w3) = m3, m1, m2.
Найти устойчивое паросочетание μM
2. Постройте мажоритарный граф при следующих предпочтениях участников на множестве N = {1,2,3,4}
относительно кандидатов из множества А = {x1, x2, x3, x4, x5}:
Р1 : x5  x1  x4  x3  x2;
Р2 : x1  x5  x3  x4  x2;
Р3 : x4  x1  x2  x5  x3;
Р4 : x5  x1  x3  x4  x2.
3. Пусть семья из трех человек, т.е. N = {1, 2, 3}, собирается купить автомобиль. В качестве
альтернатив рассматриваются элементы множества А = {«фольксваген» (W), «рено» (R), «пежо»
(Р)}. Предпочтения членов семьи выглядят следующим образом:
P1
P2
P3
W
P
R
P
W
W
R
R
P
Пусть коллективное решение, которое строится по локальному правилу, имеет вид: W  R  P.
Каким будет коллективное решение, если исключить из рассмотрения альтернативу W?
4. Разделить 13 ассистентских позиций между тремя колледжами методом Джефферсона для
следующих данных:
Количество
Колледж
Число студентов
выделяемых позиций
образования
940
?
либеральных искусств
1470
?
бизнеса
1600
?
5. Комитет состоит из пяти членов. Решения принимаются большинством голосов, однако, если
председатель голосует «против», то решение не принимаются. Члены комитета B и C по всем
вопросам голосуют одинаково, а члены комитета D и E – противоположно. К тому же D лично
обязан председателю А и потому всегда голосует так, как он. Насколько сбалансирован
комитет?
6. Перечислить все выигрывающие коалиции в следующих голосованиях с квотой и вычислить
для каждого участника индекс Банцафа:
(51; 35, 35, 30)
(20; 10, 10, 10, 1)
Вариант зачётной лабораторной работы 1
1. Пусть (x1,y1) и (x2,y2)  две седловые точки функции f(x,y). Доказать, что f(x1,y1) = f (x2,y2)
2. Пусть (x1,y1) и (x2,y2)  две седловые точки функции f(x,y). Доказать, что (x1,y2) и (x2,y1) 
седловые точки той же функции.
3. Может ли у функции быть ровно 3 седловые точки?
4.Заяц может выбрать одно из двух направлений, чтобы убежать, а Волк – одно из двух
направлений, чтобы догнать. Если волк угадал, то он догоняет зайца и выигрывает 3, а Заяц
проигрывает 10. Если не угадал, то Заяц с Волком не встречается и оба получают по 0.
Построить платёжную матрицу и найти равновесие Нэша в чистых и смешанных стратегиях.
5. Привести пример выполнения гипотезы индикаторного поведения.
6. Привести пример невыполнения гипотезы индикаторного поведения.
6
Вариант зачётной лабораторной работы 2
1. Пусть М = {m1, m2, m3}, W = {w1, w2, w3} и предпочтения участников имеют вид:
P(m1) = w2, w3, w1; P(w1) = m2, m3, m1;
P(m2) = w2, w1, w3; P(w2) = m3, m1, m2;
P(m3) = w1, w3, w2; P(w3) = m3, m2, m1.
Найти устойчивое паросочетание μM
2. В чём состоит система передачи голосов при выработке коллективного решения?
3. Разделить 15 ассистентских позиций между тремя колледжами методом Адамса для следующих данных:
Количество
Число
Колледж
выделяемых
студентов
позиций
образования
940
?
либеральных
1470
?
искусств
бизнеса
1600
?
4. Разделить квоты методом Хантингтона-Хилла для данных из задачи 2. (Указание: начать с
выделения по одному месту каждой фирме и затем последовательно добавлять по одному месту
одной из фирм таким образом, чтобы максимальное из трёх чисел 12 , 13 и 23 было как
можно меньше.)
5. Найти справедливый делёж при данных ниже оценках важности пяти пунктов участниками А
и B методом «подстраивающийся победитель».
пп
1
A
16
B
8
2
18
24
3
14
25
4
22
18
5
30
25
6. Найти справедливый делёж при данных ниже оценках важности пяти пунктов участниками А
и B, из которых только последний является делимым.
пп
1
A
26
B
12
2
11
28
3
27
10
4
13
21
5
23
29
Автор программы
доцент
А.А. Рубчинский
7