Исследование операций 1 лекция в неделю (9-11) 1 практика в 2 недели (4-6) Лектор – проф. ЕРЗИН Адиль Ильясович Ком. 223 (Институт математики СО РАН) Тел. 3634-623 E-mail: adilerzin@math.nsc.ru Лекции - http://math.nsc.ru/LBRT/k4/LOR/ Практика - http://math.nsc.ru/LBRT/k4/or/ + Семинары – к.ф.-м.н. Тахонов И.И. Правила игры • 4 (домашние) задачи • письменный экзамен (конец апреля – начало мая) • устный (open book) экзамен (во время сессии) • 3 попытки… Вид деятельности Количество баллов Работа на семинаре у доски 0-5 Активная работа на семинаре 1-5 Домашние задачи 0-10 Письменный экзамен 0-10 Оценка Необходимые условия «отлично» (≥ 25 баллов) & (решены 4 задачи) & (п. экз. ≥ 6 баллов) «хорошо» (≥ 20 баллов) & (решены 4 задачи) «удовлетворительно» Либо ≥ 15 баллов, либо ≥ 11 и ≥ 1 за работу на семинаре Литература 1. Береснев В.Л., Дементьев В.Т. Исследование операций. Введение: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 1979. 2. Гимади Э.Х., Глебов Н.И. Экстремальные задачи принятия решений: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 1982. 3. Гимади Э.Х., Глебов Н.И. Дискретные экстремальные задачи принятия решений: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 1991. 4. Ерзин А.И. Введение в исследование операций: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 2006. math.nsc.ru/LBRT/k4/LOR. 5. Гончаров Е.Н., Ерзин А.И., Залюбовский В.В. Исследование операций. Примеры и задачи: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 2005. math.nsc.ru/LBRT/k4/or. 6. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Физматлит, 2004. 7. Форд Л., Фалкерсон Д. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966. 8. Wolsey L.A. Integer Programming. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1998. Немного истории… 1935 – Великобритания – ПВО 1938 – Operational Research США – Operations Research – дальнейшее развитие… Задачи ИО: • целераспределения • быстродействия • упаковки • о рюкзаке… В рамках ИО рассматриваются задачи: • ЛП, ЦЛП, СЛП • теории расписаний и сетевого планирования • транспортные задачи и задачи о назначениях • маршрутизации и построения оптимальных структур • теории игр • потоки в сетях • управления запасами • теории массового обслуживания •… Эйлер: «Все явления в Мире подчинены оптимизации, и нет никаких сомнений, что всё рациональное может быть объяснено оптимизационными методами» Мат. анализ и экстремальные задачи • f (x) – гладкая выпуклая/вогнутая f (x) = 0… • x D градиентный метод; метод множителей Лагранжа; метод штрафных функций… • f (x) – линейная и мн. D задано линейными (не)равенствами… Симплекс метод… • f (x) – строго унимодальная ф. одной переменной дихотомия, метод золотого сечения (метод Фибоначчи)… Принятие решений Какое решение является наилучшим? Ответ можно искать на основе опыта и здравого смысла Но: • решений много… • трудно представить реакцию системы на управление из-за ее сложности Основной способ ИО – это переход от качественной модели к математической математическое моделирование – основной метод ИО Будем понимать под ИО науку о математических моделях и методах принятия оптимальных решений Мат. моделирование Математическая модель объективная схематизация основных аспектов решаемой задачи, или описание задачи в математических терминах. Общий вид математической модели: max f ( x ), или max{ f ( x ) : x D}, или f ( x ) max, xD • задача ЦЛП: max cx : Ax b, x Z ; • задача булевого ЛП: max cx : Ax b, x B ; • задача ЛП: max cx : Ax b, x Rn ; n n • задача смешанного ЛП: cx hy max; Ax By b; x Rn , y Z n . xD Алгоритм Гаусса для решения системы линейных уравнений The Nine Chapters on the Mathematical Art. 2nd century BC, New York Times of November 7, 1979: “A surprise discovery by an obscure Soviet mathematician has rocked the world of mathematics”. Этот неизвестный математик – Л.Г. Хачиян. Он модифицировал метод эллипсоидов, который был разработан для нелинейного программирования Н.З. Шором и др., и доказал его полиномиальность. Это была сенсация! На практике метод эллипсоидов работал плохо… Karmarkar (1984) Мат. моделирование Если целевая функция или/и ограничения нелинейные, то такая модель называется нелинейной. Оптимизационные задачи, в которых переменные принимают значения из конечного множества, называют задачами дискретной (или комбинаторной) оптимизации. Комбинаторные постановки задач часто можно записать в виде: min ci : S F SN iS где ci R, i N и F – заданное множество подмножеств мн. N = {1, …, n}. Булева задача о ранце (ЗР) Дано: N – множество предметов; A – емкость ранца; cj ≥ 0 ценность предмета; aj ≥ 0 – объем (вес) предмета. Требуется выбрать подмножество предметов максимальной ценности, объем которых не превосходит A. n n Мат. постановка: max n xB c x ; a x j 1 Комбинаторная постановка: j j j 1 j j A. max { c j : a j A}. SN jS jS Задача коммивояжёра (КМ) Дано: N – множество городов; cij ≥ 0 – расстояние (стоимость переезда). Требуется найти гамильтонов цикл min длины. n n minnn cij xij . xB x 1, i 1, ..., n; x 1, ij j: j i ij i:i j x iS jS или x iS jS i 1 j 1 ij ij j 1, ..., n. 1, S N , S , | S | 1, S N , 2 | S | n 1. Пример КМ 1 3 2 4 5 6 7 8 9 Задача производства и хранения продукции Дано: dt ≥ 0 – потребности; ft ≥ 0 – фиксированные затраты; pt ≥ 0 – стоимость производства единицы продукции; ht ≥ 0 – стоимость хранения единицы продукции. Требуется определить план: потребности удовлетворены, и суммарные затраты, связанные с производством и хранением, min Переменные: xt – объем продукции, выпущенной в течение дня t; st – количество продукции на складе к концу дня t; yt = 1, если в день t осуществляется производство и yt = 0 в противном случае. Задача производства и хранения продукции min xRn ,sRn 1 , yB n n n n t 1 t 1 t 1 ( pt xt ht st f t yt ). xt Cyt , t 1, ..., n. st 1 xt d t st , t 1, ..., n. s0 0, st , xt 0, yt {0, 1}, t 1, ..., n. n Если доп. потребовать, что sn = 0, то xt y t d i , t 1, ..., n. t и справедливо равенство st ( xi d i ). i 1 Тогда пер. st можно исключить i t