Множества, операции над ними лекция №1

Множества,
операции над ними
лекция №1
«Множество
есть многое,
мыслимое
нами как
единое».
Основоположник
теории множеств
немецкий
математик
Георг Кантор
(1845-1918)
Понятие множества принадлежит к числу основных,
неопределяемых понятий математики.
Под множеством будем понимать любое собрание
определенных и различимых между собой
объектов, мыслимых как единое целое.
Примеры множеств:
множество студентов данной аудитории;
множество людей, живущих на нашей планете в данный
момент времени;
множество точек данной геометрической фигуры;
множество чётных чисел;
множество корней уравнения х2-5х+6=0;
множество действительных корней уравнения х2+9=0;
Элементами множества являются числа, буквы, имена
или другие последовательности заключенные в фигурные
скобки.
Множество обычно обозначают большими латинскими
буквами, а элементы множества − малыми латинскими
буквам.
Если элемент, а принадлежит множеству А, то пишут:
а

А

Если а не принадлежит А, то пишут: а
Например: 3 {1,2,3,4}.
5
А.
{1,2,3,4}.
В математике часто исследуются так называемые
числовые множества, т.е. множества, элементами которых являются числа.
Для самых основных числовых множеств утвердились
следующие обозначения:
N - множество всех натуральных чисел;
Z - множество всех целых чисел;
Q - множество всех рациональных чисел;
R - множество всех действительных чисел.
Приняты также обозначения Z+ , Q+, R+ соответственно
для множеств всех неотрицательных целых, рациональных
и действительных чисел, и Z¯, Q¯, R¯ -для множеств всех
отрицательных целых, рациональных и действительных
чисел.
Способы задания множества


перечисление элементов множества;
А={a; b; c; …;d}
указание характеристического
свойства элементов множества, т.е.
такого свойства, которым обладают
все элементы данного множества и
только они.
А={х | х2-5х+6=0}.
Например

1. {х : х — футболист, играющий за Югозападный колледж} - множество, состоящее из всех
футбольных игроков, выступающих за Юго-западный
колледж.

2. {х : х —- гражданин Англии} - описывает
множество всех граждан Англии.
 Способ задания множества должен быть адекватным,
т.е. должен полностью определять множество.

Это не представляет труда, если объекты
множества перечислены. Например: как правило,
для обозначения множеств будем использовать
прописные буквы. А = {Боб, Джейн, Нэнси}
есть множество, состоящее из Боба, Джейн и
Нэнси.
Поставьте вместо звездочки знак так, чтобы получить правильное утверждение:
1) 5 * N; 2) –5 * Q; 3) 3,14 * Q; 4) 2 * R;
5) 0 * N; 6) − 12 * Z; 6) π * Q; 8) 3 * ∅
Задайте перечислением
элементов множество:
1) A = {x | xN, x2 – 1 = 0};
2) B = {x | xZ, | x | < 3};
3) C = {x | x N, x ≤ 15, x = 7k, k Z}.
Действия над множествами

Включение и равенство множеств
Пусть Х и У – два множества. Если каждый
элемент х множества Х является
элементом множества У, то говорят, что
множество Х содержится во множестве У и
пишут: Х У или У Х. Говорят также, что
Х включено в У или У включает Х, или что
Х является подмножеством множества У.
Подмножества
Если каждый элемент множества А является также элементом
множества В, множество А называется подмножеством
множества В (обозначение - А ⊆ В или В ⊇ А).
Каждое множество является своим подмножеством (это
самое "широкое" подмножество множества). Пустое множество
является подмножеством любого множества (это самое "узкое"
подмножество). Любое другое подмножество множества В
содержит хотя бы один элемент множества В, но не все его
элементы. Для истинных подмножеств множества В
применяется обозначение А ⊂ В или В ⊃ А.
Если для двух множеств Х и У
одновременно имеют место два
включения т.е. Х есть подмножество
множества У и У есть подмножество
множества Х, то множества Х и У
состоят из одних и тех же элементов.
Такие множества Х и У называют
равными и пишут:
Х=У.
Пустое множество, обозначаемое
или {}, есть множество, которое не
содержит элементов.
Универсальное множество I есть
множество, обладающее таким свойством,
что все рассматриваемые множества
являются его подмножествами.