Моделирование формирования изображения при когерентном освещении Моделирование оптических систем

Моделирование формирования
изображения при когерентном
освещении
Моделирование оптических систем
кафедра
прикладной и компьютерной оптики
Схема формирования
оптического изображения
y
y
плоскость
предметов
x
вых. зр.
U  x, y 
x
U  x, y
плоскость
изображений
А.Д.
Действие реальной оптической системы:




преобразование расходящегося пучка лучей в сходящийся
ограничение размеров проходящего пучка лучей или волнового фронта
ослабление энергии проходящего поля
нарушение гомоцентричности пучка или сферичности волнового фронта,
то есть изменение фазы проходящего поля
Зрачковая функция
Зрачковая функция показывает влияние оптической
системы на прохождение электромагнитного поля от
точки предмета до выходного зрачка:
1

 2  x ,  y  e2iW  x ,  y , внутри 0
f x ,  y  

0, вне 0





 x ,  y  – канонические зрачковые координаты
  x ,  y  – функция пропускания по зрачку
W  x ,  y  – функция волновой аберрации
где
 0 – область зрачка в канонических координатах

В случае если:
 аберрации отсутствуют
 пропускание равномерно по зрачку
 зрачок имеет форму круга
1, внутри 0
f  x ,  y   
 circ  x ,  y 
 0, вне 0
Канонические зрачковые
координаты
Канонические зрачковые координаты:
y 


Py
Ay
P
x  x
Ax
' y 
Py
Ay
Px
' x 
Ax
где Px , Py , Px , Py – входные и выходные реальные зрачковые координаты
Ax , Ay , Ax , Ay – входные и выходные апертуры
Канонические координаты на предмете и изображении:


x   x
Ax
y   y
Ay


 x   x
 y   y 
Ax

Ay

где x,y , x’,y’ – реальные координаты на предмете и изображении
 – длина волны
Комплексное пропускание
предмета
Комплексное пропускание предмета:
   i  ,  U  x , y   U o  x , y  T  x , y 
  x , y  – функция амплитудного пропускания предмета
  x , y  – функция изменения фазы на предмете

T  x , y    x , y  e


x
y
Амплитудный предмет

(изменяет только амплитуду падающей волны)
(вещественная выборка со значениями от 0 до 1)

 
T  x , y    x , y

6
Когерентное освещение
Дифракционное распространение поля от предмета до
оптической системы:

 
U  x ,  y  F T  x , y

Распространение поля через оптическую систему:



 
U   x ,  y  U  x ,  y  f  x ,  y

Дифракционное распространение поля в пространстве
изображений:


 
U   x , y  F 1 U   x ,  y

Вычисление распределения интенсивности на
изображении:
2



I   x , y  U   x , y

Численные параметры
Количество элементов выборки N (четное)

не меньше 64, лучше всего 128-512
Шаг по зрачку и по предмету:
Δη 


1
N  Δρ
ρ – шаг по зрачку в к.е.
 – шаг по предмету в к.е.
Размер выборки для зрачка и для предмета в к.е.

Dзр=ρ · N
Dпр= · N
Шаг по предмету и изображению в мкм:

х [мкм] =  · λ [мкм] / A
х’ [мкм] = ’ · λ [мкм] / A’
  x
A

Шаг по зрачку
Охват зрачка – размер выборки для зрачка области,
которая должна быть представлена в виде выборки
(Dзр=ρ · N) – не меньше 4 к.е.

выборка зрачковой функции не менее чем в 2 раза больше самого зрачка
Радиус зрачка


в к.е. Rзр.[к.е.] = 1
в точках Rзр.[точек] / N = Rзр.[к.е.] / Dзр , т.е. Rзр.[точек] = N / Dзр
Шаг по зрачку в к.е.


Rзр [точек] · ρ = 1
ρ = 1 / Rзр [точек] = Dзр / N
Пример вычислений параметров

ρy
охват зрачка Dзр = 4 = 28 точек

радиус зрачка Rзр. = 1 к.е. = 7 точек
диаметр зрачка = 2 к.е. = 14 точек

Шаг по зрачку

ρ = Dзр / N = 4 / 28 = 0.14 к.е.
-2

Шаг по предмету  = 1 / (N · ρ) =
= 1 / (28 · 0.14) = 0.25 к.е.

Шаг по изображению в мкм
х’ [мкм] = ’ · λ [мкм] / A’ =
= 0.25 · 0.5 / 0.25 = 0.5 мкм
-1
1
2
ρx
Задание
Создать программу, моделирующую формирование
изображения при когерентном освещении

Предмет:
 периодическая решетка (симметричен относительно центра координат)

Оптическая система:
 зрачок круглый
 аберрации отсутствуют
 пропускание равномерно по зрачку

Изображение (анализировать в MathCAD)
 полутононовое изображение
 сечение

Организация вычислений
 численные параметры: размер выборки 512х512, охват зрачка Dзр=20
 пример класса "оптическая система"
 для генерации предмета в виде периодической решетки можно
воспользоваться примером генерации типовых предметов (задать период 8.4,
ширина линии 4.2)
Моделирование формирования
изображения при
некогерентном освещении
Задание
Создать программу, моделирующую формирование
изображения при некогерентном освещении

Предмет:
 периодическая решетка (симметричен относительно центра координат)

Оптическая система:
 зрачок круглый
 аберрации отсутствуют
 пропускание равномерно по зрачку

Результаты (анализировать в MathCAD)
 изображение (сечение и полутононовое изображение)
 ФРТ (сечение и полутононовое изображение)
 ЧКХ (сечение)
Некогерентное освещение
Вычисление фурье-образа распределения интенсивности
на предмете:




2
~
I  x ,  y  F  T  x , y 


Вычисление фурье-образа функции рассеяния точки:



~
h  x ,  y  F  F 1 f  x ,  y


2

Вычисление фурье-образа распределения интенсивности
на изображении:

 
 
~
~
~
I   x ,  y  I  x ,  y  h  x ,  y

Вычисление распределения интенсивности на
изображении:



~
I   x , y  F 1 I   x ,  y

Функция рассеяния точки
Функция рассеяния точки (ФРТ) hx, y – это функция,
описывающая зависимость распределения освещенности
от координат в плоскости изображения, если предмет –
это светящаяся точка в центре изопланатической зоны
Комплексная амплитуда в изображении точки в
канонических координатах:
U  x , y   F 1  f  x ,  y 

комплексная амплитуда поля в изображении точки есть обратное Фурьепреобразование от зрачковой функции в канонических координатах
Функция рассеяния точки в канонических координатах:
h  x , y   F
1
 f  x ,  y 
2
Функция рассеяния точки
при отсутствии аберраций
Функция рассеяния точки при отсутствии аберраций:
h0  x ,  y   F 1 Circ x ,  y 

где  
порядка
2
 J 1 2 
2
 


Bes
sin
c

  
2
 x2   y2 , J1 2  – функция Бесселя первого рода, первого
h0  
y
 центральный максимум – 83.8%
1.0

x
1.22


Ay


-1.62 -1.12 -0.61
0
0.61 1.12 1.62

энергии (высота 1.0)
первое кольцо – 7.2% энергии
(высота 0.0175)
второе кольцо – 2.8% энергии
(высота 0.0045)
третье кольцо – 1.4% энергии
(высота 0.0026)
четвертое кольцо – 0.9%
энергии
Влияние аберраций на ФРТ
h  
y
симметричные
аберрации
1.0
x
y
кома
x

1.22
y


Влияние малых аберраций – часть энергии из
центрального максимума переходит в кольца
Влияние больших аберраций – сходство ФРТ с
безаберрационной полностью теряется
астигматизм
x
Гармонический
периодический объект
Периодическая решетка – это структура с белыми и черными
полосами
Гармоническая периодическая решетка – это структура,
интенсивность которой описывается гармонической функцией:
y
 x  b 


I
x

a

cos
 2


y
x
T


 где a – вещественная амплитуда,
b – сдвиг, Т – период,  – угол ориентации

I
x
a
x
b
T
а) распределение интенсивности
б) сечение распределения интенсивности
Гармонический
периодический объект
Интенсивность гармонической решетки в комплексной форме:
2i x  y

x
y
I x, y   u  e
1
 
– пространственная частота, u  a  ei o
T
– комплексная амплитуда
Распределение интенсивности на изображении гармонического
объекта:


I   x , y  u  e

2i s x x  s y x 
u  u  D x , y  – комплексная амплитуда изображения гармонического объекта
Изображение гармонической решетки любой оптической системы это
гармоническая решетка с той же частотой.
Воздействие оптической системы выражается в изменении
комплексной амплитуды гармонической решетки
Оптическая передаточная
функция
Оптическая передаточная функция (ОПФ) D x , y 
характеризует передачу структуры предмета оптической
системой как функция пространственных частот
D  x , y   T  x , y  e


i  x , y

модуль ОПФ – модуляционная передаточная функция (МПФ) или
частотно-контрастная характеристика (ЧКХ):
T  x , y   D  x , y 

аргумент (фаза) ОПФ – фазовая передаточная функция (ФПФ) или
частотно-фазовая характеристика (ЧФК):
  x , y   arg D  x , y 
ОПФ вычисляется как преобразование Фурье от ФРТ:

 
D  x , y  F h  x , y

Частотно-контрастная
характеристика
Частотно-контрастная характеристика показывает передачу
вещественной амплитуды гармонического объекта:
a
ЧКХ 
a

где
a – амплитуда на предмете, a – амплитуда на изображении
Частотно-контрастная характеристика показывает зависимость
контраста изображения гармонической решетки от частоты
решетки, если считать, что на предмете контраст единичный
k
1
0
x
ОПФ в канонических
координатах
Оптическая передаточная функция в канонических
координатах:


Dx , y   F h x , y 

где  x ,  y – канонические пространственные частоты:
 x   x
 y   y

Ax

Ay
  x
  y

Ax

Ay
  x
  y
Предельная
пространственная частота
Максимальная каноническая пространственная частота:
 max  2
Предельные реальные пространственные частоты:
 lim x 
2 Ax

 lim y 
2 Ay

ОПФ
1
ЧКХ – чётная функция
0
При отсутствии аберраций ОПФ всегда ограничена предельными
частотами, обусловленными дифракцией света

2
Нормированная ФРТ
Нормированная ФРТ:



1
h  x , y 
 F 1 f  x ,  y
H



исключены масштабные преобразования за счет использования
канонических координат, т.е. обобщённые увеличения равны 1
исключены энергетические преобразования за счет нормировки.
Энергия, содержащаяся в импульсной реакции структурного
преобразователя, должна равняться единице:
   1 2


H      x ,  y d x d y 


  



2

2
Для о.с. с круглым зрачком и равномерным пропусканием:
2
 
  

2
2
2


H     Circ  d x d y  SCirc     r
2


  

Нормированная ОПФ
ОПФ нормируется таким образом, чтобы D(0,0)=1


D x ,  y 

1
Dнорм

 F h  x , y

где нормировочный множитель
 
Dнорм 

   x ,  y d x d y
 
   1 2


  x ,  y d x d y 




  



2
Для о.с. с круглым зрачком и равномерным пропусканием:
Dнорм  SCirc 
1

25
ОПФ как свертка зрачковой
функции
ОПФ также может быть вычислена как свертка зрачковой
функции:


D x ,  y 

1
Dнорм



 f x ,  y  f x ,  y

где нормировочный множитель
Dнорм 
 
   x ,  y d x d y
 

Для о.с. с круглым зрачком и равномерным пропусканием:
Dнорм  SCirc  
Нормировка преобразования
Фурье
Если    , при выполнении преобразования Фурье
необходимо выполнять нормировку:


f1  x , y 
 

 F f2  x ,  y

