Моделирование процессов в биологии 1937 год. Остров Протекшен Phasanus Colchicus 1937 год. Остров Протекшен Прошёл год. Прошёл ещё год. Этапы решения любой реальной задачи • Определение исходной информации, необходимой для решения задачи, а также путей её получения; • Привлечение знаний, позволяющих связать исходную информацию с результатами и определить путь получения результатов; • Извлечение исходной информации и преобразование в результат. Анализ Анализ Синтез Какие факторы влияют на жизнь фазанов? Какие факторы влияют на жизнь фазанов? Климатические условия Холодная зима Засушливое лето Какие факторы влияют на жизнь фазанов? Появление (быстрый рост) другого вида животных, имеющих ту же кормовую базу Какие факторы влияют на жизнь фазанов? Прирост числа фазанов за единицу времени пропорционален их уже имеющемуся количеству Существенная информация Начальное количество (обозначим за M(o)) Коэффициент прироста за один год (k). Допустим, через n лет фазанов стало M(n). Тогда прирост за год: M(n + 1) - M(n) Допустим, через n лет фазанов стало M(n). Тогда прирост за год: M(n + 1) - M(n). Можно записать равенство: M(n + 1) - M(n) = kM(n) Преобразуем: M(n + 1) = M(n) + KM(n), или M(n + 1) = (1 + k)M(n) M(n + 1) = (1 + k)M(n) По этой формуле, зная изначальное количество M(0) и коэффициент прироста k, можно сначала найти M(1), т.е. число фазанов через год, затем найти M(2), т.е. число фазанов через 2 года, затем M(3) и т.д. Это геометрическая прогрессия. Можно сформулировать закономерность так: Если действие окружающей среды сказывается лишь на скорости прироста, то живые организмы размножаются в геометрической прогрессии. M(n) = (1 + k)nM(0) это модель неограниченного роста. Адекватно ли она отражает биологические процессы на Земле? 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 1937 1938 1939 1940 1941 1942 1943 1937 1938 1939 1940 1941 1942 1943 1944 1945 1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 7E+18 6E+18 5E+18 4E+18 3E+18 2E+18 1E+18 0 Есть некое предельное значение массы растений, «проживающих» на той или иной территории. Так, учёные показали, что запас массы растений не может превосходить 20 тонн на гектар в полярной зоне, 350 тонн на гектар в лесной зоне, и 440 тонн на гектар в тропиках. А на всей Земле масса растений не может превысить 5 * 1012 тонн. Предположим Чем ближе масса организмов к максимально возможной, тем меньшим становится коэффициент прироста k. Коэффициент k не является неизменной величиной, а зависит от разности L – M(n), где L – предельное значение массы растений на данной территории. Например, коэффициент прироста меняется по формуле k(n) = a(L – M(n)) Подставляя в M(n + 1) = (1 + k)M(n) k(n) = a(L – M(n)) Получаем: M(n + 1) = M(n) + aM(n)(L – M(n)) это модель ограниченного роста. Но чему тогда равно M(n)? Компьютерный эксперимент! Исходные данные: M(0), k, a, L M(0) = 1 L = 11 000 Значения коэффициента k экспериментально полученные учёными для растений: Природная зона Коэффициент k Тундра Тайга Степь Пустыня 0,6 1,8 1,2 0,8 Через сколько лет масса растений превысит 100? Природная зона Коэффициент k 1) Тундра 2) Тайга 3) Степь 4) Пустыня 1 2 A год 3 4 5 6 7 8 9 0 B Природная зона Тип модели Коэффициент размножения k Предельное значение массы L Коэффициент a Начальная масса M(0) 0,6 1,8 1,2 0,8 C Тундра Неогр D Огран 0,6 0,6 11000 = D3/(D4 - D6) 1 1 = A6 + Масса через 1 год = C6 * (1 + C3) = D6 * (1 + D5 * (D4 – D6) 1 = A7 + Масса через 2 = C7 * (1 + C3) = D7 * (1 + D5 * (D4 – D7) 1 года = A8 + Масса через 3 1 года Т ундра 600000 500000 Неогран 400000 О гран 300000 200000 100000 0 Начальная Мас с а через Мас с а через Мас с а через Мас с а через Мас с а через Мас с а через Мас с а через мас с а M(0) 1 год 2 года 3 года 4 года 5 лет 6 лет 7 лет Т айга 35000 30000 25000 Неогр 20000 О гран 15000 10000 5000 0 Начальная Мас с а Мас с а Мас с а Мас с а Мас с а Мас с а Мас с а мас с а Мас с а Мас с а мас с а через 1 через 2 через 3 через 4 через 5 через 6 через 7 через 8 через 9 через 10 M(0) год года года года лет лет лет лет лет лет