1.8. Конденсация Бозе – Эйнштейна Бозе-эйнштейновская конденсация. Возбуждения в неидеальном бозе-газе. Сверхтекучесть. Критерий сверхтекучести Ландау Статистика Бозе – Эйнштейна . Рассмотрим газ частиц с симметричной волновой функцией, описываемых во вторичном квантовании операторами рождения и уничтожения и подчиняющихся следующим коммутационным соотношениям: ak ak' ak'ak kk ' , ak ak' ak'ak 0, ak ak ' ak 'ak 0 Действие операторов в представлении чисел заполнения: ak | nk nk | nk 1 , ak | nk nk 1 | nk 1 , akak | nk nk | nk Числа заполнения квантовых состояний при симметричных волновых функциях ничем не ограничены и могут иметь произвольные значения Статистическая сумма для системы невзаимодействующих частиц: Q exp{N / T }[ exp{E nN / T }] (exp[( k )]) nk N n nk Химический потенциал должен быть отрицателен 2 Бозе-газ . Термодинамический потенциал: T ln Q k T ln(1 exp[ q Средние числа заполнения: nk ( T ) nk ak ak Полное число частиц в газе: 1 Vm3 / 2 N 2 3 2 k k exp[ ] 1 T Энергия бозе-газа: 1 Vm 3 / 2 E k 2 2 3 k k exp[ ] 1 T 3 T ]) 1 exp[ k ] 1 T d 0 d 0 exp[ ] 1 T exp[ ] 1 T Бозе-газ . Низкие температуры: химический потенциал достигает нулевого значения при температуре конденсации: (mT0 ) 3 / 2 N/V 2 2 3 T0 2 (mT0 ) 3 / 2 z dz exp[z] 1 2 2 3 / 2 3 (3 / 2) 0 (3 / 2)2 / 3 2 N 2 / 3 2 N 2 / 3 ( ) 3.31 ( ) m V m V Число частиц с ненулевой энергией: V (mT ) 3 / 2 z T 3/2 N 0 dz N { } exp[z] 1 T0 2 2 3 0 Число сконденсировавшихся частиц: N0 N0 N[1 ( T T0 ) 3 / 2 ] При температуре T=T0 начинается конденсация бозе-частиц в низшее энергетическое состояние 4 Бозе-газ . Термодинамические величины бозе-газа в условиях наличия конденсата: Vm 3 / 2 E 2 2 3 3V (mT ) 3 / 2 T d exp[ T ] 1 4 2 3 / 2 3 (5 / 2) 0 0.770NT[ T T0 ]3 / 2 , C E T 5E 2 T ~ T 3 / 2 , S [C T ] dT 5E 3 T , 2 F E TS E. 3 Теплоемкость имеет при T=T0 излом и равна 1.92N. Таким образом, явление бозе-конденсации – типичный фазовый переход второго рода. 5 Возбуждения в бозе-газе . В квантовой бозе-системе элементарные возбуждения должны иметь целочисленный спин, так как момент импульса всякой квантово-механической системы может меняться только на целое число. Поэтому в квантовой бозе-жидкости элементарными возбуждениями с малыми импульсами p являются обычные гидродинамические волны, т.е. фононы (квазичастицы с нулевым спином). Таким образом, закон дисперсии возбуждений должен быть линеен: p up Функция распределения возбуждений: 1 n(p) . p exp[ ] 1 T При 6 низких температурах возбуждения практически не взаимодействуют и их можно считать идеальным бозе-газом с нулевым химпотенциалом Возбуждения в бозе-газе . Термодинамические величины жидкости при низких температурах: 1 3 up 2 EV dp VT 4 , 3 3 exp[up T ] 1 30u (2) 0 C E T 4E T ~ T 3 , S [C T ] dT 4E 3 T , 1 F E TS E. 3 При увеличении импульса закон дисперсии отличается от линейного, и дальнейший ход зависимости определяется взаимодействием между частицами бозе-газа Рассмотрим слабо неидеальный бозе-газ с одинаковым взаимодействием U между парами частиц, описываемый гамильтонианом H p ap ap p 7 U 2V ap a ap2 ap1 p 4 3 p1p2p3p 4 p1 p2 p3 p 4 Возбуждения в бозе-газе . Упростим взаимодействующую часть гамильтониана, учитывая, что в основном состоянии частицы находятся в конденсате, и ввиду слабости взаимодействия основное состояние взаимодействующего газа будет слабо отличаться от основного состояния идеального газа, поэтому число частиц над конденсатом будет много меньше числа конденсатных частиц: Hint U {a0 a0 a0 a0 (2ap a0 ap a0 2apa0 apa0 ap apa0 a0 a0 a0 ap ap )}. 2V p0 Взаимодействующая часть гамильтониана переписывается в виде Hint U 2 N N ( 2 a a 2 a a a a a a ) 0 0 p p p p p p p p 2V p 0 Учтем выражение для полного числа частиц: 1 N N0 (ap ap a p a p ) 2 p0 8 Возбуждения в бозе-газе . Полный гамильтониан: UN2 1 p2 UN UN H [( )(ap ap a p a p ) (ap a p ap a p )]. 2V 2 p 0 2m V V Введем линейные преобразования операторов: ap 1 1 A p2 ( p A p p ), ap 1 1 A p2 ( p A p p ) Подставляя их в гамильтониан и обозначая S=UN/V, Sp=p2/2m+S, Δp=1+Ap2, Wp=1-Ap2, получаем: H SN / 2 9 1 1 1 2 S A SA {Sp p 2SA p }(p p p p ) W p p p 2 p 0 Wp p0 p 1 1 {2Sp A p Sp }(p p p p ) . 2 p 0 Wp 2S p A p S p 0 A p 1 (S p S p2 S 2 ) S Возбуждения в бозе-газе . Полная энергия системы: E H E 0 1 E p p p p p E 0 E p np , 2 p 0 p 0 p p np , E 0 SN / 2 1 SA p , 2 p 0 2 2 p 2 UN UN 2 2 . E p S p S 2m V V В предельных случаях спектр возбуждений имеет вид: E p up, u UN mV , p 0; p 2 2m, p . Из вида спектра возбуждений видно, что локальных минимумов на 10 нем нет, так как смене линейной на квадратичную зависимость соответствует только точка перегиба Возбуждения в бозе-газе . В реальном газе при возрастании взаимодействия возможен локальный минимум (что наблюдается у жидкого гелия): (p p 0 ) 2 Ep 2m * m* – эффективная масса этих возбуждений, называемых ротонами 11 Возбуждения в бозе-газе . При низких температурах распределение ротонов близко к больцмановскому, в этом пределе 1 3 1 EV d pE exp[ E / T ] N ( T ), p p p 3 2 (2) 0 3 2 C E T Np ( 2 ), 4 T T 3 S [C T ] dT Np ( ), 2 T 2(m * T )1 / 2 p20 V F E TS TNp , Np exp[ T ]. 3/2 3 (2) Неидеальный бозе-газ имеет два вида возбуждений – фононы и 12 ротоны, отвечающих различным участкам по импульсу q одной и той же ветви возбуждений. При низких температурах ротонная часть меньше фононной и, наоборот, при высоких превалирует над фононной, так что теплоемкость имеет сначала степенную зависимость, а затем экспоненциальную Сверхтекучесть . Рассмотрим бозе-жидкость при T=0, текущую по капилляру. Если между жидкостью и стенками капилляра имеется трение, это может привести к увлечению жидкости стенками капилляра. Это приводит к появлению элементарных возбуждений и диссипации энергии. Энергия жидкости, связанная с этими возбуждениями, имеет вид M2 (p) p 2 Для того, чтобы такое возбуждение появилось, необходимо, чтобы (p) p 0 Эта величина имеет минимальное значение при антипараллельных скорости и импульсе. Таким образом, Критерий сверхтекучести Ландау: p p min 13 Сверхтекучесть . Минимальному значению ε/p соответствует точка кривой ε(p), в которой d dp p Производная dε/dp есть скорость элементарного возбуждения. Поэтому критерий Ландау означает, что сверхтекучее движение может иметь место, только если скорость жидкости меньше скорости элементарного возбуждения в точках, удовлетворяющих уравнению. Опасная точка лежит правее ротонного минимума Скорость сверхтекучего движения должна быть 1 ( p 20 2m * p 0 ) p2 2m * 0 m* p0 Импульс газа возбуждений в единице объема: d3p d3p 2 P p n( p p ) / 3 p n / 3 0 (2) (2) 3 14 Сверхтекучесть . Бозе-жидкость при T≠0 представляет собой смесь двух жидкостей – “сверхтекучей” и “нормальной”, движущихся без трения относительно друг друга Фононная и ротонная части нормальной плотности: nf 2m *1 / 2 p 04 exp( T ) 2 2 T 4 , np 5 45u 3(2) 3 / 2 T 1 / 2 Оставшаяся движению. потенциально: часть плотности соответствует сверхтекучему Движение сверхтекучей компоненты всегда rot s 0 В бозе-жидкости могут происходить колебания двух различных типов с разными скоростями. Нормальная и сверхтекучая компоненты колеблются в противофазе, так что полный поток жидкости равен нулю 15