Глава 6

Лекция 6
Визуализация фазовых изображений
•6.1. Преобразование Гильберта

Преобразованием Гильберта называют переход от исходной вещественной функции
f x
к функции
где
P
  x  , которая равна   x  
f  
P
d
    x 
1

,
(6.1)
указывает на то, что интегрирование ведется в смысле главного значения Коши
 
f x с ядром g 0
Преобразование Гильберта является сверткой исходной функции
1 1
g 0  x   P 
  x
(6.2)
Поэтому определение преобразование Гильберта можно компактно записать в виде
 x   f x   g 0 x 
.
(6.3)
x  ;
2
F sgn x   2
iu
1
Как мы установили ранее
Значит фурье-образ функции
g 0 x 
(6.4)
G0 u   isgn u
равен
(6.5)
Подвергнув обе стороны равенства (6.3) преобразованию Фурье и приняв во внимание
теорему о свертке, получим
H u   F u isgn u  F u G0 u 
где
H u  - фурье-образ функции   x 
,
(6.6)
.
Из (6.6) видно, что преобразование Гильберта можно выполнить, если в области
пространственных частот произвести умножение фурье-образа исходной
функции на функцию
G0 u 
, а затем выполнить обратное преобразование Фурье.
G0 u 
в оптике выполняет фильтр
о
пространственных частот в виде пластинки со ступенькой, создающей сдвиг фазы на 180 .
Операцию умножения на функцию
При этом линия ступеньки должна проходить через центр плоскости
пространственных частот.
•6.2. Теневые приборы
Теневым прибором в оптике называют систему, которая позволяет наблюдать и
количественно исследовать прозрачные, либо практически зеркальные объекты,
т.е. такие объекты, коэффициент пропускания которых t x может быть представлен в виде
 
t  x   exp i  x 
(6.7)
  x  - функция, описывающая фазовую модуляцию объектом световой волны.
где
Обычные оптические изображающие системы не позволяют заметить малые фазовые неоднородности,
если изображение объекта сфокусировано. Поэтому теневые приборы образуют самостоятельный
класс оптических приборов, которые разделяются на фазово-контрастные и теневые.
К фазово-контрастным относится метод Цернике, к теневым - метод Фуко-Теплера, система
с фильтром Гильберта.
Принципиальное различие между фазово-контрастными и теневыми методами визуализации
оптических неоднородностей несколько сгладилось после того, как были построены теневые приборы
с фазовым ножом. Различие между этими методами можно свести к структуре используемых фильтров
пространственных частот. Это позволяет объединить оба метода в единый класс теневых приборов, а
также включить в него те приборы, принцип действия которых представляет собой комбинацию
фазово-контрастного и теневого методов визуализации прозрачных неоднородностей. Рассмотрим
принципы действия основных типов теневых приборов.
•6.2.1. Фильтр Цернике
Ниже приведена схема оптической системы, используемой для визуализации фазовых
неоднородностей методом Цернике.
Рис. 6.1. Визуализация фазовых неоднородностей с помощью метода Цернике
Оптический фильтр пространственных частот Цернике имеет вид небольшой пластинки-диска,
толщина d которой равна
d

4n  1
(6.8)
- длина волны света. Располагают ее в
показатель
преломления
где

центрепластинки, а
на
 2
плоскости пространственных
частот. Пластинка
Цернике
создает сдвиг фазы
Амплитудный
коэффициент пропускания
фильтра
Цернике
равен
n
где

1, u 
Gu   

 i, u 
(6.9)
 - радиус фазовой пластинки в единицах пространственных
Коэффициент пропускания объекта, создающего малые сдвиги по фазе, можно записать в виде
t x   expi x   1  i  x ,   x 1
(6.10)
локализуется в плоскости пространственных частот прибора и
Фурье-образ функции t x
равен
T u   u  iF  x
(6.11)
Идеальная фазовая пластинка Цернике воздействует только на нулевую
пространственную
частоту
 (u )
 
 
  
 
 
 u   i u   exp  i  u 
 2
(6.12)
Поэтому амплитуда волнового поля за фильтром Цернике равна
T u   i u   iF  x 
(6.13)
В плоскости изображения возникает волновое поле с амплитудой
и
интенсивностью
t   x   i1    x 
(6.14)
I  x   t  x   1  2  x 
(6.15)
2
Из (6.15) следует, что контраст отфильтрованного изображения по интенсивности линейно связан с
фазовым контрастом   x . Теневые приборы с ножом Фуко или фазовым ножом этим свойством
не обладают. Контраст интенсивности можно дополнительно повысить в  раз, если компоненту
света на нулевой пространственной частоте ослабить в  раз.
Амплитуда волнового поля на выходе такого фильтра равна
T , u   
а интенсивность имеет вид
I ,  x  
1

i u 

2
  x  
Свойство линейности по фазе не нарушается, если
 iF   x 
1

2
(6.16)
1  2  x 

m
a
x
(6.17)
1
В реальных оптических системах фильтрация осложняется из-за дифракции света. В области нулевой
пространственной частоты возникает дифракционная картина в виде пятна конечных размеров. Чтобы
полностью захватить дифракционную картину в области нулевой пространственной частоты, диаметр
диска фильтра Цернике должен быть больше диаметра центрального пятна дифракции. Одновременно
он должен быть меньше той области, в которой сосредоточен спектр пространственных частот
исследуемого объекта. Поэтому изображения без искажения получаются только для тех объектов,
которые характеризуются высокими пространственными частотами и малой долей низких
пространственных частот. Если объект содержит интенсивные низкие пространственные частоты, то
лучи света при дифракции отклоняются на малые углы, попадают на диск одновременно с
неотклоненным пучком и не получают требуемого сдвига по фазе на 90 относительно неотклоненных
лучей света. Так как объекты, наблюдаемые в фазовый микроскоп, всегда содержат низкие
пространственные частоты, то в картине отфильтрованного изображения наблюдаются "гало" вокруг
объекта, а также другие ложные структуры, не существующие в реальном объекте.
•6.2.2. Нож Фуко
O
uy
ux
S
I
L1
G
L2
Рис.6.2. Визуализация фазовых
неоднородностей с помощью ножа
Фуко: S – точечный источник
монохроматического света ; L1 и L2 линзы
прямого и обратного
преобразования Фурье;
O - объект ; G - нож Фуко ; I - экран
наблюдения
Амплитудный коэффициент пропускания ножа Фуко определяется функцией Хевисайда. Выразим
функцию Хевисайда через знаковую функцию
Y u  
1
1  sgnu 
2
Тогда отфильтрованный фурье-образ объекта
T0 u  
t  x  равен
1
T u 1  sgnu 
2
(6.18)
а амплитуда отфильтрованного изображения описывается выражением

1 
 1








t0 x  
T
u
exp
iu
x
dx

T
u
sgn
u
exp
iu
x
du


  t  x   i  x 
4 

 2
  x   H t  x 
(6.19)
(6.20)
Распределение интенсивности изображения, отфильтрованного при помощи ножа Фуко, имеет вид
I 0 x  
1
4
t x 
2
 x  2 

и не содержит интерференционных слагаемых в силу ортогональности функций
(6.21)
t x 
и
i  x 
.
Выражение (6.21) справедливо как при малых, так и при больших вариациях фазы по объекту.
Так как всегда
t x 
2
 expi  x 
I 0 x  

2
1
(6.22)

(6.23)
1
2
1   x 
4
и картина визуализации фаз имеет невысокий контраст.
6.2.3. Фазовый нож
Фазовый нож располагается в плоскости пространственных частот так, что кромка ступеньки,
создающей сдвиг фазы на   180  проходит через точку u x  u y  0 и ориентирована вертикально.
Амплитудный коэффициент пропускания фазового ножа определяется выражением
  
G u   isgnu  exp  i
 sgnu
 2 
Амплитуда волнового поля непосредственно за фазовым ножом для фазового объекта
T0 u   isgn u T u 
(6.24)
t  x  равна
(6.25)
O
G
S
I
L1
  
L2
Рис. 6.3. Визуализация фазовых
неоднородностей при помощи
фазового ножа.S - точечный
источник монохроматического
света; L1 и L2 - линзы прямого и
обратного преобразования
Фурье; O - объект; G - нож Фуко в
виде ступеньки, создающий
скачок по фазе на 180;
I – экран наблюдения.
Амплитуда в плоскости изображения описывается гильберт-образом функции t x .
Действительно,
1
t0  x  
2

 isgnT  expi x d  H t x     x 
(6.26)

а распределение интенсивности в отфильтрованном изображении, полученном при помощи фазового
ножа, равно квадрату гильберт-образа функции f  x :
I 0  x   t0  x 
2
  x 
2
(6.27)
В отличие от ножа Фуко здесь нет постоянного фона засветки, а, следовательно, картина визуализации
фаз имеет более высокий контраст.
6.2.4. Визуализация фаз при дефокусировке
При дефокусировке фазовый контраст возникает благодаря тому, что обратное преобразование Фурье
в этом случае выполняется не полностью. Чтобы определить свойства этого метода визуализации
фазовых объектов, найдем распределение комплексных амплитуд t1  x света в плоскости изображения
I, которая находится за линзой L1 на расстоянии
.
lF
L0
O
L1
F
F
l
Рис.6.4 Визуализация фазовых неоднородностей при дефокусировке
Если
а
b 
F


1 l
F
4
(6.28)
T u  - фурье-образ фазового объекта t  x  , то
1
t1  x  
2

2

du




T
u
exp
iux
exp
ibu


(6.29)
Если
где
b
настолько мало, что можно приближенно
положить


exp ibu 2   1  ibu 2 , b 2 1
(6.30)
 - максимальная пространственная частота, содержащаяся в спектре функции t x , то
1
t1 x  
2



ib
 T u  expiux 1  ibu du  t x  
2

2
Из свойств преобразования Фурье известно, что

2


T
u
u
exp iux du


d 2t  x 
 T u u exp iux du   dx 2


(6.31)
2
(6.32)
Таким образом, амплитуда дефокусированного изображения равна
d 2t x 
t1  x   t  x   ib
dx 2
Так как для фазового объекта
t  x   exp i  x 
2

d 2t  x 
 d 2 x   d x  






exp
i

x
i



2


dx2
dx
dx


 


и
2

d 2  x 


 d  x  
t1  x   t  x 1  b

ib

2


dx
dx






(6.33)
(6.34)
(6.35)
(6.36)
Интенсивность расфокусированного изображения объекта равна
d 2  x 
I1  x   t1  x   1  2b
(6.37)
dx 2
Выражение (4.52) показывает, что при небольшой дефокусировке происходит визуализация второй
производной фазовой функции   x . Величина и знак контраста определяются коэффициентом b .
2
6.2.4. Метод дефокусировки для "слабофазовых объектов"
Для слабофазового объекта коэффициент пропускания
t  x   exp i  x   1  i  x 
(6.38)
Распределение комплексных амплитуд в частотной плоскости элементарной оптической системы
T u    u   i u 
(6.39)
где u - фурье-образ функции   x  . Расфокусировка и наличие сферических аберраций третьего
и пятого порядков эквивалентны умножению функции T u на функцию H u  :



 

H u   exp ik  u 2  u 4  u 6 



 
u 
T
Распределение комплексных амплитуд
в частотной
системы
плоскости
(6.40)
оптической
   2  4  6 

T u    u   iu exp i  u  u  u    u   iu expiW u 

 
 
где
(6.41)
W u  - функция аберраций оптической системы. Из (6.41) следует, что
T u    u   u sin W u   iu cos W u 
(6.42)
Поскольку вклад в интенсивность изображения членов, содержащих ,
пренебречь в (4.42) членом iu cosW u . Тогда
 2 x  мал, то можно
T u    u   u  sin W u 
(6.43)
Для неоднородностей, где sin W u   1, в плоскости изображения получаем идеальный контраст
Цернике, т.е. интенсивность I  x  в плоскости изображения равна
I  x  1  2  x
Дефокусировка на величину  соответствует в плоскости частот умножению на функцию
exp i  u 2 . На рис. 6.5 показан график функции sin(  u 2 ) (кривая 1).

(6.44)

1
0.5
3
0
0.5
1
u
1
2
Рис. 6.5. Вид частотной характеристики метода дефокусировки для   0,  ,    0 (кривая 1);
для  ,    0,   0 (кривая 2); для  ,  ,    0
(кривая 3).
Можно подобрать для заданного  (а, следовательно, и для величины дефокусировки  и
наибольшего визуализируемого периода l0 ) такие значения  и  , которые обеспечивают значения
2
4
6 ,близкое к 
2 с заданной величиной максимального отклонения.
W u   u   u  u

С высоким контрастом и без искажений в этом случае визуализируются неоднородности,
соответствующие пространственным частотам u , для которых справедливо соотношение

  u 2  n , где n - целые нечетные числа, т.е. визуализируются неоднородности
2
12
с пространственным периодом l  1
или
 2   При n  1
u
получаем максимальный период l0  2  
l 

12
n 
, что соответствует дефокусировке
•6.3. Моделирование процессов формирования изображений в электронном микроскопе
Подробно процесс формирования изображений в электронной микроскопии рассмотрен в работах.
Мы же остановимся на наиболее важных аспектах этого процесса. В электронном микроскопе можно
наблюдать и регистрировать как изображение, так и дифракционную картину, что важно для изучения
многих материалов. Это наводит нас на мысль о методе физической оптики как наиболее полезном
подходе к образованию изображения. Мы будем также использовать малоугловое приближение
потому, что оно отличается простотой и ясностью и применимо почти для всех условий эксперимента.
Пусть объект имеет функцию прохождения t (x, y) . Поскольку падающий пучок можно
аппроксимировать плоской волной с единичной амплитудой, то волна, покидающая объект, будет
иметь амплитуду t (x, y) . Тогда в задней фокальной плоскости объектива микроскопа распределение
комплексной амплитуды будет пропорционально фурье-образу T (u1, u2) функции прохождения. Здесь,
как принято в большинстве работ по электронной микроскопии,
u1,  x f u 2  y f
- пространственные частоты, измеряемые в периодах на единицу длины; f - фокусное расстояние
объектива. Амплитуда волны в плоскости изображения определяется как t( -x/M, -y/M) , где
М - это увеличение. Часто для удобства пренебрегают множителем М и, относя изображение обратно
к плоскости предмета, предполагают, что амплитуда изображения, даваемая идеальной линзой, будет
равна t (x, y) , а интенсивность I  x, y   t  x, y  2
Влияние ограничений, накладываемых апертурой и аберрациями линзы, представляется изменениями
амплитуды и фазы волны в задней фокальной плоскости; эти изменения можно описать как результат
умножения на функцию оптического переноса. Влияние введения апертуры объективной линзы
представляется умножением T (u1, u2) на функцию апертуры A (u1, u2) , которая равна единице для
2
2
2
u  u  u  , где u - радиус диафрагмы в частотной области. Тогда на изображение

1
2

0
0




J 1 u 0 r r , где J 1 u 0 r
влияет свертка амплитуды изображения с функцией
- функция Бесселя первого рода первого порядка, r  x 2  y 2 , (x, y) - декартовы координаты в
плоскости изображения
Дефокусировка линзы на величину  представляется умножением T u1 , u 2 


на фазовый множитель
exp[ i u1  u2 ] . Влияние сферической аберрации линзы можно моделировать, вводя фазовое
изменение в задней фокальной плоскости такое, что T u1 , u 2  умножается на exp[  i 2  C 3 u 2  u 2 2 ]
S
1
2
F
2
2


C S - коэффициент сферической аберрации объективной линзы. Таким образом, вводя эти
где
важные ограничения процесса образования изображения, получаем распределение амплитуд и фаз
электронной волны в задней фокальной плоскости объективной линзы в виде
T u1 , u 2  Au1 , u 2  exp i 
   u1 2  u 2 2  

1
2
2
C S 2 u1  u 2
2
(6.45)

2
(6.46)
Распределение комплексной амплитуды электронной волны в плоскости изображения имеет вид
J 1 u 0 r 
P  x, y   t  x, y  
 F expi 
r
где F - оператор преобразования Фурье.
(6.47)
При малых дефокусировках распределение интенсивности I( x, y) в плоскости наблюдения имеет вид
[8]

 2   x, y 
(6.48)
2
Используя уравнение Пуассона  2 x, y     x, y  ,где   x, y  -распределение зарядов
I  x, y   1 
в образце, получаем [6]
I  x, y   1 

  x, y 
2
(6.49)
Это приближение спроектированной зарядовой плотности. Оно имеет значительную область
применения, но непригодно для высоких пространственных частот, когда член сферической аберрации
преобладает над фазовым множителем.
В случае так называемых слабофазовых объектов, для которых   x, y   1 [6,8,9],
распределение интенсивности в плоскости наблюдения в области оптимальных дефокусировок
соответствует идеальному контрасту Цернике
I  x, y   1  2  x, y 
Оптимальные дефокусировки
 opt находятся из условий [6,9]
d u 
 0,
dk
и равны
(6.50)
0.7  sin  u   1
 opt = 2n  0.5Cs
(6.51)
(6.52)
где n=1, 2, 3, … Дефокусировка при n=1 называется дефокусировкой Шерцера [6,9]. При
шерцеровской дефокусировке размер апертурной диафрагмы находится из равенства [9]
 6 

u0  
3 
 Cs  
1
4
(6.53)
Простой метод учета в передаточной функции микроскопа хроматической аберрации состоит в
умножении этой функции на функцию затухания


 1
2
2 2
exp   2 2 2 u1  u 2 
 2

(6.54)
где   CC  f  f , f - фокусное расстояние объективной линзы, C C - постоянная хроматической
аберрации,  f  - стандартное отклонение флуктуаций фокусного расстояния [8].
Таким образом, передаточную функцию микроскопа H (u1, u2) , учитывающую действие апертурной
диафрагмы, дефокусировки и сферической аберрации, хроматической аберрации, можно записать в
виде
(6.55)






i

2
2
2
2 2 1 2 2 2
2
2 2
3
H u1 , u2   Au1 , u2  exp i u1  u2  CS  u1  u2     u1  u2 
2
2


При моделировании работы электронного микроскопа пользователь программы задает: ускоряющее
напряжение микроскопа, либо длину электронной волны, коэффициенты сферической и
хроматической аберрации объективной линзы, значение дефокусировки, размер апертурной
диафрагмы). В программе по умолчанию расстояние дефокусировки и размер апертурной диафрагмы
соответствуют условиям Шерцера для электронного микроскопа JEM-100B. На экране монитора
отображается действительная и мнимая части частотной характеристики, по виду которой
пользователь может произвести корректировку параметров оптической системы наблюдения. Для
расчета результирующего изображения фурье-образ функции пропускания образца умножается на
частотную характеристику микроскопа, а затем от полученного таким образом распределения
комплексных амплитуд осуществляется обратное преобразование. Квадрат модуля этого
преобразования дает распределение яркости в смоделированном изображении.