Урок геометрии в 7 классе Параллельные прямые
реклама
Урок геометрии в 7 классе Параллельные прямые Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей c а 1 b 4 3 5 6 8 7 2 4 и 6 – накрест лежащие углы 5 и 3 4 и 5 –односторонние углы 3 и 6 1 и 5 – соответственные углы 2 и 6 4 и 8 3 и 7 Признаки параллельности прямых Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то …. прямые параллельны. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то … прямые параллельны. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то… прямые параллельны. Докажите, что прямые а и b параллельны a b 2 m 1 3 n Дано: 1=2=3 Доказать: а || b, m || n Доказательство: Так как 1=2 и они являются соответственными при прямых m и n и секущей а, то m || n (по признаку параллельности прямых). Так как 2=3 и они являются накрест лежащими при прямых а, b и секущей m, то а || b (по признаку параллельности прямых). Ч.т.д. Дано: 1=2; 3 = 4. Какие из прямых с, d, е параллельны? е d с 1 2 b 3 4 Ответ: е || d а Задание 1. 2. 3. Начертите прямую а; Поставьте точку О, не лежащую на прямой а; Проведите прямую, проходящую через точку О, параллельную прямой а. Сколько ещё можно провести таких прямых? Евклид (III век до н.э.) Аксиомы Аксиома – утверждение, не требующее доказательства. Аксиома – происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный» Аксиомы в науке часто еще называют "постулатами". Примеры аксиом Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один. От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один. Смотри страницу 344 учебника геометрии. Автор: Л.С. Атанасян Пятый постулат Евклида Аксиома параллельных прямых Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Следствия из аксиом Это утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем и требуют доказательства. Следствия из теоремы о биссектрисе равнобедренного треугольника Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. СЛЕДСТВИЯ Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой. Аксиома: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Следствие: Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Дано: а || b, с ∩ а = О Доказать: с ∩ b Доказательство от противного Геометрия учит доказывать, а речь человека убедительна только тогда, когда он доказывает свои выводы. В своих рассуждениях люди часто используют способ доказательства, который называется доказательство от противного (противоположного). Приведём примеры таких доказательств. Пример доказательства из жизни Врач после осмотра больного ребенка доказывает родителям, почему у него не аппендицит. Врач: «Если бы у ребенка был аппендицит, то живот болел бы с правой стороны, но у ребенка болит не с правой стороны. Значит, у ребенка не аппендицит». В чем заключается сущность способа доказательства от противного? Надо Сделать предположение, противоположное тому, что требуется доказать, сформулировав отрицание утверждения, которое требует доказательства. Как это сделать? Надо Предположить, что то, что требуется доказать, неверно. Для этого можно использовать частицу «не» или соответствующие ей выражения: «неверно, что…», «нельзя» Например 1. Доказать, что точка А принадлежит отрезку СD. Доказательство: Допустим, точка А не принадлежит отрезку СD. И так далее… 2. Доказать, что прямые а и b пересекаются. Доказательство: Допустим, прямые а и b не пересекаются. Значит, они параллельны. Сформулируйте начало доказательства от противного 1. Доказать, что угол А тупой. Доказательство: не тупой. Допустим, угол А … прямой, либо острый… Значит, он… 2. Доказать: число а меньше нуля. Доказательство:Допустим, число а не меньше нуля. Следовательно, а=0 либо a>0… Следствие 1 из аксиомы параллельных прямых: Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Дано: а || b, с ∩ а = О Доказать: с ∩ b Доказательство: Допустим, с ∩ b, значит, с || b. Так как с проходит через О и а проходит через О, то через точку О проходят две прямые, || - е b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых, значит, с ∩ b . Ч.т.д. Следствие 2 Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. а Дано: а || с и b || с Доказать: а || b Доказательство: Самостоятельно с b Доказательство от противного 1. Делается предположение, противное (противоположное) тому, что требуется доказать; 2. Выясняется, что следует из сделанного предположения на основании известных теорем, аксиом, определений и условия задачи; 3. Устанавливается противоречие между тем, что утверждается в одном предложении, и его отрицанием в другом; 4. Делается вывод: предположение неверно, а верно то, что требовалось доказать. Клише Допустим, что … Из предположения следует … На основании … заключаем, что… Это противоречит … Значит … Итак, При доказательстве следствий из аксиом мы использовали способ рассуждений, который называется…. доказательство от противного Повторим аксиому параллельных прямых Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Задача №196 Устно. Дан треугольник АВС. Сколько параллельных прямых можно провести к АВ через точку С? В А Ответ: одну, по аксиоме параллельных прямых С Задача № 197. Через точку, не лежащую на прямой р проведено четыре прямых. Сколько этих прямых может пересекать данную прямую? 4 р 2 3 р 1 Ответ: три или четыре. а) все четыре прямые пересекают прямую р; б) одна из четырех прямых параллельна р, а три другие пересекают ее. Цель урока: Ознакомить учащихся с аксиомой параллельных прямых и следствиями из неё; со способом доказательства от противного. Итог урока Что нового сегодня узнали? Чему научились? Что поняли? Что будете делать дома по этой теме? Н. И. Лобачевский Тест 1. Из слов в скобках выберите такие, чтобы определение было верным Аксиома – это (очевидные, принятые, исходные) положения геометрии, не требующие (объяснений, доказательства, обоснований) Тест 2. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит… а) только одна прямая, параллельная данной; б) всегда проходит прямая, параллельная данной; в) только одна прямая, не пересекающаяся с данной Тест 3. Что может быть следствием аксиомы или теоремы? а) утверждение, не требующее доказательства; б) новая теорема, для доказательства которой использована аксиома или теорема; в) утверждение, непосредственно выводимое из аксиомы или теоремы. Тест 4. Что не является следствием аксиомы параллельных прямых а) если отрезок или луч пересекает одну из параллельных прямых, то он пересекает и другую; б) если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу; в) если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. Тест 5. Укажите правильный ответ на вопрос Если через точку, лежащую вне прямой, проведено несколько прямых, то сколько из них пересекаются с данной прямой? а) неизвестно, так как не сказано, сколько прямых проведено через точку; б) все, кроме параллельной прямой; в) все, которые имеют на рисунке точку пересечения с данной прямой. Проверка теста 1. исходные, доказательства; 2. а) 3. в) 4. а) 5. б)
