Свойства равнобедренного треугольника Урок 16. Теоретический опрос • Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной прямой. • Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре, проведённом из данной точки к данной прямой. • Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник? • Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник? • Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник? Решение задач Дано: ВЕ – медиана АЕ = 5 см, ВС = 7 см, АВС . ______АС ^ BF_____________ Найти: РАВС Решение задач Дано: ВD – высота и медиана АВС . BCD = 40o30' Найти: BАD. Практическое задание • Начертите отрезок, являющийся общей высотой для всех треугольников, изображённых на рисунке. Определение Треугольник, две стороны которого равны, называется равнобедренным. Равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием равнобедренного треугольника АВС – равнобедренный: АВ =ВС – боковые стороны равнобедренного АВС, АС – основание равнобедренного АВС, А, С – углы при основании равнобедренного АВС, В – угол при вершине равнобедренного АВС. Определение Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним. АВС равносторонний, АВ = ВС = АС Теорема о свойстве углов при основании равнобедренного треугольника В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Теорема о свойстве углов при основании равнобедренного треугольника Дано: АВС АВ = ВС Доказать: А = С Доказательство: Проведем биссектрису из вершины В к основанию АС Далее самостоятельно Доказательство: Проведем BD – биссектрису АВС. ABD = CBD (АВ = ВС по условию, ВD – общая сторона, 1 = 2, т.к. ВD –биссектриса) А = С. Ч.т.д. Биссектриса треугольника делит угол пополам. Но а равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, обладает ещё одним очень важным свойством. В чём заключается это свойство? Каждая ли биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой и биссектрисой? Является ли высота равнобедренного треугольника его биссектрисой и медианой? Если да, то какая из трёх? Свойство биссектрисы В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. Свойство высоты В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой. Свойство медианы В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой. Решение задач № 109. Дано: АВС – равнобедренный, ВС – основание. АМ – медиана. РАВС = 32 см. РАВМ = 24 см. Найдите: АМ. Решение. АВС – равнобедренный, ВС – основание АВ = АС; АМ – медиана ВМ = МС. РАВС = АВ + АС + ВС = = 2АВ + (ВМ + МС) = = 2 АВ + 2ВМ = 2(АВ + ВМ)=32 см АВ + ВМ = 16 (см). РАВМ = АВ + ВМ +АМ = = 16 см + АМ = 24 см АМ = 8 см. Ответ: АМ = 8 см. № 113 Дано: b – прямая; М, Р по одну сторону от b; MN ^ b PQ^ b; MN = PQ; О – середина NQ. МОР = 105о. а) доказать: ОМР = ОРМ. б) найти: NОМ. тестирование 1. Медиана в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой и высотой. Это утверждение: а) всегда верно; б) может быть верно; в) всегда неверно. тестирование 2. Если треугольник равносторонний, то: а) он равнобедренный; б) все его углы равны; в) любая его высота является биссектрисой и медианой. тестирование 3. В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника? а) в любом; б) в равнобедренном; в) в равностороннем. тестирование 4. Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение: а) всегда верно; б) может быть верно; в) всегда неверно. тестирование 5. Если треугольник равнобедренный, то: а) он равносторонний; б) любая его медиана является биссектрисой и высотой; в) ответы а и б неверны. тестирование 6. В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника? а) в любом; б) в равнобедренном; в) в равностороннем. Д.з. п. 18 № 108, 110, 112 Индивидуальные задания.