Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Г.В. Аверкова Курс «Высшая математика» Тема 10 «Прямая в пространстве» Переход от общих уравнений прямой к каноническому виду, векторное и параметрические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Угол между двумя прямыми, условие параллельности и перпендикулярности. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве: нахождение точки пересечения прямой и плоскости, условия параллельности и перпендикулярности. Цели и задачи Цели: – Рассмотреть основные понятия по теме «Прямая в пространстве» Задачи: – Рассмотреть различные способы задания прямой в пространстве – Рассмотреть взаимное расположение двух прямых в пространстве – Исследовать взаимное расположение прямой и плоскости 2 Теоретический материал 1) Общее уравнение прямой Прямая линия в пространстве определяется как линия пересечения двух плоскостей A x B y C z D 0, A x B y C z D 0, 1 1 2 2 n A , B , C , n A , B , C 1 1 1 1 2 2 2 2 нормальные векторы плоскостей 3 1 2 1 2 s m, n Теоретический материал 2) Канонические уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору xx yy zz m n p 0 s m, n, p s n n , 1 2 0 - направляющий вектор прямой m B C 1 1 B C 2 4 0 2 , n A C 1 1 A C 2 2 , p A B 1 1 A B 2 2 Теоретический материал 3) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M (x , y , z ) M ( x , y , z ), 1 1 1 2 1 2 2 2 xx yy zz x x y y z z 1 2 1 1 2 1 1 2 1 4) Параметрические уравнения прямой x x mt, y y nt, z z pt. 0 0 0 5 Теоретический материал Параметрические уравнения прямой в векторной форме r r st 0 r r 6 - радиус-вектор точки M ( x, y, z ) - радиус-вектор точки M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) Теоретический материал Взаимное расположение прямой и плоскости xx y y zz , m n p 0 0 Ax By Cz D 0 0 Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость sin(, l ) cos(n , s ) 7 ns n s Am Bn Cp A2 B 2 C 2 m 2 n 2 p 2 Теоретический материал 8 Теоретический материал В пространстве возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости • Прямая и плоскость пересекаются Am Bn Cp 0 Координаты точки пересечения находятся по формулам x x0 mt, z z 0 pt y y0 nt, . подстановкой значения параметра t 9 Ax By Cz D Am Bn Cp 0 0 0 Теоретический материал Условие перпендикулярности прямой и плоскости l s n A B C m n p • Прямая и плоскость параллельны Am Bn Cp 0, l Ax By Cz D 0 0 0 0 • Прямая принадлежит плоскости Am Bn Cp 0, l Ax By Cz D 0 0 10 0 0 Теоретический материал Взаимное расположение двух прямых xx y y zz , m n p 1 1 1 1 1 1 xx yy zz m n p 2 2 2 2 2 2 Углом между двумя прямыми в пространстве называется любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку пространства параллельно данным cos(l , l ) cos(s , s ) 1 2 1 2 s s mm nn p p s s m n p m n p 1 1 11 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 Теоретический материал В пространстве возможны четыре случая взаимного расположения двух прямых • Прямые параллельны l1 l 2 s1 s 2 , M (x , y , z ) l , 1 1 1 1 2 . • Прямые совпадают s1 s 2 M 1 M 2 12 M (x , y , z ) l 2 2 2 2 1 Теоретический материал • Прямые пересекаются • Прямые являются скрещивающимися Две непараллельные прямые пересекаются при выполнении условия M 1 M 2 ( s1 s 2 ) 0 или x x y y z z 2 1 m 1 m 2 2 1 n 1 n 2 2 p 1 p 1 0 2 В противном случае прямые являются скрещивающимися 13 Теоретический материал Условие перпендикулярности двух прямых l l s s m m n n p p 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Расстояние от точки до прямой d d (M , l ) 14 sM M 0 s Ключевые понятия Прямая Нормальный вектор Направляющий вектор Расстояние от точки до прямой Угол между двумя прямыми Параллельность и перпендикулярность 15 Контрольные вопросы Общее уравнение прямой Уравнение прямой по двум точкам Канонические уравнения прямой Параметрические уравнения прямой Угол между прямой и плоскостью Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Угол между двумя прямыми Взаимное расположение двух прямых в пространстве Расстояние от точки до прямой 16 Дополнительная литература 17