Перпендикуляр и наклонные к плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.

Перпендикуляр и
наклонные к плоскости.
Теорема о трех
перпендикулярах.
Открытый урок по дисциплине «Математика»
Специальность 190701 «Организация перевозок и
управление на транспорте»,
1 курс
Преподаватель Шкандратова Н.А.
Цель:



Усвоить понятия «перпендикуляр, наклонная и
её проекция на плоскость»; доказать теорему
о трех перпендикулярах, использовать ее при
решении задач.
Развивать логическое и пространственное
мышление (умение анализировать, сравнивать,
доказывать, делать выводы).
Воспитывать уважительное отношение к
мнению окружающих, ответственность и
доброжелательность.
Дано: Правильный параллелепипед. Укажите на рисунке
возможные случаи расположения :
1. Прямых в пространстве;
2. Прямой и плоскости в пространстве;
3. Укажите прямые, перпендикулярные
плоскости АА1В1В.
4. Укажите плоскости,
перпендикулярные ребру ВС.
5. АВСД – плоскость проекций. Укажите
ортогональную проекцию точек
А1,С1, отрезков А1С1, Д1С1 на эту
плоскость;
6. ДД1С1С – плоскость проекций.
Укажите ортогональную проекцию
точек В, А1,С1, отрезков АВ, А1В1,
А1С1 на эту плоскость.
Тест
Вопрос
ответ
1
Параллельной проекцией 3-х точек
могут быть
1)Одна точка;
2)Две точки;
3) Три точки
2
Параллельной проекцией двух
параллельных прямых могут быть
1) Две параллельные прямые;
2) Одна прямая;
3) Две скрещивающиеся
прямые;
4) Две точки
3
4
5
Величина угла между прямыми
заключена в границах
1) 00≤α≤1800
2) 0°≤α≤ 360°
3)0°≤α≤ 90°
Если прямая а , а β. Как
расположены плоскости α и β ?
1) α β
2) α II β
3) Пересекаются под
произвольным углом
Если прямая а II в, а , то как
расположены прямая в и плоскость
?
1) в  α
2) в II α
3) Пересекаются под
произвольным углом
Верный
ответ
1,2,3
1,2,4
3
2
1
Перпендикуляр и наклонные к плоскости
АН –
АМ –
MH –
Точка М α
Точка Н -
Опр. Расстоянием от точки до плоскости называется…
Свойства перпендикуляра и наклонных
АВ2 =
1. АВ
АО
 АВ
АС
АВ
АС
2. ОВ=ОС
3. ОВ>ОС
α
На предметах классной обстановки пояснить, как
найти:
• Расстояние между параллельными плоскостями.
• Расстояние между прямой и параллельной ей
плоскостью.
• Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Расстоянием между параллельными плоскостями
называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных
плоскостей до другой плоскости
А
С
α
α||β
AB=CD
β
В
D
Расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью
называется расстояние от произвольной точки прямой
до плоскости.
А
аа
В
a||α
α
С
D
Расстоянием между скрещивающимися прямыми
называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и
плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно
первой.
А
a
a||β
aиb
скрещивающиеся
b
β
АВ ┴ β
В
Задача: Отрезок АВ перпендикулярен плоскости α. На
плоскости проведена прямая m. Указать расстояние от концов
перпендикуляра АВ до прямой m.
А
В
m
Теорема о трех перпендикулярах
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной
перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и к самой
наклонной
Дано:

АС  ; С  
А
АВ - наклонная
ВС - проекция
a
a  ВС

Доказать:
a  АВ
С
В
a
Доказательство:
А
1. Проведем плоскость AВС.
2. АС  , a    a  АС
a  ВС – по условию

С
В
a
3. АС  AВС
ВС  АВС;  a  АВС
АС∩ ВС
4. АВ  АВС
a  АВС
 a  АВ
Применение полученных
знаний при решении
задач
Установить взаимное положение прямых а и в по готовым
чертежам
Задача1. ABCD –
квадрат
E
BE  ABCD
a
b
B
C
A
07.05.2016
D
15
Установить взаимное положение прямых а и в по готовым
чертежам
Задача2. ABCD –
квадрат
BE ┴ ABCD
E
a
b
B
C
A
07.05.2016
D
16
Установить взаимное положение прямых а и в по готовым
чертежам
Задача 3. ABCD – ромб
BE  ABCD
E
a
B
A
O
D
07.05.2016
17
C
b
Задача № 4
Д
Дано:  А =30, АВС= 60.
ВД (АВС)
Доказать: СД  АС.
Доказательство
В
60˚
А
30
˚
С
Задача №5 . Отрезок АD перпендикулярен к плоскости треугольника АВС.
Известно, что АВ = АС = 5см, ВС = 6см, АД = 12 см. Найдите расстояние от
концов отрезка АВ до прямой ВС.
Решение
D
С
А
В
Задача 6 . Через вершину D прямоугольника ABCD проведена прямая
DК,перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что АК =
6см, ВК = 9см, СК = 7см. Найдите расстояние от точки К до плоскости
прямоугольника.
Решение
Решить самостоятельно
Вариант №1
Дано: ΔАВС,
D  А = 90
 В = 30,
ВС =16 см,
6см
DC = 6 cм.
А
С
Найти
16см
расстояние от
В
точки D до
Решение:
катета АВ.
•
Вариант№2
К
4см
С
6см
В
Решение:
Дано: ΔАВС,
 В = 90,
 А = 30
АС =6 см,
А C = 4 cм.
Найти
расстояние от
точки К до
катета АВ.
Задача (дополнительно). Катеты прямоугольного треугольника равны
18см и 32 см. Из точки D, делящей гипотенузу пополам, проведен к
плоскости треугольника перпендикуляр DЕ = 12см. Найти расстояние от
точки Е до каждого катета.
Е
Дано:
Найти:
Решение
Ответ:
Домашняя работа
Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11. § 2 , стр 43-44
Задача.
Катеты прямоугольного треугольника равны15см и 20см. Из вершины
прямого С проведен отрезок СD, перпендикулярный плоскости этого
треугольника; CD = 35см. Найти расстояние от его концов до большей
стороны.