Решение проблемы А. К. Циха

Решение проблемы А. К. Циха
о сумме внутренних телесных углов при
вершинах
выпуклого многогранника в трёхмерном
пространстве с применением в
вариационных задачах
Автор: Смирнов Михаил 11 класс
Научный руководитель:
Секацкая Е. Г., учитель математики и
информатики шк.№21
Научный консультант:
Степаненко В. А., доцент кафедры
высшей математики СФУ
Вычислить сумму внутренних (телесных) углов при вершинах
произвольной треугольной пирамиды («малая проблема Циха»),
а далее – и произвольного выпуклого многогранника в трехмерном
пространстве («большая проблема Циха»).
В данной работе мы предлагаем вам решение этих проблем.
Цель научной работы: вычислить сумму телесных углов при
вершинах выпуклого многогранника в трёхмерном пространстве.
Применить полученные формулы при решении некой экстремальной
задачи.
Определение :
Телесный угол- часть пространства, ограниченная некоторой
конической поверхностью, в частности трехгранный и многогранный
углы ограничены соответственно тремя и многими плоскими
гранями, сходящимися в вершине телесного угла.
Определение : Мерой многогранного угла называется
площадь, ограниченная сферическим многоугольником,
полученным пересечением граней многогранного угла
сферой с радиусом, равным единице и с центром – в вершине
многогранного угла.
Определение : Стерадиан – единица измерения телесного
угла.Стерадиан - телесный угол, вырезающий на сфере,
описанной вокруг вершины угла, поверхность, площадь
которой равна квадрату радиуса сферы. Полная сфера
образует телесный угол, равный 4
Идея решения. Отличие от подхода Циха
Цих советовал решать задачу геометрически, рассматривая разнотипные фигуры на сфере (три остроугольных и
три- трапециоподобных фигуры), не рассматривая диаметрально противоположную ситуацию
Мы же рассматриваем три однотипные тупоугольные фигуры- внешние углы к
сферическому треугольнику- “ломтики”, и рассматриванием диаметрально
противоположную ситуацию(на другом полюсе).
Лемма о площади “ломтика”. Следствие
Угол COD есть величина двугранного угла «ломтика» сферы ACBDA,
и он равен углу между касательными прямыми
к “меридианам” ABC и ADB в их общей точке A.
Он соответствует сферическому углуCAD, обозначает sCAD или sA.
Найдем площадь «ломтика» ACBDA.- внешнего сферического угла треугольника на
сфере.
2R
Лемма 1: SABCDA=
2
Доказательство:
Пусть COD= рад, тогда из простой
пропорции
2

- 4
получаем
SABCDA=
2R 2
- ?
Что и требовалось доказать.
Следствие:
В случае единичной сферы (R=1) : SABCDA =2 
Лемма 2:
Величина трехгранного телесного угла
OABC вычисляется по формуле
OABC= S = 2-(++)
 ,  ,
- внешние сферические углы к внешнему сферическому треугольнику ABC.
S
Напомним, что площадь ABC измеряет в стерадианах величину искомого трехгранного угла
Доказательство:
Обозначим “ломтики” l1 , l 2 , l3 . Как отмечалось выше, вся сфера состоит из трех ломтиков
l1 , l 2 , l3 . и двух равных сферических треугольников.
Поэтому
Sl1  Sl 2  Sl3  2S   Sсф
(2+2+2)+2S =4.
Поделим на2 .
+++S  =2, где S  -мера трехгранного угла, тогда
OABC=S  =2-(++)=2---
Что и требовалось доказать
Лемма о вычислении четырехгранного телесного угла
Лемма 3:
OABCD = S4-ка =2-(1+2+3+4)
Доказательство:
Sl1  Sl2  Sl3  Sl4  2 S 4 ник  S сф
(21+22+23+24)+2S4-ка= 4.
Поделим обе части равенства на 2.
1+2+3+4+S4-ка=2, где S4-ка-мера четырехгранного угла, то
OABCD = S4-ка =2-(1+2+3+4)=2-1-2-3-4, где n – внешние углы.
Итак,
OABCD = S4-ка =2-(1+2+3+4)
OABC= S =2-(++).
OABCD = S4-ка =2-(1+2+3+4)
Гипотеза – индуктивное предположение для n- гранного угла.
Лемма 4:
OABCD= Sn=2-(1+2+…+n),
n
OA1A2...An=S n
 2    i
i 1
Решение «Малой проблемы Циха»
Выражение телесных углов через внешние
перпендикуляры граней
n-гранный (телесный) угол измеряется с
помощью двугранных, образованных его
гранями, а измерение двугранных углов мы
сводим к углам между внешними
перпендикулярами к его граням.
Посмотрим вдоль (навстречу) оси OA , мы
увидим ситуацию, изображенную на рисунке.
Очевидно, что двугранный 
  

  

равен углу между векторами OC A и OA B
- внешними перпендикулярами к соответственным
граням OAB и OCA ,
как углы с соответственно
перпендикулярными
сторонами
( и оба одновременно
тупые или острые).
A=A1,B=A3,C=A2,
По лучу OA1 пересекается
OA1 A2 , OA3 A1 ,(т.е. OA1 A2  OA3 A1  OA1 )
Рассмотрим в точке A1 их внешние перпендикуляры
  
OA1 A2


  
Аналогично, в точке A2(=С):
и OA3 A1
Косинус угла между ними определяется по формуле
  
 OA A
1 2

cos  1  
  


  
, OA3 A1

  
OA1 A2
.





  
.
OA1 A2
 
 OA A
1 2

 2  arccos 
 

 

, OA2 A3

 
OA1 A2





OA2 A3
OA3 A1
а сам внешний угол при вершине A1:
  
 OA A
1 2

 1  arccos 
OA2  OA1 A2  OA2 A3

  

, OA3 A1

  
OA3 A1





И в точке A3(=B) :
OA3  OA2 A3  OA3 A1
  
 OA A
2 3

 3  arccos 
  
OA2 A3

  

, OA3 A1

  
OA3 A1





Обозначим для удобства векторы
  

 2,3
OA2 A3
  

 3,1
OA3 A1
  
OA1 A2

 1,2
Тогда
OA1A2A3= 2  (arccos
 1,2 , 3,1 
1,2 3,1
 arccos
 1,2 ,
2,3
1,2 2,3
Последнюю запись формализуем:
1,2 2,3
2,3 3,1
 i  1, i , i, i  1 
i 1
i  1, i i, i  1
.
Аналогично, когда угол n-гранный, получаем:
n
 i  1, i , i, i  1 
i 1
i  1, i i, i  1
OA1A2...An=2   arccos
1 1,1  n,1 , n, n  1  n,1 .

 arccos
 2,3 , 3,1 
2,3 3,1
и перепишем более удобно полученную формулу:
  arccos  2,3 , 3,1   arccos  3,1 , 1,2 ).
3
OA1A2A3= 2   arccos
2,3
a, b   b, a 
Воспользуемся симметрией скалярного умножения
OA1A2A3= 2  (arccos
 1,2 ,
, где
3,1 1,2
Сумма телесных углов при вершинах треугольной пирамиды
  
 AA A
 1 2 3
A1A2A3A4  2  arccos 

, A1 A4 A2

  
  
A2 A4 A3
  
A4 A3 A2

  

 AAA

 1 3 4
  arccos 


, A2 A1 A4

  

, A3 A1 A2
  

  
  
A4 A2 A1




  

 AAA

 4 3 2
  arccos 
  
A4 A3 A2

  
  
A2 A4 A3
A2 A3 A1


  
 AAA


 3 4 1

  arccos 
  
  
A4 A1 A3







  
 A AA
 4 1 3
arccos 
  
A4 A1 A3

  
, A2 A1 A4


  
A2 A1 A4

, A3 A1 A2


  
  
A3 A4 A1
, A4 A1 A3
  





A1 A4 A2

A3 A4 A1

, A1 A4 A2
  


  
A1 A3 A4
  
  



  
 AAA
, A2 A4 A3 

 2 3 1
  arccos 



, A3 A4 A1
A3 A2 A4
  

 AAA

 1 3 4

  arccos 
A1 A2 A3
  


  
A2 A3 A1
  
, A4 A2 A1


  

  

 AAA

 3 2 4
  arccos 
A3 A1 A2

, A1 A2 A3

  

 AAA

 2 3 1
  arccos 
A2 A1 A4
  



  
A1 A3 A4
  


  
A1 A4 A2
  
 AAA
 2 4 3
A2A1A4A3  2  arccos 
  
 AAA
 4 3 2
A4A1A3A2=  2  arccos 

  
A1 A2 A3
  
 AAA
 3 2 4

A3A1A2A4  2  arccos
  
A3 A2 A4

  





  
A3 A1 A2

  

, A4 A2 A1

  
A4 A2 A1









Искомая сумма:
A1A2A3A4+
  
 AAA
 1 3 4
 arccos 
  
A2A1A4A3+

  
A3A1A2A4+

, A1 A4 A2

A1 A3 A4
  
   
 A A A
 1 2 3

A4A1A3A2= 8  2

  
 A1 A2 A3




  

 A A A

 2 4 3
  arccos 
  
A1 A4 A2
A2 A4 A3

  

, A2 A1 A4

  


, A1 A4 A2


  

  

 AA A

 1 3 4
  arccos 
  
A1 A4 A2

  

 AAA

 2 3 1
  arccos 
A2 A1 A4

  
  
A2 A3 A1

  

  
A2 A4 A3

, A1 A2 A3

(2143)+
(3124)+




A1 A2 A3

  

 AAA

 3 2 4
  arccos 
  







  
A3 A4 A1



  
, A3 A4 A1

A3 A2 A4
(4132)= 8  2arccos 142 , 123   arccos 123 , 134   arccos 134 , 142  
 arccos 214 , 243   arccos 243 , 231   arccos 324 , 341 .

  
Перепишем еще более удобно:
(1234)+

  
A1 A3 A4
, A2 A4 A3



Пример 1:
Рассмотрим пирамиду А1А2А3А4 , а затем вычислим единичные векторы внешних
перпендикуляров к ее граням:
142  (0,1,0),
123  (0,0,1)
134  (1,0,0),
243  (
4

i 1
1 1 1
,
, ).
3 3 3




Ai= 8  2       3 arccos  1    8  2 3   3 arccos  1    8  3  6 arccos  1  
2 2 2


3 
3  
3




2
 1 
 5  6 arccos 
.
3

Пример 2: (усложненный пример 1)
Рассмотрим октаэдр с центром в начале координат, тогда
(1,1,1);(-1,1,1);(-1,-1,1);(1,-1,1) координаты внешних перпендикуляров его граней.
Нормируем эти векторы:
Вычислим сумму арккосинусов соответствующих попарных скалярных произведений:
1
 1 2
 2 1
 2 1
 2 1
arccos     arccos     arccos    arccos    4 arccos , тогда
3
 3 3
 3 3
 3 3
 3 3
1
= 2  4 arccos -величина одного телесного угла. Таким образом, искомая сумма всех телесных углов равна
3
6

i 1
1
Ai 12  24 arccos .
3
Заметим, что октаэдр состоит из 8 одинаковых пирамид из примера 1,
тогда должно выполняться тождество:

1
 1 
8 5  6 arccos 
   4  12  24 arccos , которое сводится к более простому
3
3 


1
3

  arccos  2 arccos 
.

1
1
1 
, а последнее эквивалентно    .
3
3
3
Решение «Большой проблемы Циха»
Сумма телесных углов n – гранника
С учетом соотношения Эйлера: Г+В-Р=2 , где Г- количество граней,
В-вершин, Р-ребер многогранника, для задания выпуклого n-гранника
мало задать число граней, нужно указать еще и число вершин.
Например, у куба и фигуры, составленной из двух треугольных пирамид
число граней одинаково (6), а числа вершин различны ( 8 и 5, соответственно).
Пусть в трехмерном пространстве задан выпуклый n-гранник с m-вершинами,
тогда сумма всех его телесных углов при
m вершинах представляется следующей формулой:
m
A
i 1
i
 m n 2

 2  n  2  arccos j  1, j,  j, j  1 
 j 1

где n- число граней , а индекс j пробегает количество всех ребер.
Цихом поставлена еще задача на экстремум: среди всех выпуклых
n- гранников (m- вершинников) найти те, сумма телесных углов которых
минимальна и максимальна.
Пример 1: Дана прямоугольная пирамида с вершинами на осях координат. Три вершины фиксированы:
(1;0;0), (0;1;0) и (0;0;0), а четвертая движется по оси OZ и имеет координаты (0;0;h).
Выпишем внешние единичные нормали для всех трех координатных граней :
(0,-1,0),(0,0,-1),(-1,0,0) и для наклонной грани:


h
h
1

.
,
,


2
2
2
 2h  1 2h  1 2h  1 
Заметим, кроме того, что угол
A1 равен

( очевидно), углы
2
A3 равны, поэтому достаточно найти только угол
A2 и
A2и угол A .
4
Вычислим их.
A2= 2  arccos 0  arccos 



h
  arccos 




2
2
2
h

1
2
h

1




A4= 2  arccos 0  arccos  h2   arccos  h2  
2h  1 
2h  1 


1




3
1
h
  arccos 
.
  arccos 



2
2h 2  1 
2h 2  1 




3
h
.
  2 arccos 

2
2
2
h

1


Находим искомую сумму углов ( как функцию параметра h):




  3  2 arccos 


  3


h
h
  arccos 
      2 arccos 



 2 2


2
2
2h 2  1 
2
h

1
2
h

1




1




1
h
  4 arccos 
.
 5  2 arccos 



2
2
2h  1 
2h  1 


arccos x ` 
Используем формулу

l


1
1 x2
, тогда производная всей суммы равна:

2 2
4
2 2h 2  2  2


.
2h 2  1
h 2  1 2h 2  1
h 2  1 2h 2  1




Так как знаменатель строго положителен, знак производной определяет только числитель.
Решим уравнение:
2h2  2  2  0.
Его корни есть h=1 и h=-1, второй корень не имеет геометрического смысла (0<h<+∞).
При h  (0;1) функция монотонно убывает, а при h  (1;+∞) функция монотонно возрастает, имея в точке
1
h=1 минимум, равный 5  6 arccos  .

3
И, наконец, рассмотрим два предельных случая, когда h  0 и
. При h  0 , когда пирамида сплющивается
к своему основанию- треугольнику A1 A2 A3 сумма углов равна:
.h  
.
5  2 arccos1  4 arccos 0   .

При h
, когда пирамида вытягивается в вертикальную бесконечную
треугольную призму, сумма углов также равна
.
Заметим, что при h =1 ответ, как и ожидалось, совпадает с полученным(*).
 1 
5  6 arccos 

3

Пример 2.
Рассмотрим правильную пирамиду с вершинами в точках
A, B, C, D. Тогда
A= B= C.
Достаточно вычислить A и затем утроить его.
D вычисляется самостоятельно.
Выпишем внешние единичные нормали

  
,
ABD
Тогда:
  
AC D


  
, BC D
и
  
ABC

 0,0,1 -основание.


 1  2h 2 
1
  arccos 2
A  2  2 arccos 
 4h  1 

2
4
h

1






 1  2h 2 
1
  3 arccos 2
 6  6 arccos 
 4h  1 

4h 2  1 



 1  2h 2 

D  2  3 arccos 2
 4h  1 

h 2
корень  2 не имеет геометрического смысла.
при h  0, 2  функция убывает


 1  2h 2 
1
  6 arccos 2
  8  6 arccos 
 4h  1 

4h 2  1 



l 
Решим уравнение: h 2  1  3

 1 h  1 
и возрастает при h 

2 ,

12 h 2  1  3
4h
2

 1 
 2 
   8  6 arccos 0  arccos     8  6     8  3  4  
 2 
2 3 

 0  8  6arccos 1  arccos1  8  6  0  2
2
Знак определяется
величиной
h2  1  3
 min(
2)


 1
 3 
 1 
 1
 8  6 arccos    arccos     8  6 2 arccos     8  12 arccos    
 3
 9 
 3 
 3


Рассмотрим пирамиду АBCO.

bc
(0,-1,0),(0,0,-1),(-1,0,0), 
2 2
2 2
2 2
 b c a c a b
ac
,
b 2 c 2  a 2c 2  a 2b 2
,


2 2
2 2
2 2 
b c a c a b 
ab
Будем варьировать три вершины.
Вычислим углы:
A  2 
B  2 

2

2

C  2 
2

O
2




ac
ab
  arccos 

 arccos 

2 2
2 2
2 2 
2 2
2 2
2 2 
b c a c a b 
b c a c a b 






ab
bc
  arccos 

 arccos 

2 2
2 2
2 2 
2 2
2 2
2 2 
b c a c a b 
b c a c a b 






bc
ac
  arccos 

 arccos 

2 2
2 2
2 2 
2 2
2 2
2 2 
b
c

a
c

a
b
b
c

a
c

a
b




Данная сумма углов инвариантна относительно круговой подстановке переменных a, b, c:

   5  2 arccos 

Найдем производные :

bc

la  2 2 2
a b  a 2c 2  b 2c 2 

ac

lb  2 2 2
a b  a 2c 2  b 2c 2 

ab

lc  2 2 2
a b  a 2c 2  b 2c 2 


bc
  arccos 


b 2 c 2  a 2 c 2  a 2b 2 
b 2 c 2  a 2 c 2  a 2b 2

ab


ac
 arccos 

b 2 c 2  a 2 c 2  a 2b 2


b2  c2 
2
2

2
2
2
2
2
2  Обозначим A  a , B  b , C
a b
a c
b c 
2
2
B
C
BC
a
c
a2  c2 
 A B  AC  B C  0



b2  a 2
b2  c 2
a2  c2 
A
C
AC
a2
b2
a 2  b2 


0



B A
BC
AC
2
2
2
2
2
2 
c a
c b
a b 
b2

c2

A
CA

B
CB

A B
A B
0
 c 2 тогда:





Тогда:
B
A B
A
B A
A
CA



C
AC
C
BC
B
CB
 BC

AC

A B
4 AB 3C 2  4 AB 2 C 3  4 B 3C 3  A 4 B 2  C 2 A 4  2 A 4 BC  4 A3 B 2 C  4 A3 BC 2
4 BC 3 A 2  4 BC 2 A3  4C 3 A3  B 4 C 2  A 2 B 4  2 B 4 CA  4 B 3C 2 A  4 B 3CA 2
4CA3 B 2  4CA2 B 3  4 A3 B 3  C 4 A 2  B 2 C 4  2C 4 AB  4C 3 A 2 B  4C 3 AB 2
Данная система инвариантна относительно круговой подстановки переменных. Следовательно, она имеет
решение с одинаковыми координатами, т.е. A=B=C=t, тогда для переменной t получается одно тождество,
справедливое при всех значениях t:
4t 6  4t 6  4t 6  t 6  t 6  2t 6  4t 6  4t 6
общее решение нашей задачи будет
получаем a=b=c=
t
a 2  A.  t, b 2  B  t, c 2(t>0)Cи, окончательно,
t
Вывод: сумма внутренних углов пирамиды с тремя вершинами на осях координат и четвертой- в начале
координат, минимальна только тогда, когда вершины, лежащие на осях, равноудалены от начала координат.
Сравнительный анализ
S  2        , где  ,  ,   внешние углы сферического треугольника.
S  1  1   1    , где 1, 1,  1  внутренние углы сферического треугольника.
Аналогично и для n-угольника:
S  2  1   2 ...   n .
S  1   2  ...   n    .
Заключение
• В ходе работы мы рассматриваем вспомогательные
задачи, формулируем и доказываем ряд лемм о
вычислении телесных углов; получаем новые
формулы, выражающие телесные углы через
внешние перпендикуляры граней; вычисляем сумму
телесных углов при вершинах треугольной
пирамиды, а также получаем формулу для
вычисления суммы всех телесных углов выпуклого nгранника с m-вершинами. Вводим ряд новых
обозначений.
• Показываем применение нашего подхода к решению
вариационных задач