Введение в физику дифракции 2. Физические основы динамической теории рассеяния

Введение
в физику дифракции
2. Физические основы
динамической теории рассеяния
рентгеновских лучей
Проф., дфмн Суворов Э.В.
ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК
Пол Питер Эвальд (1888-1985) вместе с
М.Лауэ являются создателями
современной кинематической и
динамической теорий рассеяния
рентгеновских лучей. После открытия
дифракции ретгеновских лучей П.П.Эвальд
начал в 1917 г. исследования в совершенно
новой тогда области науки - определения
атомной структуры вещества путем
анализа рентгеновских дифракционных
картин. Его магистерская диссертация
называлась "Об основах
Кристаллооптики". В 1978 году за
выдающиеся достижения в теоретической
физике П.П.Эвальд получил медаль имени
Макса Планка Немецкого физического
общества (DPG), старейшего и крупнейшего
в Европе физического общества в мире.
Кинематическое приближение
Происходят только однократные
акты рассеяния
I e  7,90 10
2
26
 E0  2
I     L  H   F2  H,rm   e2 M
R
 1  cos 2 2 
 I0  

2


2
 E0  2
    L  H   F2  h, k , l , rm   e2 M
R
Динамическое рассеяние
Происходят многократные акты рассеяния
В треугольнике рассеяния
образуется самосогласованное электромагнитное поле.
Это поле описывается уравнениями Максвелла.
Иллюстрация многократного рассеяния
на узлах кристаллической решетки
X-Ray
1
2
3
4
5
6
7
E1
E0
ВОЛНОВОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
В СОВЕРШЕННОМ КРИСТАЛЛЕ
1 B


E






c t

H   1  D  4 J

c t
divE  4  r 

 divH  0
Уравнения Максвелла
описывающие поведение
электромагнитного
волнового поля в среде
Свойства электромагнитных
полей в среде
1 D

rotH



4

J

c t

 rotE   1  B

c t
divE  4  r 

 divH  0
1 D

rotH



4

J

c t

 rotE   1  B

c t
divE  4  r 

 divH  0
D, B – вектора электрической и магнитной индукции
E - вектор напряженности электрического поля в вакууме;
с - фазовая скорость поля в вакууме;
J - ток смещения, связан с вектором электрической поляризации
соотношением
J
P
t
P – вектор электрической поляризации среды
D  E
B = μH
1
P
 Ε
4
D  E  4 P   E
  1  4
P
E
- Вектор поляризации среды
под действием
электрического поля
- Вектор электрической индукции
1
  2  1    n2
c
n  1 
 - диэлектрическая проницаемость среды
P - вектор поляризации среды
E - вектор напряженности электрического поля
 - коэффициент поляризуемости среды
n - показатель преломления
e
 r   
  r 
2
 mc
2
2
1
 i  H,r 
  r     F  hkl   e
V hkl
2

 i  H ,r 
R 2
R

i H ,r 
 r   
  F  hkl   e
  
 F  hkl   e
V hkl
V
hkl 

e2
R
mc 2
  r     hkl  e
hkl
i H ,r 
- классический радиус электрона
 hkl
R 2

 F  hkl 
V
 H   Hr  i  Hi
H  H
1 B


E



  
c t

H  1  D  4 J

c t
divE  4  r 

 divH  0
1  2D
D  2  2  4  rot  rotP   0
c t
Уравнения
Максвелла
неоднородное волновое уравнение
электромагнитного поля в непрерывной среде
1  2D
D  2  2  4  rot  rot D   0
c t
D  r , t    Dm  e 
i t  K m ,r 
m
Волновое уравнение
1  2D
D  2  2  rot  rot D   0
c t
Система дисперсионных
уравнений
П.Эвальд, М. Лауэ (1926-1931)
K 2n  k 2
 Dn    n m   Dm  n
2
Kn
m
Уравнения С. Такаги (1969)
 

 

2
i


  D 0   1  CD1


 z x 

 2i       D    CD    r   D
1
0
1

 1

 z x 


 
  r    0  2  
   H hkl , U  r  
 z x 
K 2n  k 2
 Dn    n m   Dm  n
2
Kn
m
Эта система линейных алгебраических
уравнений связывающая волновые вектора и
проекции амплитуд векторов индукции
получила название системы дисперсионных
уравнений П.Эвальд, М. Лауэ (1926-1931).Эта
система описывает многолистную поверхность
по которой может перемещаться точка М
 Dm  n
k 

-проекция вектора Dm на направление,
перпендикулярное вектору Kn,
- значение волнового вектора в вакууме
c
В дальнейшем будем рассматривать только двухволновой случай, т.е.
когда на сферу Эвальда попадает только два узла обратной решетки.
Если на сферу Эвальда попадает только один узел обратной решетки,
например узел O (дифракции нет!!!), вектор K0 может занимать в
пространстве любые ориентации.
В случае возникновения дифракции на сферу Эвальда попадают другие
узлы (в случае двухволновой дифракции - два уза!!!). Возникает жесткая
связь между волнами описываемая условием дифракции H=KH-K0
K - K0 = H
Геометрическая интерпретация двухволнового
приближения в динамической теории дифракции
увеличение
 10
6
R=1/
~10-10м
Это дисперсионная поверхность
KH - K0 = H
Так как волны падающая и дифрагированная
связаны между собой возникает перекачка
энергии из одной волны в другую и обратно.
Это означает что величины волновых
векторов KH K0 могут меняться в некоторых
пределах. Уравнение Лауэ перестает быть
жестким и появляется область запрещенных
значений этих векторов.
Физические АНАЛОГИИ
1. Колебания связанных маятников
Энергия колебаний будет перетекать от
маятника 1 к маятнику 2 и обратно.
Это явление носит название
маятникого эффекта
2. Зависимость энергии электронов от волнового вектора
в параболической потенциальной яме
a
б
h2 2
E
k
2m
а) - энергия электронов в одномерной периодической среде, с периодом d в
прямом пространстве и бесконечно малым потенциалом взаимодействия;
б) - в случае потенциала взаимодействия отличного от нуля, для электронов
появляются запрещенные зоны энергии.
ДВУХВОЛНОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В
СОВЕРШЕННОМ КРИСТАЛЛЕ
 K 02  k 2
 D0   0 D0  C  1  D1

2
 K0
 2
2
 K1  k  D   D  C   D
1
1 0
0
1
 K2

1
 K 02  k 2
  K 12  k 2

2






0 
0   C  1 1
2
2
 K0
  K1

Здесь поляризационный множитель C=1 для компонент волнового поля,
поляризованных перпендикулярно к плоскости рассеяния s
поляризация), и C=cos2 для компонент, поляризованных в этой
плоскости поляризация),
1 
  K 0 K 1 - брегговский угол.
2
ID
IT
T ( y) 
1  2
 y  cos 2 ( A 1  y 2 ) 
2 

1 y
 h sin 2 ( A 1  y 2 )
R( y ) 

h
1 y2
A
ID
IT

t

,y
sin 2 B
  ,
C  rh
  cos  B
C  rh
ВАЖНЕЙШИЕ СЛЕДСТВИЯ
ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ
1) Эффект маятниковых осцилляций
k min  1 K  2 K  kC  1 1  sec
k~10-8см

2
K
k~10-3см-1
  10 5

2
K

  cos
c H H
Этот параметр получил
название
экстинкционная длина
Экспериментальный пример маятникого эффекта
Осциллирующий характер зависимости Ri(A)
интегрального коэффициента отражения
от толщины кристалла.
A
t

2
  cos 


K c   H   H
Экспериментальное изображение
клиновидного кристалла кремния
(секционная топограмма)
Рентгеновская секционная топограмма клиновидного кристалла,
излучение AgK, отражение (220). Наблюдаются гиперболические экстинкционные полосы.
Хорошо видны биения (отмечены стрелками), обусловленные присутствием двух поляризаций
Hattorio H., Kato N. J.Phys.Soc.Jap. (1966), 21, 1772-1777
ТАБЛИЦА
Установочных брегговских углов для кремния
a=5,4306Å
и соответствующие экстинкционные длины 
CuK =1,5405Å
hkl

2
мкм 
 s / 
MoK =0,7093Å

2
мкм 
 s / 
AgK =0,5594Å

2
мкмs/ 
111
14,2
28,4
18,3/20,8
6,5
13,0
41,4/42,4
5,1
10,2
52,7/53,6
220
23,6
47,2
15,4/22,7
10,6
21,2
36,5/39,2
8,4
16,8
46,8/48,9
400
34,5
69,0
16,5/46,3
15,2
30,4
42,9/49,7
11,9
23,8
55,4/60,6
422
44,0
88,0
18,7
37,4
48,1/60,4
14,7
29,4
62,7/71,9
333
47,5
95,0
19,8
39,6
71,4/92,7
15,5
31,0
93,3/108,9
440
53,4
106,8
15,6/54,1
22,0
44,0
54,1/74,4
17,0
34,0
70,8/85,3
444
79,4
158,8
6,2/6,6
27,0
54,0
66,9/113,2
20,9
41,8
89,2/119,7
2) Эффект аномального прохождения рентгеновских лучей
эффект Бормана
t=0,23 mm; m0t=8
t=0.5 mm; m0t=17.5
t=1.2 mm; m0t=42
Рентгеновские топограммы кристалла Ge полученные
на излучении CuK с фильтром Ni, отражение (220)
(m0 – нормальный коэффициент поглощения)
Экспериментально этот эффект
был обнаружен Борманом в 1941 году
Физическая интерпретация эффекта Бормана
Распределение интенсивности волнового поля вдоль оси х,
перпендикулярной отражающим плоскостям для отражения (220)
Ge (симметричный случай Лауэ); сплошные вертикальные линии
— следы плоскостей (220), проходящих через центры атомов;
стрелками показано направление течения энергии
m 0  K   0 
0 H
mt<1
2

  0
 H   H   i H 
1)  I  I 0 e  mt
2)  эффект  Бормана
mt>>1
3) Эффект углового усиления
Незначительным по величине поворотам кристалла внутри области
динамического отражения (на углы порядка единиц угловых секунд)
соответствуют повороты вектора фазовой скорости блоховских волн
на угол порядка 2 внутри треугольника Бормана, т.е. при дифракции
имеет место еще один чрезвычайно важный "эффект углового
усиления" с коэффициентом порядка – 104-105
ВОЛНОВОЕ ПОЛЕ
В КРИСТАЛЛАХ С ИСКАЖЕНИЯМИ.
УРАВНЕНИЯ ТАКАГИ - ТОПЕНА
Волновое уравнение
1  2D
D  2  2  rot  rot  D   0
c t
Система дисперсионных
уравнений
П.Эвальд, М. Лауэ (1926-1931)
K 2n  k 2
 Dn    n m   Dm  n
2
Kn
m
Уравнения С. Такаги (1969)
 

 

2
i


  D 0   1  CD1


 z x 

 2i       D    CD    r   D
1
0
1

 1

 z x 


 
  r    0  2  
   H hkl , U  r  
 z x 
ВОЛНОВОЕ ПОЛЕ
В КРИСТАЛЛАХ С ИСКАЖЕНИЯМИ.
УРАВНЕНИЯ ТАКАГИ - ТОПЕНА
Характеристики среды в волновом уравнении можно учесть через функцию
поляризуемости (r). Будем описывать искажения кристалла в виде некоторого поля смещения
U(r), связанного с каким-либо дефектом, причем будем полагать, что искажения достаточно
медленно меняются в пространстве, т.е. на расстояниях порядка экстинкционной длины, тогда
вместо координаты r необходимо записать r-U(r), т.е.
Если искажения достаточно слабо меняются на расстоянии экстинкционной длины т.е. u(r ) r  1,
то после достаточно громоздких преобразований уравнение для случая двухволнового рассеяния,
когда на сферу Эвальда попадает только два узла обратной решетки, примет вид
2d sin   
 
d
d
 tg  
функция, описывающая локальные разориентации
решетки, связанные с упругим полем U(r) дефекта
Эти уравнения получили название уравнений Токаги-Топена (1969)
Волновое поле в идеальном кристалле
z
x
t = 0.42
y
t = 0.75
t = 1.4
Отражающие
плоскости
Численное моделирование волнового поля
в треугольнике рассеяния (палатке Бормана)
Фрагменты экспериментальных секционных топограмм совершенных монокристаллов Si с разной
толщиной (t = 0.42, 0.75, 1.4 mm). На тотограммах четко видны интерференционные полосы
E.V.Suvorov,V.I.Polovinkina, V.I.Nikitenko, V.L.Indenbom,
Phys.Stat.Sol. 26,1,385-395,1974
Экспериментальное изображение
клиновидного кристалла кремния
(секционная топограмма)
Рентгеновская секционная топограмма клиновидного кристалла,
излучение AgK, отражение (220). Наблюдаются гиперболические экстинкционные полосы.
Хорошо видны биения (отмечены стрелками), обусловленные присутствием двух поляризаций
Hattorio H., Kato N. J.Phys.Soc.Jap. (1966), 21, 1772-1777
Дифракция в идеальном кристалле
mt<1
mt>>1
• I(x) = exp(-mt/cos)Jo2[(t/tR)(1+i)(1-s2)1/2]
Здесь tR= cos/C|hr| - действительная часть экстинкционной глубины, C =|cos2| –
поляризационный множитель,  = hi /hr, hi и hr – мнимая и действительная часть
h-коэффициента Фурье - разложения поляризуемости кристалла, t - экстинкционная
глубина. Безразмерный параметр s = x/ttg изменяется внутри палатки Бормана от 1 до 1.
• P = μ t/cos, где μ – линейный коэффициент фотоэлектрического
поглощения
• если P>10 mmh, m h - интерференционный коэффициент
поглощения
mhm KC (1-s2)1/2   = hi /oi
Уравнения Такаги- Топена

  
2i     D0   1CD1


 z x 

2i       D   CD    r   D
1
0
1
  z x  1
  
  r    0  2      H hkl , U  r  
 z x 
2d  sin   
 
d
d
 tg  
Поле локальных разориентаций
винтовой дислокации
  
  r   2      K H u(r ) 
 z x 
  x, y 
K,b 



2
y  ctg
y 2  z 2  ctg 2
Дж.Хирт, И.Лоте Теория дислокаций М., Атомиздат 1972
Authier A. Dynamical Theory of X-Ray Diffraction. Oxford: Science Publications. 2001
Вид функции локальных разориентаций
для краевой дислокации
  
    K H u(r ) 
 z x 
  r   2 
 K H u  x, y   
 K Hb x  arctg y 
2


x

xy
2(1  )( x 2  y 2 ) 
Дж.Хирт, И.Лоте Теория дислокаций М., Атомиздат 1972
Authier A. Dynamical Theory of X-Ray Diffraction. Oxford: Science Publications. 2001
Здесь  - телесный угол под которым из точки R(x,y,z) видна
положительная сторона полуплоскости, границей которой является
дислокация;
t- единичный вектор, определяющий ориентацию дислокации;
 - вектор, определяющий кратчайшее расстояние от точки поля U
до оси дислокации;
b – вектор Бюргерса;
 - коэффициент Пуассона
Вклад убывающего (~1/r) упругого поля
дислокации в образование изображения
дислокаций в методах секционной
топографии
В.Л.Инденбом, В.И.Никитенко, Э.В.Суворов, В.М.Каганер
Phys.Stat.Sol. (a)46, 1, 1978, p.379-386
Изображение краевой дислокации
D
D’
Шулаков Е.В., Смирнова И.А., Суворов Э.В. // Поверхность. Рентген., синхр. и
нейтр. исслед. 1996. №7. С. 32.
Шулаков Е.В., Смирнова И.А., Суворов Э.В. // Поверхность. Рентген., синхр. и
нейтр. исслед. 2002. №1. С.100.
Вместо дислокации в кристалл введена трубка
заполненная тем же материалом,
но выведенная из отражающего положения
ПРИЛОЖЕНИЯ
Некоторые важные соотношения векторного анализа
a  iax  ja y  kaz
b  ibx  jby  kbz
 ab   axbx  a yby  azbz
i
a × b  ab   a x
bx
ax
 a bc  bx
cx
ay
by
cy
j
ay
by
k
az
bz
az
bz
cz
произвольные вектора a и b
cкалярное произведение векторов
Если a┴b (ab)=0
векторное произведение
Если a‖b [ab]=0
смешанное произведение векторов
V   a bc  =  b ca  =  c ab 
U r 
скалярное поле (скалярная функция) векторного аргумента
V r 
векторное поле (векторная функция) векторного аргумента
gradU  r   i
U  r 
U  r 
U  r 
j
κ
Градиент скалярного поля
x
y
z
Vx Vy Vz
divV  r  


x
y
z
i

rotV  r  
x
Vx
j

y
Vy
k

z
Vz
rot  gradU  r    0
Дивергенция векторного поля
Ротор или вихрь векторного поля
Ротор от градиента скалярного поля
всегда равен нулю



i  j k
x
y
z
оператор Гамильтона (Гамильтониан)
2
2
2
 2  2  2
x
y
z
оператор Лапласа (Лапласиан)
U  r   gradU  r 
V r   divV r 
  V  r   rotV  r 
div  rotV  r    0
Гамильтониан от скалярного поля равен
градиенту скалярного поля
Скалярное произведение оператора
Гамильтона и векторного поля равно
дивергенции этого поля
Векторное произведение оператора Гамильтона
с векторным полем равно ротору этого поля
Дивергенция от ротора векторного поля
всегда равна нулю
  x, t   f1  x  ut   f 2  x  ut 
  x, y, z, t     r, t   Ae
ik  r ut 
A ik r ut 
  r, t    e
r
общее выражение
волнового возмущения
плоская волна
сферическая волна
2

1  r 
  r   2
0
2
u
t
Однородное
волновое уравнение
I  r, t     r, t    r, t 

U  r, t   Ae 
i  t kr 
Интенсивность волны
U  r, t   k 2U  r, t 
 2U  r , t 
2



U  r,t 
2
t

e  cos x  i sin x 

eix  e  ix 
sin x 

2i

ix
 ix

e e
cos x 

2

 ix
Формулы Эйлера


 1  cos 

2


2cos 2  1  cos 

2
2sin 2
a1 , a2, .....an  a1 , a1  q1 ,....a1  q n 1  геометрическая  прогрессия
если  q  1  знаменатель  прогрессии
Sn  a1  a2  ...  an 
a1 1  q n 
1 q
 сумма  n  членов  геометрической  прогрессии
Основная литература
1. Дж.Каули, Физика дифракции, Москва, Мир, 1976, с.432
2. Authier A., Dynamical Theory of X-Ray Diffraction, Oxford: Science
Publications, 734 P, (2001)
3. Р.Джеймс, Оптические принципы дифракции рентгеновских лучей,
Москва, ИЛ, 1950, с.572
4. В.И.Иверонова, Г.П.Ревкевич, Теория рассеяния
ренгеновских лучей, Москва, МГУ, 1978, с.278
Дополнительная литература
1. Г.Пинскер, Рентгеновская кристаллооптика, Москва, Наука, 1982, с.390
2. В.Л.Инденбом, Ф.Н.Чуковский, Пробпема изображения в рентгеновской
оптике, УФН, 107, 2, 2292265, (1972)
3. П.Хирш, А.Хови, Р.Николсон, Д.Пэшли, М.Уэлан Электронная микроскопия
тонких кристаллов, Москва, МИР, 1968
4. Дифракционные и микроскопические методы в материаловедении, под
редакцией С.Амелинкса, 1984, с.502 Москва, Металлургия, 1989, с.502