С. К. Годунов

ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ
ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ
Годунов С.К.
12 октября 2011 года
Для того, чтобы надежно определялось решение системы Ax  f
линейных уравнений с квадратной N  N матрицей A
|| A ||  || A1 ||  ( A)  1 было не очень большим.
нужно, чтобы число
 ( A) 
число обусловленности
|  ( A   )   ( A) |
Справедливо неравенство
A
2  ( A)
||  ||

||  || || A ||
1   ( A)
|| A ||
Число обусловленности  ( A   ) возмущенной матрицы
близко к  ( A) если
 ( A)
||  ||
|| A ||
A 
1
Решая систему Ax  f с хорошо обусловленной матрицей A
можно не опасаться ошибок округления из-за которых вместо
будет использованы возмущенные A   , f  
с малыми
A, f
, 
2
В основу вычислительной линейной алгебры естественно положить
Постулат:
Только такие числовые функции f ( A) от N  N матрицы
можно вычислять, для которых справедливо неравенство
|| f ( A)  f ( A   ) ||   ||  ||
в котором
   (|| A ||, f ( A))
A
- известная функция
При этом условии, зная || A || и точность ||  ||
можно дать гарантированную оценку точности для вычисленной f ( A)
Пример вычислимой
функции -  ( A)
 ( A) 
число обусловленности матрицы A
|  ( A   )   ( A) |
2  ( A)
||  ||

  ||  ||
||  || || A ||
1   ( A)
|| A ||
где   4 ( A) || A || если
||  ||
1
 ( A) || A ||
2
Хорошо известны алгоритмы решения системы линейных уравнений, при
выполнении которых одновременно с решением вычисляется  ( A)
3
Решение систем линейных уравнений
1

0
0

A  1     0
0

0
0

0 0 0 0 0 0
2044 336 128
80
32
16 
 289



1 0 0 0 0 0
1152
30
1312
512
288
128
32


 -29 -1980 756 384 1008 224
0 1 0 0 0 0
48 



0 0 1 0 0 0     512
128
640
1
640
512
128 
 1053 2136 -604 -384 -856 800
0 0 0 1 0 0
108 



0 0 0 0 1 0
-287
4
1712
-128
1968
-30
2032


 -2176 -185 -1463 -512 -439 -1152 -187 
0 0 0 0 0 1 


Решение систем линейных уравнений с матрицей A  (1   ) I   C

 f
MATLAB
A x  A
1
1
 
1
 
1
1
 
1
1
 
0.05
x
Решения получены с
помощью коммерческого
MATLAB и свободно
распростроняемого
SCILAB
(НГУ, ИМ СО РАН)
SCILAB
x
x
0.997070312500000
1.001052856445313
1.004882812500000
0.999641142785549
0.996093750000000
1.001953125000000
0.999984741210938
0.1
0.000000000000000
0.969726562500000
1.750000000000000
1.004194498062134
0.250000000000000
1.500000000000000
0.997070312500000
 ( A)1  ?
 ( A)1  1.2 1016
0.9990234
1.0000153
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.0000000
1.2500000
1.0019531
1. 0000000
1.0000002
0.7500000
1.2500000
1.0000000
 ( A)1  3 1014  ( A)1  1.11016
Изложение понятия о решении системы уравнений
Обычно начинается с введения определителя det A
Ax  f
Реальное вычисление определителя приводит к серьёзным проблемам:
ПРИМЕР:
 1

 0

A   0

 0




10 0
1 10
0 1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0 

0 

0 


10 
1
det A   1  10 N 1 
N
det A  1,   A   1.22  1025   0,
N  25

24
det
A

0
,

A




10
, N  25



6
С необычайной чувствительностью определителя к возмущениям (например, к
погрешностям округлений) связана чувствительность и собственных значений
 j ( A);
det( A   j I )  0
Пример исследования устойчивости
dx
 Ax , t  0
dt
x(0)  задано
 1

 0

A   0

 0




10 0
1 10
0 1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0 

0 

0 


10 
1
При   0
1  2   25  1 устойчиво
В теории дифференциальных уравнений (также механике, физике) широко
используется критерий устойчивости решения x ( t )  0
Чтобы x ( t )  0
для всех
x(0)
надо, чтобы
Re  j ( A)  0
При   10  825  2.6  1022
Не устойчиво
 j  1 
10 
 2 j
cos

 25
8


 2 j

i
sin

 25



,

25  1 
10
1
 0
8
4
7
 1

 0

 0
A

 0



10 0
1 10
0 1

0
0
0
0
0
1
0
0
0
0 

0 

0 


10 
1
dx
 Ax , t  0
dt
x(0)  задано
При   2.6  1022 в оценке решения x ( t )
|| x(t ) || Me

t
L
|| x(0) ||,
Если Re  j  A  
0
A – NxN матрица
то
e
tA
 A 
   N 




N 1
e
 t2
И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов, 1958 г.
M  1022 , L  1
Можно ли это считать устойчивостью?
Типичное поведение затухающих решений
|| x( t ) ||
M || x(0) ||
|| x(t ) || Me

t
L
|| x(0) ||
M - оценка амплитуды
L - характерное время (декремент затухания)
|| x (0) ||
t
8
Теорема Островского (о непрерывной зависимости  j ( A) )
Если все элементы akl матрицы
подчинены неравенствам
| akl | 10,
то для каждого  j ( A0 )
такое что
A0
и
bkl матрицы
| bkl | 1,
найдется  j ( A0
  B)
|  j ( A0   B )   j ( A0 ) | 20( N  1)
25 
В нашем случае
B
2N
N 2
10
1
4
262
|  j ( A0   B )  ( 1) | 20
8
25
625  2186
Пример теореме Островского не противоречит.
Формальная непрерывность имеет место.
9
Определение  -спектра  ( A)
   ( A)
 принадлежит
 -спектру, если
1
|| ( I  A) ||
 || A ||
1
Спектральный портрет матрицы A
0
 2 25 0 0 0 0


0

3
10
3
3
3
0


 0
0 2 15 3 3 0 


A 0
0 0 0 15 3 0 
 0
0 0 0 3 10 0 


0 0 0 0  2 25 
 0
 0
0 0 0 0 0 3 

  105
10
3 15 5
2
1 
 3



4

2
10
2
8
3


 0
0 0.1 1
3
20 
H 

0
0
0

3
4
0


 0
0
0
3 2
0 


0
0
0
15

10
0.1


0
 2 25 0 0 0 0


0

3
10
3
3
3
0


 0
0 2 15 3 3 0 


A 0
0 0 0 15 3 0 
 0
0 0 0 3 10 0 


0 0 0 0  2 25 
 0
 0
0 0 0 0 0 3 

11
Спектральные портреты симплектических матриц
Рассмотрим симплектическую матрицу вида:
C
Q
S
S I
C   0
P
I 
C2  S2  I
Матрицы С, S, P имеют следующую структуру:




C 





2
2
0
0
0
 2
0
0
 2
0
0
0
2
0
2
0 

0 

0 

2 
2




S 





2
2
0
0
0
2
0
0
 2
0
0
0
2
0
2
0 

0 

0 

2 
2
 1 t 0 0


t
2
0
0

P
0 0 3 t 


 0 0 t 4
Изучим поведение спектральных портретов
при изменении параметра t
12
Спектральные портреты симплектических матриц
13
Еще один поучительный пример
(к вопросу о расчёте собственных значений матриц)
80
32
16 
 289 2044 336 128
 1152

30
1312
512
288
128
32


 -29 -1980 756 384 1008 224
48 


C   512
128
640
0
640
512
128 
 1053 2136 -604 -384 -856 800
108 


4
1712 -128 1968 -30 2032 
 -287
-2176 -187 -1465 -512 -441 -1152 -189 


14
Эксперимент: Собственные числа матрицы С найденные с
использованием пакетов MATLAB, MAPLE, SCILAB и
библиотеки IMSL (стандартная двойная точность)
15
• В действительности C  L1 RL
32
16 
1 2028 256 128 64
1 0 0
0

0 1 0
-2
1024
512
256
128
32



0
1 0 1
0
4
512 1024 256
64 



R = 0
0
0
0
512 512 128  ; L= 0 0 0
0
0 0 1
0
0
0
-4 1024 156 



0
0
0
0
2
2048 
0
1 0 0
0
0 1 1
0
0
0
0
0
-1 


Точные значения:
0 0 0 0
0 0 0 0 
0 0 0 0

1 0 0 0
0 1 0 0

0 0 1 0
0 1 0 1 
1  0, 2  1, 3  1, 4  2,
5  2, 6  4, 7  4,
ВСЕ предыдущие примеры были вычислены с машинным представлением чисел с
точностью 10 16 . Если использовать машинное представление с точностью 10 22 ,
то вычисленные  j будут отличаться от точных не более чем на 10 3
ε-спектр    10 
16
покрывает круг |  | 7.5
16
22
При вычислениях с точностью 10
, пакетом MAPLE были
получены следующие собственные значения.
1 (C )  4.01
2 (C )  3.98
3 (C )  1.97
4 (C )  2.01
5 (C )  1.02
6 (C )  0.18
7 (C )  0.98
1 (C T )  4.01
2 (C )  1.99
T
3 (C T )  1.02
4 (C T )  0.02
5 (C )  0.97
T
6 (C T )  2.01
7 (C T )  3.99
Резюме проведенного обсуждения
Стоит ли заниматься расчетом
 j ( A) ???
Нет гарантии, что их можно вычислить с приемлемой точностью.
(речь идет о несимметричных матрицах A  AT )
ВОПРОС: Зачем в приложениях интересуются
 j ( A) ???
ОТВЕТ: Часто требуется убедится, что |  j ( A) | 1 или, что
на прямой   a  it нет  j ( A)
Предлагается решать более общий вопрос:
    i




?
Если кривая  не проходит через  j ( A)
то всюду на этой кривой || ( A   I )1 || 


Есть ли  j ( A) на той или иной
кривой 

Для гладкой кривой конечной длины при этом


Re( )    const
1 2
|
d

|·||
(
A


I
)
||  


18
Дихотомия спектра
Удобно критерий отсутствия  j ( A) на кривой  формулировать как
|| H ( A) || 
|| A ||2
T 1
1
H ( A)  H ( A) 
|
d

|·(

I

A
)
(

I

A
)
l 
T
Для кривых  конечной длины l
предполагается, что l  L·|| A ||
Важное неравенство
m  max || ( A   I )1 ||

 
|| H ||  m 
L
|| H ||  4 || H ||  L2 || H ||2
2
|| H ( A) || Критерий дихотомии спектра A
кривой 
19
lg 
Одномерный
спектральный
портрет
a
Спектральные зоны – полосы a j  Re  j  a j ,
содержащие точки спектра
1
H
2


 j ( A)
dt[(a  i t ) I  A* ]1[(a  i t ) I  A]1

  2 || A  aI ||  || H ||

- числовая функция от матрицы A  aI
критерий дихотомии спектра A прямой
  a  it
20
lg  H
Одномерный
радиальный
спектральный
портрет
1
H
2
2
1



e
e
* 
0 d  I  r A   I  r A 
i
H  критерий дихотомии спектра A
 i
1
окружностью   r
21
Алгоритм анализа радиальной дихотомии спектра
1
 A
r
X 1   I
X 2   I
n0
A
n  1, 2,..., N
находим K  n L n из систем:
(0)
 n  1
X 2n  1 K
 X 1
n  1
0
 n
K    X 2 n 1  L   0
n 1
n
n
 n
H
 I N1
A

U
Если
 0

то
0
1
n 1
n
 AX 1  L   0
r
после чего вычисляем X 1
 n
H   I
0
  K
 n  T
 H
 n  1
K
 n
 X 1
 n  T
2
1
2
1
K
  L  H 
 R T
U

I N2 
R   B 0   I N1


I N 2   0 C   0
n  1
X 2 n   X 2 n1  L
n
n  1
n
L
n 1
n
UU T  I ,  j  B   r ,  j  C   r
1

1
e i *  
e  i 
 n
H 

d  I 
A  I
A  H
n 
2 0
r
r

 

1
n
X 2 n  

n 
2

e  i 
0 d  I  r A    r
n
22
 I N1
A

U
Если
 0

то
2
1
2
1
UU T  I ,  j  B   r ,  j  C   r
1

1
e i *  
e  i 
 n
H 

d  I 
A  I
A  H
n 
2 0
r
r

 

1
n
X 2 n  

n 
2
H
 R T
U

I N2 
R   B 0   I N1


I N 2   0 C   0

e  i 
0 d  I  r A    r
- критерий дихотомии спектра
Дискретное уравнение Ляпунова
(обобщение):
Оценки:
R 
H
C
k
r
k
A окружностью   r
H  AT HA   Tr  r   I   Tr   I   r 
A r   r A,  Tr H  H  Tr ,  r2   r

1 
H 1 

H


k
2
B
k
1 H 
1 

1

k
r
H



23
k
2
Исследование устойчивости (по Ляпунову)
1) исследование «устойчивости» решений дифференциальных уравнений
Вопрос: для всех ли решений справедливо утверждение
?
|| x( t ) || x12 ( t )  x22 ( t )  . . .  x N2 ( t ) 0
t 
Критерий устойчивости:
Универсальная оценка
|| x(t ) ||  ( A)  e
 ( A)  2 || A ||  || H ||
 ( A)
 t ||(AA||)
Н -- матрица Ляпунова – решения
матричного уравнения
 || x(0) ||
Дихотомия спектра A прямой
матрица Грина G  x 
1
G  x   lim
R  2
dx
 Ax
dt
  a  it
HA  A* H  I  0
имеет место, если существует
dG  x 
  A  aI  G  x     x  a  I
dx
G  x   0 при
x  
R
e
R
i x
d  i  a  I  A
1
24
Дихотомия прямой Re     a
Дихотомия спектра A прямой
матрица Грина G  x 
  a  it
имеет место, если существует
dG  x 
  A  aI  G  x     x  a  I
dx
G  x  0
1
G  x   lim
R  2
R
e
R
i x
d  i  a  I  A
при
x
1
Критерий дихотомии

1
H   dx G  x  G  x  
2

*

1
 dt   it  a  I  A   it  a  I  A
*
1

  2 A  aI H
25

1
H   dx G  x  G  x  
2


*
HA  AT H  2aI  PT P  ( I  PT )( I  P)
A  A,  2  
H  H T , T H  H 
Для убывающих при t   решений векторного уравнения
Справедливы оценки
y( t )
- t -a
T
f M e  , t  a
- a-t
Tf M -e
, t a
()
h
 sup
Px  0
P T HPx
P T Px
1

Эта матрица удовлетворяет матричным уравнениям



 




1
 dt   it  a  I  A   it  a  I  A
*
dy
 ( A  aI ) y   (t ) f
dt
M  || P || h(  )max / h(  )min
M - || I - P || h(-)max / h(-)min
T  2h(  )max
()
h
 inf
Px  0
T  2h(-)max
P T HPx
P T Px
26
Сходится ли итерационный процесс
x ( n )  x ( n1)  Ax ( n1)  f
x ( n )  A1 f  x
к решению системы
?
Ax  f
Критерий сходимости:
|| x
Н
(n)
 x |||| x
( 0)

1 
 x ||  || H ||  1 

||
H
||


-- матрица решения дискретного
матричного уравнения Ляпунова
n
2
H  A* HA  I
27
В основу вычислительной линейной алгебры естественно положить
Постулат:
Только такие числовые функции f ( A) от N  N матрицы
можно вычислять, для которых справедливо неравенство
|| f ( A)  f ( A   ) ||   ||  ||
в котором
   (|| A ||, f ( A))
A
- известная функция
При этом условии, зная || A || и точность ||  ||
можно дать гарантированную оценку точности для вычисленной f ( A)
Критерий дихотомии H ( A) удовлетворяет этому постулату
28
lg  H
Одномерный
радиальный
спектральный
портрет
1
H
2
1
2

e i *  
e  i 
0 d  I  r A   I  r A 

1
Мы показали как рассчитать H и следовательно как
нарисовать этот спектральный портрет
Портреты дихотомии прямыми Re     a
рассчитываются аналогично
1
H
2



dt[(a  i t ) I  A* ]1[(a  i t ) I  A]1
  2 || A  aI ||  || H ||
APPLICATION OF NEW MATHEMATICAL TOOL
“ONE-DIMENTIONAL SPECTRAL
PORTRAITS OF MATRIX”
TO THE PROBLEM OF AEROELASTICITY
VIBRATION
•
•
•
•
Godunov S.K
Kurzin V.B.
Bunkov V.G.
Sadkane M.
Novosibirsk
Novosibirsk
Jukovskii
Brest (France)
Из доклада, прочитанного на конференции
по аэроупругости (Москва, октябрь 2006)
30
The simple flatter model
• Without the aerodynamic
2
d
x
effect:
 Gx  0
dt 2
O 
 37.7
dx
 Gy


169
dt

G 


899
dy


x
O
1792


dt
• Modeling of aerodynamic effects
dx
  vDx   G  v 2 F  y
(v is the flow velocity)
dt
2
dy


v
D

G

v
F 
x
x




d

x

   A   , A  
dt

dt  y 
I
0
 y



0

0,12 103

F

0

0

0,197 102
0
0,176 103
0
0, 419 102
0
0,154 103
0


0
1



1
0,171 103 

D  0.73 102 



1
0




1
0



31
HA  AT H  T    I  T   I     0
A  A
 
2
 H  H
T
ka  H ,  a 
ka
A  aI
32
33
The same example
2
d  x    vD   G  v F    x 
  
 
 y 
dt  y   I
0

 x
A 
 y
V
34
Упорядоченная последовательность букв
Рассмотрим 6 букв алфавита:
а б и п р т
Рассмотрим большую (периодическую) последовательность букв:
…ритатипбратарбатпиратритатипбратарбат…
В этой последовательности:
за буквой а следует 1 раз за период буква р и 4 раза буква т,
за буквой б 1 раз следует буква а и 1 раз буква р…
а
а б и п
0 0 0 0
р т
1 4
б
и
п
р
т
1
0
0
2
2
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
Таблица вероятностей
следования букв
а
б
и
п
а
0
0
0
0
б
1
0
0
0
и
0
0
0
1
п
0
1
1
р
1
1
т
2
2
2
5
2
4
0
1
1
2
4
5
р
1
5
1
2
1
3
т
4
5
0
0
0
0
0
0
1
1
0
3
5
5
0
1
3
Упорядоченная последовательность букв
Этой последовательности
соответствует матрица:
а
б
и
п
а
0
0
0
0
б
1
0
0
0
и
0
0
0
1
п
0
1
1
р
1
1
т
2
2
2
5
2
4
0
1
1
2
4
5
р
1
5
1
2
1
3
т
4
5
0
0
0
0
0
0
1
1
0
3
5
5
0
1
3
Можно рассмотреть 32 буквы алфавита и любые длинные тексты, написанные с их
помощью. Например, произведения разных писателей. Каждому произведению
аналогичным способом сопоставляется 32х32 матрица.
Можно ли идентифицировать писателя по спектральному портрету такой матрицы?
Характерные двумерные спектральные портреты писателей
Характерные двумерные спектральные портреты писателей
Л. Толстой
А. Чехов
Граница хаусдорфова множества
38
Литература
Спасибо за внимание !