Комбинаторные задачи. Комбинаторика

Комбинаторные задачи.
Комбинаторика.
.
расположение
перестановки
n!
выбор
n!
Введение.
 Выполняя домашнее задание я столкнулась с
задачей, где мне надо было найти код замка. Я
справилась с решением, хоть и с трудом. Меня
заинтересовали задачи этого типа. И я стала
изучать литературу, подбирать похожие задачи и
решать их.
Цель.
Рассмотреть примеры комбинаторных задач научиться
выделять основные типы задач
рассмотреть алгоритмы и схемы для решения задач.
Комбинаторика - это раздел математики, в
котором изучаются вопросы о том, сколько
различных комбинаций, подчиненных тем или
иным условиям, можно составить из заданных
объектов. Комбинаторика как наука стала
развиваться в 18 веке параллельно с
возникновением теории вероятностей.
Основы комбинаторики очень важны для оценки
вероятностей случайных событий, т.к. именно
они позволяют подсчитать принципиально
возможное количество различных вариантов
развития событий, но которые нельзя описать
или охарактеризовать с помощью неизменных
закономерностей в виде формул, правил,
теорем и т.п.
История.
С аналогичными задачами, получившими название
комбинаторных, люди столкнулись в глубокой
древности. В Китае увлекались составлением
магических квадратов, в Древней Греции
подсчитывали число различных комбинаций
длинных и коротких слогов стихотворных размеров.
Комбинаторные задачи возникли в связи с такими
играми, как шашки, шахматы, карты, кости и
др.Чтобы их решить, нужно было уметь
подсчитывать число различных комбинаций,
подчинённых тем или иным условиям.
Комбинаторика.
Комбинаторика – это раздел
математики, в котором изучаются
вопросы выбора или расположения
элементов множества в
соответствии с заданными
правилами.
Комбинаторика рассматривает конечные
множества.
Термин "комбинаторика" был введён в математический обиход
знаменитым Лейбницем.
Готфрид
Вильгельм Лейбниц
(1.07.1646 - 14.11.1716) –
всемирно известный
немецкий учёный,
занимался философией,
математикой, физикой,
организовал Берлинскую
академию наук и стал её
первым президентом.
В математике он вместе с
И. Ньютоном разделяет честь создателя дифференциального и
интегрального исчислений.
В
1896
году
Элиаким Гастингс Мур
(1862-1932) ввёл
термин тактическая
Конфигурация.
Пьер де Ферма
( 1601 — 1665)
Главная заслуга —
создание теории чисел.
американский
математик
Термин "тактика" ввёл в математику английский математик
Джеймс Джозеф Сильвестр
(1814-1897) в 1861 году.
Сильвестр определял
тактику
как раздел математики,
изучающий расположение
элементов друг
относительно друга.
Магический квадрат.
Магический квадрат – квадратная таблица
(n * n) целых чисел от 1 до nќ такая, что
суммы
чисел вдоль любого
столбца,
любой строки и двух диагоналей
таблицы равны одному и тому же числу
s=n(nќ+1)/2. Число n называют порядком
магического квадрата.
В Индии и некоторых других странах магические
квадраты употреблялись как талисманы. Однако общей
теории магических квадратов не существует. Неизвестно
даже общее число магических квадратов порядка n.
Задача: Расположить натуральные числа
от 1 до 9 в магический квадрат 3х 3.
В магическом квадрате 3х 3 магической
постоянной 15 должны быть равны сумме трех
чисел по 8 направлениям: по 3 строкам, 3
столбцам и 2 диагоналям.
2 9 4
Проведенное нами простое
7
5
3
построение магического квадрата
3х 3 доказывает
6
1
8
его единственность.
Заполните магический квадрат 3х3, используя числа
9,10,11,12,13,14,15,16,17, чтобы сумма была равна 39.
Поставьте цифры 3,4,5,6,7,8 так, чтобы сумма на всех
сторонах треугольника была равна 15.
Расставить числа 1,5,7,8,9.10,11,12,18 так, чтобы в каждой
линии получилось 24.
Кубик Рубика.
 Кубик Рубика — механическая головоломка,






изобретённая в 1974 году венгерским
скульптором и преподавателем архитектуры
Эрнё Рубиком.
Кубик Рубика – это куб,
как бы разрезанный на
27 одинаковых кубичков.
В исходном положении каждая
грань куба окрашена в один из
6 цветов.
Фигурные числа.
Фигурные числа — общее название чисел,
связанных с той или иной геометрической
фигурой. Это историческое понятие восходит к
пифагорейцам. Предположительно от фигурных
чисел возникло выражение: «Возвести число в
квадрат или в куб».
Виды фигурных чисел:
Линейные числа;
Плоские числа;
Телесные числа;
Многоугольные числа:
Прямоугольные числа;
Центрированные
многоугольные числа.
Многоугольные
числа.
Способы решения комбинаторных
задач.
 Метод перебора.
 Правило суммы.
 Правило умножения.
 Таблицей.
 С помощью графов (деревьев).
 Правило треугольника.
 С помощью кругов Эйлера.
2.Правило суммы.
 Задача . На вершину холма ведут
пять тропинок. Сколько существует способов
подняться на холм и спуститься с него, если
спускаться и подниматься по разным тропинкам.
 Решение. Для того, чтобы подняться на холм
есть 5 способов. Учитывая условие, в котором
говорится, что спускаться и подниматься нужно
по разным тропинкам, спуск с холма можно
совершить 4-мя способами. Используя правило
произведения, получаем Ответ: 20 способов.

На завтрак можно выбрать булочку, кекс, пряники
или печенье, запить можно чаем, соком или кефиром.
Сколько вариантов завтрака есть?
3.Правило умножения.
х/б
изд.
булочка
кекс
пряники
печенье
Для того, чтобы найти число
чай всех возможных исходов
(вариантов) независимого
проведения двух испытаний
сок
А и В, надо перемножить число
всех исходов испытания А на
число всех исходов испытания В
кефир
напитки
Испытание
Выбор напиткаА имеет
испытание
3 варианта
А (исхода),
Выбор
а испытание
хл./бул. изделия.В-4, всего
испытание
вариантовВ
независимых испытаний А и В 3•4=12.
1. Метод перебора вариантов.
Пример 2
Из чисел 1, 5, 9 составить трёхзначное
число без повторяющихся цифр.
Дерево
Организованный
возможных вариантов!
перебор!
1
159
5
195
2 комбинации
519
9
591
2 комбинации
915
951
2 комбинации
Всего 2•3=6 комбинаций.
Семейный ужин.
Пример 1.
В семье 6 человек, а за столом в кухне 6 стульев. Было решено
каждый вечер перед ужином рассаживаться на эти 6
стульев по-новому. Сколько дней члены семьи смогут делать
это без повторений?
6•5•4•3•2•1= 720дн.-почти 2 года
6
5
4
№1
№2
№3
3
2
1
№4
№5
№6
Перестановки и их число.
Определение.
Перестановкой называется множество из n
элементов, записанных в определённом
порядке.
Теорема о перестановках элементов конечного множества.
n различных элементов можно расставить
по одному на n различных мест ровно
n! способами.
Рn  n!
4. Таблицей
 Алла, Бэла, Валентина и Галина во время майского
праздника подарили друг другу по одному цветку. Причём
каждая девочка подарила каждой по одному цветку. Сколько
всего цветков было подарено?
 Решение.
Ответ: 12
А
Б
В
Г
А
+
+
+
цветков.
Б
+
-
+
+
В
+
+
-
+
Г
+
+
+
-
5. С помощью графов (деревьев.)
Пример 3
Из цифр 2, 4, 7 составить трёхзначное число, в котором
ни одна цифра не может повторяться более двух раз.
а)Сколько таких чисел начинается с 2?
б) Сколько всего таких чисел можно составить?
2 способ:
1способ: построим дерево
2 возможных вариантов,
274
1)Числа без повторений: 247
если первая цифра числа 2
224 227 242 272
24
27
22
3)Числ0, в котором повторяется 4: 244
224 227
242 244277247 272 274 277
4)Числ0, в котором повторяется 7:
2)Числа, в которых повторяется 2:
а)Ответ: 8 чисел. б)Ответ: 24 числа.
Дерево возможных вариантов.
Пример 4.
«Этот вечер свободный можно так провести…» (А. Кушнер):
пойти прогуляться к реке, на площадь или в парк и потом
пойти в гости к Вите или к Вике. А можно остаться дома,
сначала посмотреть телевизор или почитать книжку,
потом поиграть с братом или разобраться наконец у себя на
столе. Нарисовать дерево возможных вариантов.
Вечер
Прогулка
Река
Витя
Вика
Площадь
Витя
Вика
Дом
Парк
Витя
ТВ
Вика
Брат
Стол
Книжка
Брат
Стол
Применение дерева возможных
вариантов.
Пример 4.
В закрытом ящике три неразличимых на ощупь шара: два
белых и один чёрный. При вытаскивании чёрного шара, его
возвращают обратно, а вытащенный белый шар
откладывают в сторону. Такую операцию производят 3 раза
подряд. а) Нарисовать дерево возможных вариантов.
б)В скольких случаях будут вытаскиваться шары одного
цвета? в) В скольких случаях среди вытащенных шаров белых
будет больше?
ББЧ
Ч
Ч
ББЧ
Б
Б
ББЧ
Ч
БЧ
Ч
Б
ББЧ
БЧ
Ч
БЧ
БЧ
БЧ
Б
Ч
Ч
БЧ
Б
Ч
Б
Ч
Ч
Ч
Решим задачу:
В комнате 3 лампочки. Сколько имеется различных вариантов освещения
комнаты, включая случай, когда все лампочки не горят.
1 способ: метод перебора
исходов (вариантов)
+
+++
+
-
2 лампочка
3 лампочка
+
1 лампочка
++-
2 лампочка
+
3 лампочка
+
+-+
-
3 лампочка
-
+
-
+--
-++
-+-
3 лампочка
+
--+
2 способ: правило умножения.
Испытание А- действие 1 лампочки, испытание В-действие 2 лампочки,
испытание С-действие 3 лампочки.
У каждого испытания 2 исхода: «горит» и «не горит»
Всего исходов: 2•2•2=8
---
С помощью графов.
ГРАФ – совокупность объектов со связями между
ними. Объекты представляются как вершины, или
узлы графа, а связи – как дуги, или ребра.
Исследование графов ведется комбинаторными
методами математики.
Правило треугольника.
Встретились 5 приятелей и обменялись
рукопожатиями. Сколько всего сделано
рукопожатий?
Решение.
1 2 3 4 5
1 - + + + +
2 - - + + +
3 - - - + +
4 - - - - +
5 - - - - - Ответ: 10 рукопожатий.
С помощью кругов Эйлера.
Задача. Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное
путешествие, немецким языком владеют 30 человек,
английским - 28, французским - 42. Английским и немецким
одновременно владеют 8 человек, английским и
французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя
языками - 3.
 Сколько туристов не владеют ни одним языком?
 Решение: Выразим условие этой задачи графически.
Обозначим кругом тех, кто знает английский, другим
кругом - тех, кто знает французский, и третьим
кругом - тех, кто знают немецкий.
Всеми тремя языками владеют три туриста,
значит, в общей части кругов вписываем
число 3. Английским и
французским языком
владеют 10 человек,
а 3 из них владеют еще
и немецким.
 Следовательно, только английским
 и французским владеют 10-3=7 человек.
3. « Эн факториал»-n!.
1•2•3•4•5•6=720
Определение.
Произведение подряд идущих первых n
натуральных чисел обозначают n! и называют
«эн факториал»: n!=1•2•3•…•(n-1)•n.
2!= 1•2= 2
3!= 1•2•3= 6
4!= 1•2•3•4= 24
5!= 1•2•3•4•5= 120
6!= 1•2•3•4•5•6=720
7!= 1•2•3•4•5•6•7=5040
Расписание уроков.
Пример 3.
В 9 классе в среду 7 уроков: алгебра, геометрия, литература,
русский язык, английский язык, биология и физкультура.
Сколько вариантов расписания можно составить?
Расставляем предметы по порядку
Предмет
Число вариантов
Алгебра
7
Геометрия
6
Литература
5
Русский язык
4
Английский язык
3
Биология
2
Физкультура
1
Всего вариантов расписания
1•2•3•4•5•6•7= 7!=
=5040
Заключение.
 Работая над темой Комбинаторика я понял что можно
решать сложные задачи, но вначале надо научиться
решать простые задачи
 Комбинаторикой нужно интересоваться т.к она может
помочь в реальной жизни
 В учебных заведениях ( составление расписаний)
 В сфере общественного питания (составление меню)
 Русский язык (рассмотрение вариантов
комбинаций букв)
 Спортивные соревнования (расчёт количества
игр между участниками) и в других областях
 Комбинаторика повсюду.
 Комбинаторика везде.
 Комбинаторика вокруг нас.
 Решение комбинаторных задач развивает
творческие способности, помогает при решении
олимпиадных задач, задач на экзамене..
Навыки решения задач используются, как в часы
досуга, так и для работы в секретных службах,
развития математических способностей. Мы
полагаем, что результаты моей работы вызовет
интерес у моих одноклассников и ребят,
интересующихся математикой.