Некоторые классы конечных групп с примарными пересечениями неинцидентных подгрупп М

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
2012
Вып. 1(9)
М А Т ЕМ А Т И К А
УДК 512.54
Некоторые классы конечных групп
с примарными пересечениями неинцидентных
подгрупп
Я. Д. Половицкий
Пермский государственный национальный исследовательский университет
Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
alg@psu.ru; (342)236-82-83
Получено описание ряда классов конечных групп с примарными пересечениями неинцидентных подгрупп. В частности, описаны конечные разрешимые группы с этим и некоторыми более сильными условиями.
Ключевые слова: инцидентны; примарный; группа; пересечение; разрешимый.
G  AB  G  полупрямое произведение подгрупп A и B;
□ – конец доказательства.
Введение
В ряде работ автора изучались группы с
различными условиями инцидентности, в
частности группы, в котором любые две собственные подгруппы, имеющие пересечение
определенного вида, инцидентны (см., например, [1–3]). В настоящей работе в качестве
таких пересечений используем примарные
группы. Описаны широкие классы конечных
групп с этим и близкими к нему условиями.
Основные результаты работы – теоремы 4–6.
Некоторые свойства PIN-групп
Определение 1. Группу, в которой пересечение любой пары неинцидентных подгрупп является примарной группой или неинцидентных подгрупп нет, назовем
PIN-группой или группой с условием PIN.
Другими словами, PIN-группы – это
группы, в которых любые две собственные
подгруппы, имеющие непримарное пересечение, инцидентны.
PIN-группами, в частности, являются:
1) все примарные группы; 2) группы,
содержащие не более одной собственной непримарной подгруппы; 3) группы, в которых
любые непримарные подгруппы инцидентны;
4) все группы порядков pq, p 2 q, pqr ; 5)
группы, в которых любые две неинцидентные
подгруппы пересекаются по единице – такие
группы рассмотрены в работе [2] и названы
там V-группами.
В работе используются следующие обозначения:
N  G – N – нормальная подгруппа
группы G;
M  G – M – максимальная подгруппа
группы G;
A  B – подгруппы A и B инцидентны;
группы типа р1  р 2  ... р s – прямое
произведение циклических групп простых
порядков p1 ,..., p s ;
© Половицкий Я. Д., 2012
5
Я. Д. Половицкий
В работе [2] описаны локально конечные V-группы (теоремы 1 и 3, лемма 5).
Теорема 1 (см.[2]). Локально конечная
группа G является V-группой тогда и только
тогда, когда она – группа одного из следующих типов: 1) циклическая p-группа; 2) элементарная абелева группа порядка p 2 ; 3) порядка pq (p, q – различные простые числа);
4) G  KQ – группа Фробениуса, где K –
элементарная абелева группа порядка
Доказательство.
A  B  ( A  B)
не является
R
R
R
r-группой. Тогда ( A  B ) – непримарная
Пусть
группа, и в силу PIN-условия A  B , а тогда
A
G, то G
2
p ,
B
N
 ( A  B)
– не-
G
N
 B
N
R
является
X
 I (1) для
любого X  N (Q ) .
Доказательство. Если p не делит G ,
то по лемме 2 G разрешима, в противоречие
с условием. Значит, p G . В силу леммы 2
G является INp-группой, и потому по определению
справедливо (1). Если бы
N (Q )  Q , то по теореме Фробениуса G
была бы непростой, в противоречие с условием. Значит, N (Q )  Q . □
Лемма 3. Если PIN-группа G имеет истинную непримарную нормальную подгруппу
N, то G
– примарная циклическая или кваN
зициклическая p-группа.
R
2
Доказательство. Пусть A
N
,B
N
–
любые две собственные подгруппы группы
G . Вследствие того что N – непримарная
N
группа и ( A  B )  N , A  B – непримарная группа. Ввиду PIN-условия для G тоA  B ,
гда
выполняется
откуда
является INr-группой. Если R –
силовская r-подгруппа группы G, то G
 R , и
– r'-группа, т.е. r   G
нормализатора и Q  Q
. Значит
Определим еще один подкласс PIN-групп.
Определение 2. Группу, в которой пересечение любой пары неинцидентных подгрупп является r-группой, где r – фиксированное простое число, или неинцидентных
подгрупп нет, назовем INr-группой (или группой с условием INr).
Очевидно, что INr-группы – подкласс
класса PIN-групп, а V-группы – INr-группы
при любом r. Отметим, что при r   (G )
всякая INr-группа является V-группой.
Нетрудно видеть, что условие INr переносится на подгруппы и фактор-группы.
Важная роль INr-групп в изучении
PIN-групп видна из следующего утверждения.
Лемма 2. Пусть PIN-группа G имеет
инвариантную r-подгруппу R. Тогда фактор-
R
R
P
– PIN-группа. □
группа G
– INr-группа.
INp-группа, любая силовская q-подгруппа
Q группа G при q  p отлична от своего
примарна, и потому, в силу PIN-условия,
N
R
V-группой. Если G локально конечна, то в силу следствия 1 теоремы 1 она разрешима. □
Следствие 1. Если G – непримарная локально конечная PIN-группа, а R – ее силовская r-подгруппа, то N(R) – разрешимая группа. Если N(R) – конечная группа, то
N ( R)  RS , где S – r'-группа одного из
типов 1–4 теоремы 1.
Следствие 2. Пусть конечная неразрешимая PIN-группа G является расширением p-группы P при помощи простой неабелевой группы G  G . Тогда p G , G –
N
примарная группа, то подгруппа A  B неA  B , а тогда A
. Значит, G
потому, как отмечено выше, G
минимальная нормальная подгруппа группы
G; 5) квазициклическая p-группа.
Следствие 1. Всякая локально конечная
V-группа разрешима.
Следствие 2. Все истинные подгруппы
локально конечной V-группы примарные.
Лемма 1. Условие PIN переносится на
подгруппы и фактор-группы.
Доказательство. Для подгрупп справедливость утверждения леммы 1 очевидна.
Если
G
–
PIN-группа,
и
N G
N
R
Если R – силовская r-подгруппа группы
Q  q (простое число), q  p , причем K –
A
 B
R
–
V-группа, являющаяся r'-группой; если при
этом G локально конечна, то она разрешима.
6
Некоторые классы конечных групп с примарными пересечениями…
A
 B
бы одна силовская q-подгруппа группы G при
q  p имеет непростой порядок, то P – элементарная абелева p-группа.
Лемма 5. Пусть G – конечная PIN-группа, P – ее инвариантная p-подгруппа, S –
p'-подгруппа группы G. Если в P существует
собственная S-допустимая подгруппа, то S –
. Значит, G
– группа с услоN
вием инцидентности, и потому, как известно,
является циклической p-группой или квазициклической p-группой. □
Следствие. В произвольной PIN-группе
нормализатор любой непримарной разрешимой подгруппы является разрешимой подгруппой.
Лемма 4. Пусть в непримарной PIN-группе
G существует инвариантная p-подгруппа P, S –
собственные подгруппы группы G, S  P  1
(1) и S не является p-группой. Если P имеет
собственную S-допустимую подгруппу B, то
S  q – простое число, отличное от p.
N
N
Доказательство. Предположим
тивное.
Тогда
существует
S1 ,
1  S1  S (2) и
(ибо S – не
простое число, отличное от p, и любые две
собственные S-допустимые подгруппы A и B
группы P либо инцидентны, либо пересекаются по 1.
Доказательство. В силу PIN-условия
либо
Пересечение
( PS1 )  ( BS )  BS1 – непримарная груп-
па,
и
потому
в
силу
( PS1 )  ( BS ) (3). Если
Следствие 1. Если G – конечная PINгруппа, P – ее инвариантная элементарная
абелева p-подгруппа, S  G, ( S , p)  1 и в P
PIN-условия
( PS1 )  ( BS ),
P  BS и, так как P  B, имеем
P  B ( S  P)  B (ввиду (1)), что входит в
то
противоречие
с
условием.
либо
( AS )  ( BS )  1 (2). Из (1) следует, что
A  B (ибо A и B – единственные силовские
p-подгруппы, соответственно групп AS и
BS ), а из (2) – что A  B  1. Простота
S следует из леммы 4. □
прочто
S1 не является p-группой
p-группа).
( AS )  ( BS ) (1),
есть собственная S-допустимая подгруппа, то
S – простое число, любые две различные
Если
же
и, так как
собственные S-допустимые подгруппы A и B
группы
P
пересекаются
по
1,
( PS1 )  ( BS ), то S  PS1
S  S1 , имеем S  (S  P)S1  S1 (ввиду
P  A  B (3), и A, B – минимальные
(1)), что входит в противоречие с (2). Значит,
S – простое число, отличное от p. □
S-допустимые подгруппы группы G.
Следствие 1. Если в конечной
PIN-группе G существует инвариантная подгруппа P и такая подгруппа S непростого порядка, не являющаяся p-группой, что
S  P  1, то P – элементарная абелева группа, не имеющая собственных S-допустимых
подгрупп.
Доказательство. В силу леммы 4 в P
нет собственных S-допустимых подгрупп (ибо
S непростой).
Доказательство. Пусть A  B  1 (4).
Тогда по лемме 5 A  B. Пусть, например,
Пусть Z 1 – нижний слой центра группы
P. G конечен, следовательно Z1  1. Если
B  P, вопреки выбору B. Если же B  A1 ,
то вследствие (5) A  A1 , что противоречит
(6). Значит, A1  B  1, и из (7) получаем,
что B  A, вопреки их выбору. Значит, (4) не
выполняется и A  B  1. Ввиду того что
A  B S-допустимая, то из леммы 5 следует,
что P  A  B. Простота S вытекает из
A  B (5). По теореме Машке, существует
S-допустимая подгруппа A1 группы P, такая,
что P  A  A1 (6). Из (5) и (6) следует,
Если
B  A  ( A1  B) (7).
A1  B  1, то по лемме 5 A1  B. Если
что
B  A1 , то отсюда и из (5) следует, что
Z1  P, то Z 1 – собственная S-допустимая
подгруппа группы P, что невозможно, как отмечено выше. Значит, Z1  P, т.е. P – элементарная абелева p-группа. □
Следствие 2. Если конечная PIN-группа
G имеет инвариантную p-подгруппу P и хотя
леммы 4. Из доказанного следует, что A и B –
7
Я. Д. Половицкий
минимальные S-допустимые подгруппы
группы P.□
Следствие 2. Пусть G – конечная PINгруппа, G  PS , P – p-группа, S – p'группа, 1  N  P и N  G . Тогда любая
собственная S-допустимая подгруппа A груп-
потому A  B  N (2) – единица группы G.
С другой стороны, применяя к PIN-группе
S  MQ следствие 2 леммы 5, получаем,
что A  B (3). Из (2) и (3) следует, что или
A , или B – единица группы S , что противоречит выбору A . Значит, в M нет собственных Q -допустимых подгрупп. □
пы P такая, что A  N  1 (8), инцидентна
S
N,
– простое число и все
допустимые подгруппы группы P
QN
N
N
-
Лемма 7. Пусть PIN-группа G имеет
собственную непримарную нормальную
подгруппу M. Тогда для любой силовской
q-подгруппы Q группы M справедливо ра-
инци-
дентны.
Доказательство. По лемме 5 Q – простое число и A  N (ввиду (8)). Если C
T
N
– две собственные QN
N
N
венство G  M  N (Q) (4). Если Q неинвариантна в M, то
и
-допустимые
N (Q)  M  N M (Q)  Q (5).
, то C и T Q-
Доказательство. Равенство (4) справедливо по лемме Фраттини.
Если N M (Q)  N (Q)  M – непримарная группа, то в силу PIN-условия
Следствие 3. Утверждение леммы 5
справедливо и для любой подгруппы S x
группы G ( x  G ) и ее S x -допустимых подгрупп (так как из того, что P  G , следует,
что если A  S x -допустимая подгруппа груп-
N (Q)  M (6) , а тогда из (4) следовало бы,
подгруппы группы
P
N
допустимы, (C  T )  N  1, и в силу леммы
5 C  T , а тогда C  T .□
N
N
что либо G  M (в противоречие с условием),
либо G  N (Q) (7). Если Q 
 M , то (7) невозможно, и потому невозможно и (6). Значит, N M (Q) – примарная группа, и потому
выполняется (5). □
Следствие. Если при условиях леммы 7
подгруппа M простая, то x  M , что
Q  Q x  1.
Действительно, в противном случае
Q  Q x  1 x  M \ Q , и в силу (5) и теоремы Фробениуса группа A не простая.
1
пы P, то A x является S-допустимой и содержится в P).
Лемма 6. Пусть G – PIN-группа,
G  RQ, где P – p-группа, Q  q  простое
число и q  p. Если N, M – инвариантные в G
собственные
подгруппы
группы
P,
1  N  M и M N – элементарная абелева
p-группа, то в M
нет собственных QN N
Конечные непримарные PIN-группы с инвариантной силовской подгруппой
N
допустимых подгрупп.
Доказательство. По лемме 1 G
PIN-группа.
G G
N
,M  M
Введем
N
Отметим, что Q  Q
,  P
QN
–
N
Теорема 2. Конечная непримарная
группа G с инвариантной силовской p-подгруппой P является PIN-группой тогда и
только тогда, когда она – группа одного из
следующих типов (ниже p, q, r – различные
простые числа):
I.
G  C, C  q и все собственные
обозначения:
N
, Q  QN
N
.
 Q, т.е. Q  q.
Рассмотрим S  MQ . По лемме 1 S
является PIN-группой.
Пусть в M существует собственная
Q -допустимая подгруппа A . В силу того,
C-допустимые подгруппы группы P исчерпываются следующими:
1) Z i (i  1,..., s) , где
что M – элементарная абелева, по теореме
Машке M  A  B , где B  Q -допустима, и
8
Некоторые классы конечных групп с примарными пересечениями…
1  Z 0  ...  Z i  Z i 1  ...  Z s  Z s 1  P ,
и Z i 1 Z i – нижний слой центра группы
P
Zi
Z i 1
подгрупп Z i , такой, что Z 0  1 и
(1)
Zi
–
нижний
слой
центра
группы
P (i  0,1,..., k ) . Все Z i  G и потому
Zi
C-допустимы. Доказан пункт 1) типа I.
Пусть S – любая собственная C-допустимая подгруппа группы P, отличная от
всех Z i . Если S  Z1 , то в силу следствия 1
леммы 5 пересечение S с любой C-допустимой подгруппой группы Z 1 равно 1. Доказан пункт 3) типа I.
Пусть S  Z1 . Тогда по лемме 5 либо
(i  0,1,..., s) ;
2) возможно, элементарными абелевыми группами S i , являющимися минимальными C-допустимыми подгруппами группы P,
причем Z i 1  Z i S i , (i  1,..., s) ;
3) возможно, некоторыми собственными подгруппами группы Z 1 , попарные пересечения которых равны 1.
II. G  PC , где P – элементарная абелева
p- группа, C – одна из следующих групп:
1) циклическая порядка q n , n  1 ;
2) элементарная абелева группа порядка
2
q ;
3) порядка qr;
4) C  KL , где K – элементарная абелева группа порядка q 2 , L  r , K – мини-
S  Z1 , либо S  Z1  1 (3) . Рассмотрим
каждый из этих случаев.
1.1. S  Z1 . Тогда S  Z i  1 для любого i  1 и существует k, что S  Z k , но
S
 Z k 1 . Отсюда, в силу леммы 5, S  Z k 1 .
CZ k
Тогда подгруппа S
-допусти
Zk
Zk
Z k 1
мая подгруппа группы
. Так как
Zk
мальная нормальная подгруппа группы C, в P
нет истинных C-допустимых подгрупп и либо
для любой собственной подгруппы C1 группы C в P нет собственных C1 -допустимых
подгрупп, либо в P есть собственная
C1 -допустимая подгруппа, и тогда С1 про-
последняя элементарная абелева, то по лемме
стой и любые такие C1 -допустимые подгруппы пересекаются по 1.
подгрупп, а
6 в ней нет собственных
Zk
Zk
 S
CZ k
Zk
-допустимых
Zk
Z
 k 1
Zk
.
Полученное противоречие показывает, что
случай 1.1 невозможен.
Замечание. Известно, что в конечной
разрешимой группе холловские подгруппы
одного порядка сопряжены. Так как в группах
типов I и II C – холловская p'-подгруппа, то из
выполнимости условий этих типов для
C-допустимых или C1 -допустимых подгрупп
группы P следует, очевидно, выполнимость
таких же условий и для других холловских
p'-подгрупп С x и их подгрупп C1x (при любом x  G ).
Необходимость. Пусть G – конечная
PIN-группа, P – ее инвариантная силовская
S  Z1  1 . Тогда
1.2.
 m , что
S  Z m  1 (4) , но S  Z m1  1 , и по лемме
 Z1 , то S 
5 S  Z . Так как S 
 Z ,и
m 1
S  Z m1 .
потому
SZ m
Zm
m 1

CZ m
Zm
-допустимая
Подгруппа
подгруппа
элементарной абелевой группы Z m 1
. В
Zm
силу леммы 6 таких собственных подгрупп в
p-подгруппа и G  P . Тогда G  PC (1) ,
где C – p'-группа.
Возможны следующие случаи:
1. C  q – простое число.
Z m 1
Zm
нет, и потому SZ m  Z m1 , т.е. в си-
лу (4) Z m 1  Z m S (5) , причем в S нет истинных C-допустимых подгрупп. Так как
В силу того что P – конечная p-группа,
в ней существует ряд (1) характеристических
Z m 1
9
Zm
– элементарная абелева группа, из
Я. Д. Половицкий
(5) следует, что S – элементарная абелева
группа и минимальная нетривиальная C-допустимая подгруппа группы P.
Доказан пункт 2) типа I.
Итак, в случае 1 мы показали, что G –
группа типа I.
2. С не является простым числом.
при разных i – так как S i – минимальные
C1 -допустимые, а P1  1 . Далее, P2 и P3 не
могут, ввиду неравенства (9) и условия 3) типа I, содержаться и в Z 1 . Значит, либо P2 и
P3 – это Z i и Z k , а они инцидентны, и тогда
A  B , либо одна из P2 и P3 – это Z j , а
Тогда в силу следствия 1 леммы 4 в P
нет собственных C-допустимых подгрупп. По
следствию 2 леммы 4 P – элементарная абелева группа. В силу следствия 1 леммы 2
G

другая совпадает с S i  ( Z i 1 \ Z i )  1 . Так как
в силу (9) Z j  S i  1 , то j  i , и потому
Z j  S i , и опять A  B .
 C – p'-группа, являющаяся группой
Этим доказано, что любая группа типа I
является PIN-группой.
2. Пусть G – группа типа II и ее различные истинные подгруппы A и B имеют непримарное пересечение.
Если хотя бы для одной из них (например, для A) A  P  1 , то по определению
одного из типов 1–4 теоремы 1, но имеющая
непростой порядок.
Если для любой С1 : 1  C1  C в P нет
истинных C1 -допустимых подгрупп, то G –
одна из групп типа II.
Если же для некоторой такой подгруппы C1 в P есть истинная C1 -допустимая
группы типа II AP
P
A
P A
 A и, так
подгруппа, то по следствию 1 леммы 5 С1 –
как G
простое число и любые две собственные
C1 -допустимые подгруппы группы P пересекаются по 1. И в этом случае G – одна из
групп типа II.
Необходимость доказана.
это V-группа, а по следствию 2 теоремы 1 такие группы не имеют истинных непримарных
подгрупп, т.е. A  C и A  B  A , т.е.
A  B . Остается cлучай: A  P  A1  1 ,
P
 C , то A изоморфна C1  C . Но C –
B  P  B1  1 . Тогда A  A1S1 (10)
B  B1S 2 (11), где S i – p'-группы (i = 1, 2).
Достаточность
1. Пусть G – группа типа I и ее различные истинные подгруппы A и B имеют непримарное пересечение. Тогда A  B  P1C1 ,
Возможны подслучаи:
2.1. Хотя бы одна из подгрупп A1 или
где P1  P , а C1  C  q . Отсюда и из
B1 отлична от P.
Пусть A1  P . Тогда A1 – истинная
S1 -допустимая подгруппа группы P. Теперь
G  PC следует, что G  PC1 (6) . Из
замечания после теоремы 3 вытекает, что собственные C1 -допустимые подгруппы группы P
из определения группы типа II, ввиду сделанного после теоремы 3 замечания, следует, что
S1 – простое число. Поскольку A  B не-
– это те же Z i (i  1,..., k ) (ибо Z i  G ) и подгруппы с теми же условиями, которые описаны
в пунктах 2) и 3) типа I.
примарна, то ( A  B)  ( A1  B1 )S 3 (12) ,
A  P2C1 (7), B  P3C1 (8) ,
где S 3  S1 . Поэтому из (10) и (12) получа-
где P2 , P3 – С1 -допустимы и P2  P3  P1  1 (9) ,
ем A  A1S 3 (13) . Отсюда и из (12) следует,
P2  P, P3  P (ибо A и B отличны от G). Но
из описания C-допустимых подгрупп группы
P в типе I следует, что такими подгруппами
P2 и P3 группы P, имеющими нетривиальное
что А1 и ( A1  B1 ) – две S 3 -допустимые собственные подгруппы группы P. Если они различны, то по определению группы типа II
должны пересекаться по 1, а они инцидентны.
Значит, A1  A1  B1 , т.е. ( A  B)  A1S 3  A
Имеем
пересечение, не могут быть две подгруппы
S i  (1  Z i 1 \ Z i , i  0) как при одном, так и
(ввиду (13)), и потому A  B .
10
Некоторые классы конечных групп с примарными пересечениями…
Аналогично
при
B1  P
Необходимость. Пусть G – конечная
разрешимая ненильпотентная PIN-группа.
Возможны 2 случая:
1. В G есть инвариантная силовская подгруппа. Тогда по теореме 2 G – одна из
групп типов I или II.
2. В G нет инвариантных силовских подгрупп.
Поскольку G разрешима, то она имеет
инвариантную p-подгруппу. Пусть P – максимальная инвариантная p-подгруппа группы G.
получим
B  A . Мы показали, что в случае 1 A  B .
2.2. A1  P, B1  P .
Тогда A  P, B  P и A
P
и B
две собственные подгруппы V-группы G
–
P
,и
P
(тогда A  B ),
 B
P
P
либо A  B  P , а тогда A  B  P ,
P
P
P
потому либо A
Разрешимая группа G
вопреки условию пункта 2.
Итак, в группе типа II все неинцидентные подгруппы имеют примарные пересечения, и потому такая группа является
PIN-группой. □
Следствие 1. Конечная непримарная
нильпотентная группа является PIN-группой
тогда и только тогда, когда она либо циклическая порядка pqr или pq n , либо группа типа
p pq.
Действительно, из групп типа I для нильпотентных групп получаются группы порядка
pq и типа p  p  q , а из групп типа II – цик-
имеет инвариантную
P
силовскую q-подгруппу S
P
q p
, причем
(ввиду максимальности P). Применяя к
подгруппе S следствие 1 леммы 2, получаем: S  PQ (1) , где Q – либо циклическая
q-группа, либо группа типа q  q .
Отметим, что S  G , либо в G нет инвариантных силовских подгрупп.
Если G
не делится на p, то P – инва-
P
риантная силовская p-подгруппа группы G,
что входит в противоречие с условием пункта
лические группы порядков pqr , pq n (n  1) и
снова тип p  q  q , отличающийся от типа
p  p  q только обозначениями.
Следствие 2. Конечная непримарная
нильпотентная PIN-группа абелева.
Следствие 3. Конечная PIN-группа с
инвариантной силовской p-подгруппой разрешима (вытекает из описания типов I–III в
теореме 3).
2. Значит, p| G
P
. Так как S – непримарная
группа, то по лемме 1 G
S
– примарная цик-
лическая, т.е., в силу доказанного выше, циклическая p-группа.
Поскольку S  ( PQ)  G , то по лемме
7
справедливы
следующие
равенства:
G  S  N (Q)  P  N (Q) (2), N (Q)  S  Q (3) .
Конечные ненильпотентные
разрешимые PIN-группы
Из (1) и (3) следует, что N (Q)  P  1 (4) .
Из (2) и (4) получаем: G  PN (Q) (5) .
Теорема 3. Конечная разрешимая ненильпотентная
группа
G
является
PIN-группой тогда и только тогда, когда она –
группа одного из следующих типов:
I. Типа I из теоремы 2;
II. Типа II из теоремы 2;
III. G  P (QP1 ) , где P – элементарная
Так как G
S
равенств
G
S
 SN (Q)
– циклическая p-группа, то из
(2)
S
и
 N (Q)
(3)
N (Q)  S
следует:
 N (Q)
Q
–
циклическая
p-группа,
и
потому
N (Q)  QP1 (6), где P1 – циклическая
p-группа.
Пусть
не
простой.
Тогда
P1
абелева p-группа, Q  q, P1  p, N (Q)  QP1
– неабелева группа, в P нет истинных N (Q) допустимых подгрупп и любые две различные
собственные Q-допустимые подгруппы группы P либо пересекаются по 1, либо таких подгрупп в P нет.
 P2 : 1  P2  P1 . Имеем следующее:
( P (QP2 ))  N (Q)  QP2 ,
11
(7)
Я. Д. Половицкий
лучаем, что B  C , т.е. A  B , вопреки выбору A и B. Случай 1 невозможен.
2. С  P. Тогда C  P (ибо она не-
– непримарная группа, причем подгруппы,
стоящие в левой части равенства (7), не инцидентны. Это противоречит PIN-условию. Значит, P1  p и N (Q)  qp .
примарна), а, так как G
Так как N (Q) не простой, то по лемме
ственная Q1 -допустимая подгруппа группы P.
Имеем: ( A  P)  C1 (7), ( A  P)
5 для различных Q1 -допустимых подгрупп
группы P выполняются те же условия из типа
III, что и для Q. Поэтому из (7) следует, что
либо A  P  C1 (8) , либо A  P  P .
В последнем случае A  P (ибо A непримарна), а тогда A  S (ибо A  G ).
Вследствие того что ( B  P)  C1  1 , таким
же образом доказывается, что либо
N (Q1 )  S  Q1 , и потому G  PN (Q1 ) (1) .
Поскольку Q1  Q x , то N (Q1 )  N (Q) x . По
B  P  C1 (9) , либо B  S .
Возможны 2 подслучая:
a) B  S или A  S ;
b) B  S и А  S .
Рассмотрим каждый из них.
a) Пусть B  S (случай A  S рассматривается аналогично). Тогда B  P  C1 ,
определению группы типа III в P нет собственных N Q -допустимых подгрупп. Тогда, так как P  G , в P нет и собственных
N (Q1 ) -допустимых подгрупп.
Возможны три случая.
1. C  P  1. Тогда из (1) получаем:
C
P C
G
P
причем
C1  B . Так как S  G , то
( B  S )  B . Из S  PQ1 и ( B  S )  Q1
 C , т.е. C изоморфна не-
примарной подгруппе группы G
 qp , то C  qp и C  G
P
P
следует
. Так как
справедливость
равенства
( B  S )  ( B  P)Q1  C1Q1 (10) , поэтому
. Поэтому
по лемме 7, примененной к B и ее инвариант(B  S ) ,
ной
p-подгруппе
имеем:
Q1  C и C  N (Q1 ) (2) . Отсюда и из (1)
B  ( B  S )  N B (Q1 )  C1Q1  N B (Q1 )  C1N B (Q1 ) (11)
имеем G  PC (3) .
Тогда
Q1 -до-
пустима и C1  1 . В силу следствия 3 леммы
Q1  S  PQ  G, S  PQ1 , то из леммы
7
получаем
G  S  N (Q)  P  N (Q1 ) ,
P
 pq, C  G .
Поэтому C  A  B , вопреки выбору A и B.
3. (C  P)  C1 – собственная подгруппа группы P.
Так как (C  P )  C , то С1 – соб-
4 в P нет собственных N (Q) -допустимых
подгрупп, а по следствию 1 леммы 4 P – элементарная абелева p-группа. Применяя к
S  PQ следствие 1 леммы 5, получаем, что
любые две Q-допустимые подгруппы группы
P (если такие есть) пересекаются по 1. Значит,
G – группа типа III.
Необходимость доказана.
Достаточность. Группы типа I и II являются PIN-группами по теореме 2.
Пусть G – группа типа III и A, B – ее
различные истинные подгруппы с непримарными пересечением C. Тогда C содержит
группу Q1 , сопряженную Q. Так как
CP
P
(использовалось (10) и то, что по лемме 7
N B (Q1 )  P  1 ).
Поскольку B  S , то из (11) следует,
A  ( A  P)C (4)
и
( A  P)  C -допустимая подгруппа группы
P. В силу (2), как показано выше, в P нет собственных C-допустимых подгрупп, т.е. либо
что N B (Q1 )  Q1 (12) . Но N B (Q1 )  N (Q1 ) ,
а
A  P  P (5) , либо A  P  1 (6) . Равенство (5) невозможно, так как тогда, ввиду (4),
A  G . Значит, справедливо (6), в следствие
чего, ввиду (4) и (3), A  C . Аналогично по-
N (Q1 )  N (Q)  pq . Учитывая это, из
(12) получаем N B (Q1 )  N (Q1 ) . Отсюда и из
(11) следует, что C1  N (Q1 ) – допустимая
подгруппа группы P, причем по условию
12
Некоторые классы конечных групп с примарными пересечениями…
PIN-групп – INNr-групп и определенных выше INr-групп (см. определение 2).
Определение 4. Группу, в которой пересечение любой пары неинцидентных непримарных подгрупп является r-группой,
где r – фиксированное простое число, или
таких неинцидентных подгрупп нет, назовем INNr-группой (или группой с условием
INN r).
В частности, INNr-группой (при любом
простом r) является группа, в которой либо
все непримарные подгруппы инцидентны,
либо нет истинных непримарных подгрупп.
Очевидно, что INNr-группы и INr-группы являются PIN-группами, а INr-группы –
подкласс INNr-групп. Всякая примарная группа является INr-группой и потому и INNr-группой.
Легко видеть, что условия INr и INNr
переносятся на подгруппы.
Докажем несколько вспомогательных
предложений об INNr-группах.
Лемма 8. Пусть G – INNr-группа, Q – ее
q-подгруппа, r   (G ) и в G существуют две
пункта 3 С1 – собственная подгруппа группы
P. Это противоречит тому, что, как отмечено
в начале доказательства достаточности, в P
нет собственных N (Q1 ) -допустимых подгрупп. Значит, случай a) невозможен.
b) А  S , B  S . Если здесь выполняется хотя бы одно равенство, то A  B . Если же А  S и B  S , то, так как S, как легко
видеть – группа типа II из данной теоремы,
для пары A и B PIN-условие выполняется.□
Определение 3. Группу, в которой порядок пересечения любой пары неинцидентных подгрупп делит n-ю степень некоторого
простого числа, где n фиксированное, а указанные простые числа могут быть и различными, либо любые две подгруппы инцидентны, назовем PINn-группой.
Легко увидеть, что PINn-группы – это
подкласс PIN-групп. В работе автора [1] получено описание конечных разрешимых
PIN2 -групп (они названы K-группами).
Нетрудно доказать следующие два
предложения:
Предложение 1. Конечные p-группы с
условием PINn – это все группы, порядки которых делят p n  2 , и только они.
Предложение 2. Если PINn-группа G
имеет для некоторой q-подгруппы Q
Q-допустимую подгруппу N и N  Q  1 , то
Q-допустимые p-подгруппы P1 и P2 , такие,
что P1  P2  1 ( p  q ) .
Тогда r  q , т.е. G –INNq-группа.
Доказательство. Из условий леммы
следует,
что
справедливо
равенство
( P1Q)  ( P2 Q)  ( P1  P2 )Q  Q – q-груп-
Q | q n1 .
па. Так как ( P1Q) и ( P2 Q) непримарны и
неинцидентны, то r  q , т.е. G – INNq-группа. □
Лемма 9. Пусть G – непримарная INNqгруппа, q   (G ) , P – ее инвариантная силов-
Теперь из теоремы 3 и этих предложений получаем описание класса конечных разрешимых PINn-групп.
Теорема 4. Конечная разрешимая группа G является PINn-группой тогда и только
тогда, когда она – либо примарная группа,
порядок которой делит p n  2 , либо группа одного из типов I–III теоремы 3, в которых
 | p n  2 и выполняются следующие допол-
p  q, 1  S  P и
S  G . Тогда G  S и G S является цикли-
ская
ческой группой порядка p n q (n  1) .
Доказательство. Пусть R
нительные условия: для типа I – S | p n для
любой упомянутой там подгруппы S; для типа
II
–
Q |q
n 1
,
а
порядок
любой
p-подгруппа,
ская r-подгруппа группы G
Q1 -
G
допустимой подгруппы группы P делит p n ;
для типа III – порядок любой Q-допустимой
подгруппы группы P делит p n .
Из этой теоремы следует и полученное
в [2] описание PIN2-групп.
Из теоремы 3 нетрудно получить
описание и некоторых других подклассов
S
S
S
– силов-
и r  p . Если в
существует отличная от нее силовская
r-подгруппа
R1
S
, то R и R1 непримарны,
неинцидентны, а ( R1  R2 )  S , т.е. R  R1
делится на p, вопреки определению INNqгруппы. Значит, в G
13
S
все силовские r-под-
Я. Д. Половицкий
группы при r  p инвариантны. Силовская
p-подгруппа P
S
2. Абелева группа типа p  p  q .
3. G  PC , P – элементарная абелева
p-группа, C – группа типа q  q или цикличе-
, в силу условия теоремы,
также инвариантна в G . Значит, G
S
S
–
ская порядка q n (n  1) и в P нет собствен-
нильпотентная группа. Так как она непримарная и является PIN-группой, то по следствию
2 теоремы 2 G
S
ных С1 -допустимых подгрупп для любой С1 ,
где 1  C1  C (если C – типа q  q , то r равно p; если C циклическая, то r – любое из
 (G ) ).
4. G  PC , где P – группа типа
p  p , C – циклическая группа порядка
абелева, и потому G  S . В
G любые две не p-подгруппы A и B, содержащие S, инцидентны – ибо ( A  B)  S , и потому ( A  B ) не может быть q-группой, а
тогда A  B . Отсюда и из следствия 1 теоремы 2 вытекает, что G
S
q n , n  1 . В P есть собственные С1 – допустимые подгруппы только для подгруппы С1
порядка q группы C и C1  Z (G) (для таких
– циклическая
n
группа порядка p q . □
Следствие. Если при условиях леммы 9
кроме S  G в P существует еще одна подгруппа S1 : 1  S1  P , такая, что S1  G и
групп r равно q).
5. Циклическая группа порядка pq n .
Необходимость. Пусть G – конечная
непримарная разрешимая INNr-группа и r делит G . Тогда она является PIN-группой.
S  S1  1 (1) , то G – абелева группа типа
p pq.
I. G – ненильпотентная группа.
Тогда по теореме 3 G – одна из групп типов I
– III этой теоремы.
Рассмотрим каждый из них.
1. G – группа типа I.
Возможны подслучаи:
1.1. Единственными истинными
С-допустимыми подгруппами группы P является Z i , i = 0, 1 ,… k. Тогда G – группа типа 1
теоремы 5.
1.2. В P существует хотя бы одна собственная C-допустимая подгруппа S, отличная
от всех Z i , i = 0, 1 ,… k. Покажем, что в P
найдется собственная C-допустимая подгруп-
Действительно, по доказанному в лемме 9
G  (S  S1 )  1 , т.е. G  1. Теперь из
следствия 1 теоремы 2, учитывая существование в G двух p-подгрупп с условием (1), получаем, что G – группа типа p  p  q .
Утверждение 1. Конечная непримарная
нильпотентная группа G является INNqгруппой тогда и только тогда, когда она либо
типа p  p  q , либо циклическая порядка
pq n или qp n .
Справедливость этого легко вытекает из
следствия 1 теоремы 2. Теперь мы можем получить описание конечных разрешимых непримарных INNr-групп.
Теорема 5. Конечная непримарная разрешимая группа G является INNr-группой с
r | G тогда и только тогда, когда она – груп-
S1 , такая, что S  S1  1 (1) : если
S  Z1 , то по теореме Машке существует Cдопустимая подгруппа S1 , такая, что
Z1  S  S1 и выполняется (1); если же
S
 Z1 , то по определению группы типа I
найдется Z i  G , что S  Z i  1 , и в качестве S1 можно взять Z i .
Итак, C-допустимые подгруппы S и S1
па
па одного из следующих типов:
1. G  PC , где C  q , P – p-группа
и единственными истинными C-допустимыми
подгруппами группы P являются подгруппы
Z i , i = 0, 1,…, k, где ряд
1  Z 0  Z 1  ...  Z i  Z i 1  ...  Z k  Z k 1  P
и
Z i 1
Zi
– нижний слой центра группы P
группы P с условием (1) всегда найдутся.
Тогда
(SC)  (S1C)  (S  S1 )C  C –
q-группа, и потому G является INNq-группой.
Zi
(для таких групп r равно p).
14
Некоторые классы конечных групп с примарными пересечениями…
Если S и S1 содержатся в Z 1 , то они
инвариантны в P, C-допустимы, и потому из
Пусть в P есть собственная
С1 -допустимая подгруппа для некоторой C1 :
G  PC (2) следует, что S  G, S1  G .
1  C1  C .Тогда по определению группы
типа II C1  q . Если к PC1 применить тео-
Так как выполняется условие (1), учитывая то,
что G – INN q -группа, в силу следствия лем-
рему Машке, то из следствия леммы 9 получаем, что PC1  P  C1 – группа типа
мы 9 G – группа типа p  p  q , что входит в
противоречие с условием пункта I.
p  p  q , C1  Z (G) и G – группа типа 4
теоремы 6.
II. G – нильпотентная группа.
Тогда в силу утверждения 1 G – группа типа 2 или типа 5 теоремы 5.
Необходимость доказана.
Пусть S 
 Z1 . Тогда Z1  P (3) и по
определению группы типа I Z1  S  1 (4) и
S – элементарная абелева p-группа. По лемме
9, учитывая то, что G  p k q , имеем: G
Z1
–
Достаточность. Пусть G – одна из
групп типа 1–5 теоремы 5.
1. G – группа типа 1. Тогда все ее собственные непримарные подгруппы имеют вид
циклическая группа порядка p n q .
Тогда P абелева, Z 1 – нижний слой
группы P и S  P . Поэтому S  Z1  1, вопреки (4).
Значит, случай 1.2 невозможен.
2. G – группа типа II или III из теоремы
3. Тогда G  PC , где P – p-подгруппа.
Возможны следующие подслучаи:
2.1.C имеет собственные подгруппы С1
Z i C x (5), где i = 1, …, k и x  G, C x  q .
Если две подгруппы A и B вида (5) пересекаются по непримарной подгруппе или подгруппе порядка q, то они имеют общую силовскую q-подгруппу C y , т.е. по определению групп типа 1 A  Z i C y B  Z j C y
(возможно и i = j) и так как Z i  Z j , то
и С2 , такие, что С1  С2  1.
Тогда ( PC1 )  ( PC2 )  P –
p-группа и G – INNp-группа.
Пусть C – непримарная группа и С1 –
ее
собственная
p'-подгруппа.
Тогда
( PC1 )  С  С1 – p'-группа, что противоречит тому, что G – INNp-группа. Значит, C –
примарная группа. Отсюда следует, что G не
может быть группой типа III, и G – группа
типа II, в которой C в силу условия пункта 2.1
– типа q  q . Если бы в P имелась собствен-
ные подгруппы группы G могут пересекаться
только по p-подгруппе, и G – INNp-группа.
2. G – группа типа 2. Ее подгруппы
порядка pq пересекаются по единственной
подгруппе порядка q и потому G – INNqгруппа.
3. G – группа типа 3. В такой группе
любая собственная непримарная подгруппа
ная С1 – допустимая подгруппа P относи-
1  C j  C . Есть C – циклическая q-группа,
A  B . Значит, непримарные неинцидент-
содержит P и имеет вид PC jx (6) , где
тельно С1 (1  C1  C) , то по теореме Машке
то G
P  P1  P2 , где P2 C1 – допустима, и по лем-
P
– группа с условием инцидентности, и
потому в G все непримарные подгруппы инцидентны, и потому r – любое из  (G ) .
Если же C – типа q  q , то в (6)
ме 8 G является INNq-группой, в противоречие
тому, что G – INNp-группа. Значит, G – одна
из групп типа 3 теоремы 5.
2.2. В C любые две собственные подгруппы имеют нетривиальное пересечение.
Тогда из описания групп типа II следует, что
C xj  q . Если пересечение двух подгрупп
вида (6) содержит подгруппу Q порядка q, то,
очевидно, обе они равны PQ и потому совпадают. Значит, пересечения собственных
непримарных неинцидентных подгрупп G
равны P, и потому G – INNp-группа.
C – циклическая группа порядка q , n  1 .
n
Если в P для любой отличной от 1 подгруппы С1
группы C нет собственных С1 -допустимых подгрупп, то G – одна из групп типа 3 теоремы 5.
15
Я. Д. Половицкий
4. G – группа типа 4. Из определения
такой группы следует, что все ее истинные
непримарные подгруппы содержатся в ее инвариантной подгруппе типа p  p  q , и потому G – INNq-группа.
5. G – группа типа 5. Тогда все ее непримарные подгруппы инцидентны и она –
INNr-группа при любом r. □
и потому инцидентны. Поэтому и ввиду того
что P – типа p  p или порядка p, G является
INq-группой.
Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть G – группа одного из типов теоремы 5. Если G – типа 1, то по
доказанному в достаточности теоремы 6 ее
непримарные неинцидентные подгруппы могут пересекаться только по p-подгруппе. Так
как силовские q-подгруппы группы G имеют
порядок q, то их пересечения с любой неинцидентной подгруппой равны 1. Поэтому G –
INp-группа.
В группе G типа 5 или 6 все непримарные подгруппы содержат ее силовскую p-под-
Теорема 6. Конечная непримарная разрешимая группа G является INr-группой при
r   (G ) тогда и только тогда, когда она –
либо группа типов 1 или 5 теоремы 5 (группа
типа 1 является INp-группой), либо следующего типа:
6. G  P  C , P-типа p  p или порядка
p, C – циклическая q-группа, С  q , в P нет
группу P и, так как G
собственных C1 -допустимых подгрупп для
– циклическая q-группа,
все такие подгруппы группы G инцидентны.
Различные p-подгруппы группы G пересекаются по 1, и потому G – INq-группа. □
Следствие. Если G – конечная INr-группа, r   (G ) , R – ее силовская r-подгруппа и
N ( R)  R , то N (R ) – группа типа 1 или 5
теоремы 5.
Действительно, в силу следствия 1 леммы
2 N (R ) – разрешимая группа и потому по теореме 7 N (R ) – группа типа 1 или 5 теоремы 5.
Этим закончено изучение конечных разрешимых групп с условиями PIN, INNr и INr.
любой отличной от 1 подгруппы C1 группы С
(G – INq-группа).
Необходимость. Пусть такая группа G
является INr-группой. Тогда она INNr-группа, и
потому – группа одного из типов 1–5 теоремы 5.
Группы типов 1 и 5 входят в формулировку теоремы 6. Группа типа 2 теоремы 5 не
является, очевидно, ни INq-группой, ни INpгруппой.
Пусть G – группа типа 3 теоремы 5. Тогда C имеет собственную подгруппу С1 и
( PC1 )  C  C1 – q-группа. Поэтому G –
Конечные непростые неразрешимые
PIN-группы
INq-группа. Так как P – элементарная абелева
p-группа, то из доказанного следует, что P
Лемма 10. Всякая конечная неразрешимая непростая PIN-группа G имеет инвари-
делит p 2 . Но если C – типа q  q , то в силу
теоремы 5 G является INNp-группой и потому
не может быть INq-группой. Значит, C – циклическая группа и потому G – группа типа 6
этой теоремы.
Пусть теперь G – группа типа 4 теоремы
5. Тогда   1  2 , C1  Z (G)
P
антный ряд 1  R  M  G (1) , где R – p-группа, G
M
и
R
M
– примарная циклическая группа,
– простая неабелева группа. Если
R  1 , то M
( P1  C1 )  P  P1 – p-группа. С другой стороны, ( P1  C1 )  С  С1 – q-группа. Значит,
R
– INp-группа и p | M
R
.
Доказательство. Так как G непростая,
то в ней существует собственная нормальная
подгруппа.
Возможны 2 случая.
1. В G существует истинная непримарная нормальная подгруппа.
G не является INNr-группой ни при каком
r   (G ) .
Если G – группа типа 6 данной теоремы,
то все ее непримарные подгруппы содержат P
16
Некоторые классы конечных групп с примарными пересечениями…
Тогда найдется минимальная непримарная нормальная подгруппа M (M<G). По лемме
3G
M
Доказательство. В силу леммы 10 в G
существует указанный там инвариантный ряд (1).
Покажем, что в нем есть хотя бы одно равенство.
Предположим противное. Тогда ряд (1)
имеет вид 1  R  M  G (2), где M – непримарная группа. Если к M применить следствие
– примарная циклическая группа.
Возможны 2 подслучая:
1.1. M – простая неабелева группа. Тогда G имеет ряд (1) , где R  1 .
1.2. Подгруппа M не простая. Тогда су-
2 леммы 2, то получаем, что в M
ществует M 1  M , M  M 1  1.
q  p пересекаются по 1. Но если к G R
– циклическая группа, и
применить следствие леммы 7, получаем, что
M1
потому M   M . Так как M' – характеристическая подгруппа группы M, то M   G , и, в
в M
R
простая неабелева INp-группа, p | G
R
R
–
, либо
1  M  G , где M – простая неабелева
PIN-группа, G
– циклическая p-группа. □
M
Заключение
Из теорем 4 и 7 следует, что для описания произвольных конечных PIN-групп
осталось описать: простые PIN-группы, простые INp-группы, в которых (в силу следствия 2 леммы 2) для любой силовской qподгруппы Q при q  p N (Q)  Q и
неабелева (ввиду неразрешимости G). В силу
условия пункта 1.2 R  1 .
Мы показали, что в случае 1.2 G обла-
R
пересечение некоторой пары силов-
мы 1 выглядит так: либо 1  R  G и G
– простая группа. Она
дает рядом (1). В силу леммы 2 M
R
ских q-подгрупп отлично от 1. Противоречие
доказывает, что ряд вида (2) группа G не может иметь, и потому ряд (1) для G в силу лем-
силу выбора M, M' – примарная группа. Тогда
1  M   M  G  инвариантный ряд с разрешимыми факторами группы G, и G разрешима, вопреки условию.
Значит, все собственные нормальные
подгруппы группы M являются примарными
группами. Поэтому все они содержатся в
нильпотентном радикале R группы M , причем
R – p-группа и M
любые
две различные силовские q-подгруппы при
Пусть M 1 – непримарная группа. Тогда
по лемме 3 M
R
является
INp-группой.
. Для
Q  Q x  1 x  N (Q) , а также некоторые
случая 1 лемма 10 доказана.
2. Все собственные нормальные подгруппы группы G примарны.
Тогда ее нильпотентный радикал R  1
и, как и в пункте 1.2, получаем, что G имеет
связанные с ними расширения, о которых
говорится в теореме 8.
По следствию 2 леммы 2 p| M
R
Список литературы
1. Половицкий Я.Д. Конечные разрешимые
группы с одним условием для пересечений неинцидентных подгрупп // Вестн.
Перм. ун-та. Сер. Математика. Механика.
Информатика. 2011.Вып. 2(6). С.10–21.
2. Волочков А.А., Половицкий Я.Д. Группы с
условием инцидентности для подгрупп с
нетривиальным пересечением // Современные проблемы математики и информатики. Ярославль, 2001. Вып. 4. С.13–17.
3. Половицкий Я.Д. Конечные разрешимые
группы, в которых порядок пересечения
любых двух неинцидентных подгрупп является делителем числа n // Вестн. Перм.
ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. Вып. 4(4). С. 8–17.
инвариантный ряд 1  R  G (2) , где R –
p-группа, G
и p| M
R
– простая неабелева INp-группа
. Ряд (2) – частный случай ряда (1)
R
при G  M . □
Теорема 7. Всякая конечная неразрешимая непростая PIN-группа является либо расширением p-группы с помощью простой неабелевой INp-группы, порядок которой делится
на p, либо расширением неабелевой PIN-группы с помощью циклической p-группы.
17
Я. Д. Половицкий
Some classes of finite groups, in which
intersections of nonincidence subgroups is
primary
Ja. D. Polovitsky
Perm State National Research University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st., 15
alg@psu.ru; (342) 236-82-83
Number classes of finite groups with primary intersections of nonincidence subgroups are described in this paper. In particular, are described finite soluble groups with this condition and some
more strong conditions.
Key words: incidence; primary; group; intersection; soluble.
18