Программа коллоквиума

Коллоквиум по алгебре для 251-253 групп, весенний семестр 2014/15
Список вопросов
1. Группа, абелевой группа. Простейшие свойства групп (единственность нейтрального,
единственность обратного, уравнения ax = b, xa = b). Примеры групп(в частности, группы
преобразований, группы движений, матричные группы).
2. Подгруппа, лемма о равносильных условиях, примеры подгрупп.
примеры подгрупп.
3. Степень элемента группы, свойства степени. Порядок элемента группы, свойства порядка.
4. Циклическая подгруппа, описание её элементов. Примеры.
5. Подгруппа, порождённая множеством, описание её элементов. Примеры (в частности, Dn).
6. Порождающие системы группы Sn: циклы, транспозиции.
7. Чётность перестановки на языке транспозиций и на языке независимых циклов.
8. Отношения эквивалентности, связанные с подгруппой. Левые и правые смежные классы группы
по подгруппе, их свойства.
9. Теорема Лагранжа. Вывод теоремы Эйлера из теоремы Лагранжа и другие следствия из теоремы
Лагранжа. Индекс подгруппы и его свойства.
10. Нормальные подгруппы, определение и равносильное свойство. Примеры нормальных и
ненормальных подгрупп. Центр группы.
11. Критерий нормальности подгруппы симметрической группы. Нормальность An. Нормальные
подгруппы в группах S3 ,S4 и S5. Формулировка теоремы о нормальных подгруппах в
симметрических группах.
12. Умножение подмножеств группы. Построение факторгруппы. Примеры.
13. Гомоморфизмы, мономорфизмы, эпиморфизмы, изоморфизмы групп. Примеры (в частности,
вложение и канонический эпиморфизм). Простейшие свойства гомоморфизмов.
14. Свойства ядра и образа гомоморфизма групп. Описание смежных классов по ядру.
15. Основная теорема о гомоморфизме групп, примеры её использования (C*/T, C*/R>0,
GLn(K)/SLn(K), R+/Z).
16. Описание циклических групп, групп простого порядка.
17. Прямое произведение групп: определение и свойства. Прямое произведение нескольких групп.
18. Теорема о разложении группы в прямое произведение своих подгрупп. Две другие
формулировки теоремы.
19. Примеры, связанные с прямым произведением групп (в частности, разложение C*).
Формулировка теоремы об описании конечно порожденных абелевых групп.
20. Теорема Кэли. Примеры.
Упражнения
1. Доказать, что в группе выполнена «обобщенная ассоциативность»: в произведении любого
количества сомножителей результат не зависит от расстановки скобок.
2. Найти группу всех вращений диэдра (в основании – правильный n-угольник).
3. Доказать, что циклическая подгруппа – пересечение всех содержащих её порождающий элемент
подгрупп.
4. Доказать, что транспозиции соседних чисел – порождающая система группы Sn.
5. Доказать, что «большой» цикл и транспозиция двух соседних по этому циклу чисел порождают
группу Sn.
6. Доказать, что все тройные циклы порождают группу An.
7. Пусть отношение сравнимости в группе по подмножеству H – отношение эквивалентности.
Докажите, что H – подгруппа этой группы.
8. Является ли D3 нормальной подгруппой в D9?
9. Доказать, что гомоморфизм является мономорфизмом тогда и только тогда, когда у него
тривиальное ядро.
10. Докажите, что фактогруппа группы по её центру не может быть циклической.
11. Является ли группа S3 (S4. S5) прямым произведением каких-либо двух своих нетривиальных
подгрупп?
12. Докажите, что группа из 4 элементов либо циклическая, либо является прямым произведением
двух циклических групп порядка 2.
12. С помощью основной теоремы о гомоморфизме групп докажите следующее утверждение: пусть
F, H – нормальные подгруппы группы G, причём H содержится в F, тогда H – нормальная подгруппа
в F, F/H – нормальная подгруппа в G/H, причём группа (G/H)/(F/H) изоморфна G/F.
13. Пусть H – подгруппа группы G, и произведение любых двух левых смежных классов G по H –
снова левый смежный класс G по H. Докажите, что H – нормальная подгруппа группы G.
14. Пусть G – конечная группа, в которой квадрат любого элемента равен единице. Докажите, что G
изоморфна прямому произведению нескольких циклических групп порядка 2.
15. Что можно сказать о длинах независимых циклов перестановок, лежащих в образе
мономорфизма, построенного в доказательстве теоремы Кэли?
15. Для какого минимального n существует изоморфная группе D6 подгруппа группы Sn?