Полный дифференциал функции нескольких переменных Лекция 2 Полное приращение функции 2-х переменных Если обеим переменным дать приращение, то функция получит полное приращение z f ( x x, y y ) f ( x, y ) Определение дифференцируемой функции Функция z f ( x, y ) называется дифференцируемой в точке М(х,у), если ее полное приращение можно представить в виде z Ax By o( ) , где Δx и Δy -произвольные приращения аргументов х и у в некоторой окрестности точки М(х,у), А и В – постоянные, независящие от Δx и Δy , o(ρ)- бесконечно малая более высокого порядка, чем x 2 y 2 -расстояние между М(х,у) и M1 ( x x, y y) Определение дифференциала Главная линейная относительно Δx и Δy часть полного приращения функции z f ( x, y ) называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz или df(x,y) . Таким образом, dz Ax By . Формула для вычисления дифференциала Если функция z f ( x, y ) дифференцируема в точке М(х,у),то она имеет в этой точке частные производные f x ( x, y) и f y ( x, y ) , причем f x ( x, y) =А, а f y ( x, y ) =В . Так что, z f x x,yx f y x,yy 0ρ dz f x ( x, y )x f y ( x, y )y . Если положить x dx, y dy ,то dz f x ( x, y )dx f y ( x, y )dy При малых z dz , то есть f x x, y y f x,y f x x,yx f y x,yy или , f x x,y y f x,y f x x,yx f y x,yy . Пример. Вычислить приближенно ln 3 1,03 4 0,98 1 . Дифференциалы высшего порядка Дифференциалом второго порядка функции z=f(x,y) называется d 2 z d (dz ) n 1 Вообще: d z d (d z ) Если х и у независимые переменные, то 2 2 2 . d z z dx 2 z dxdy z dy n xx xy yy Экстремумы функции двух переменных Определение. Говорят, что в точке P0 ( x0 , y0 ) функция f (x,y) имеет максимум, если cуществует такая окрестность этой точки, что для всех точек P(x,y) этой окрестности, отличных от P0 ( x0 , y0 ) , выполнено неравенство f ( P0 ) f ( P). Аналогично определяется минимум функции. Минимум и максимум функции называются ее экстремумами. Экстремумы функции двух переменных Теорема (необходимое условие экстремума). В точке экстремума функции нескольких переменных каждая ее частная производная либо равна нулю, либо не существует. Точки, в которых выполнены эти условия, называются критическими. Достаточные условия экстремума функции двух переменных Теорема. Пусть функция z=f(x,y) определена и имеет непрерывные частные производные до 3-го порядка в некоторой окрестности точки M 0 ( x0 , y0 ), в которой z x z y 0 . Если при этом в этой точке выполнено условие z xx z yy ( z xy ) 2 0, то точка M 0 является точкой экстремума функции, причем точкой 0 , и точкой минимума, если максимума, если z xx z xx 0 . 2 Если же в этой точке z xx z yy ( z xy ) 0 , то экстремума в точке M 0 нет. В том случае, если z xx z yy ( z xy ) 2 0 в точке M , 0 теорема ответа не дает. Пример Исследовать на экстремум функцию 50 20 z xy , åñëè x 0 u y 0. x y Наибольшее и наименьшее значения функции Определение. Наименьшее или наибольшее значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом функции (абсолютным минимумом или абсолютным максимумом соответственно) в этой области. Известно, что непрерывная в замкнутой ограниченной области функция достигает в ней своих наибольшего и наименьшего значений. Абсолютный экстремум достигается функцией либо в критических точках, либо на границе области. Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной области G, дифференцируема внутри этой области. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, нужно: 1)найти критические точки, принадлежащие этой области, и вычислить в них значения функции; 2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области; 3)из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее. Пример Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x 3y x y в треугольнике, ограниченном прямыми 2 , . 2 x 0, y 0, x y 1. Скалярное поле Лекция 3 Основные определения Пусть в области D пространства Охуz задана функция u=u(х,у,z). В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле, а саму функцию u=u(х,у,z)называют функцией поля. Например, поле давлений, температур и т.д. Основные определения Множество точек М области D, для которых скалярное поле сохраняет постоянное значение, т. е. u(М)=С, называется поверхностью уровня ( или изоповерхностью) скалярного поля. Если область D расположена на плоскости Оху, то поле u=u(х,у) является плоским. Поверхности уровня называют в этом случае линиями уровня. Пусть 2 f( x y) x y 2 f Линии уровня Пусть z x y . Линии уровня этой поверхности имеют вид 2 f 2 Пусть дан конус 1 x y f( x y ) 4 9 2 2 2 f Линии уровня конуса f Пусть задана дифференцируемая функция u u x, y, z скалярного поля. Рассмотрим точку Px, y, z этого поля и луч , выходящий из точки P в направлении единичного вектора cos α; cos β; cos γ , 0 где α, β, вектором γ –углы, образованные 0 с осями координат . Определение z P1 γ ℓ β P PP1 x 2 y 2 z 2 α 0 x x y Рис. Пусть P1 x x , y y , z z – какая-нибудь другая точка этого луча. Обозначим – расстояние между точками P и Ρ1 ; называют величиной перемещения. Приращением функции в направлении назовем разность u uΡ1 uΡ Производной функции u u x, y, z в точке P по направлению называется предел отношения приращения функции в направлении к величине перемещения при 0 : . u u lim 0 Вычисление производной по направлению Формула вычисления производной по направлению: u u u u cos cos cos , ãäå x y z ly lx lz cos , cos , cos , l l l l lx2 l y2 lz2 . Градиент скалярного поля Градиентом скалярного поля u=u(x,y,z), где u=u(x,y,z)дифференцируемая функция, называется вектор с координатами u u u . , , x y z u u u Таким образом, gradu ( , , ) x y z u u u j k или gradu i x y z . Пример 2 2 Найти градиент функции u= x y z 2 в точке M(6,2,3). Решение. Вычислим градиент функции. y x u u y x 2 2 2 x2 y 2 z 2 x y z z u z Тогда grad u = А в точке М x2 y 2 z 2 x x y z 2 2 2 i+ y x y z 2 2 2 6 2 3 gradu i j k . 7 7 7 j+ z x y z 2 2 2 k Направление градиента Теорема. Производная u l функции по направлению равна проекции градиента этой функции на данное направление (в соответствующей точке). Направление градиента Так как производная по направлению представляет собой скорость изменения функции в данном направлении , а проекция вектора на другой вектор имеет максимальное значение, если оба вектора совпадают по направлению, то градиент функции в данной точке указывает направление наиболее быстрого возрастания функции. Величина градиента плоского скалярного поля Величина градиента плоского скалярного поля ,т.е. 2 2 u u grad u = x y обозначается tg и определяет крутизну наибольшего ската или подъема поверхности u = f (x, y). Градиент скалярного поля в данной точке по величине и направлению равен максимальной скорости изменения поля в этой точке, т. е. u u , max gradu l l * * где l gradu . l Направление градиента Точка Р, в которой gradu(P)=0, называется особой точкой скалярного поля. В противном случае эту точку называют неособой или обыкновенной точкой поля. Теорема. Во всякой неособой точке плоского скалярного поля градиент поля направлен по нормали к линии уровня , проходящей через эту точку, в сторону возрастания поля.