Использование теоремы Фалеса в современном мире Баландин Александр Кузьмин Александр

Использование теоремы
Фалеса в современном мире
Баландин Александр
Кузьмин Александр
Цели и задачи проекта
 Основная цель проекта:
 Выяснить, чем знаменит Фалес и его теорема.
 Вопросы учебной темы:
 Кто ты, Фалес?
 Почему теорема Фалеса так знаменита?
 Как теорема Фалеса находит свое применение?
Фалес Милетский
Карьеру он начинал как купец и ещё в
молодости попал в Египет. В Египте Фалес
застрял на много лет, изучая науки в Фивах и
Мемфисе. Считается, что геометрию и
астрономию в Грецию привёз он.
624-547г.г. до н.э.

Великий учёный Фалес
Ми ле тс ки й ос но ва л од ну и з
прекраснейших наукгеометрию. Известно, что
Фал ес Мил ет ский и мел т итул
одного из семи мудрецов
Греции, что он был поистине
первым философом, первым
ма те ма ти ко м, а ст ро но мом и
вообще первым по всем наукам
в
Г
р
е
ц
и
и
.
Фалеса также является
основателем Ионийской школы.
Поскольку Фалес жил в Ионии,
школа его была названа
Ионийской
•
•
Сегодня нам трудно сказать, откуда
первый древнегреческий философ,
ученый и видный политический деятель
Фалес Милетский узнал о
пропорциональности сторон подобных
треугольников: открылась ли эта истина
ему самому или ее передали ему
египетские жрецы во время его торговых
и дипломатических миссий в страну
древних пирамид.
Главное, что он умел находить какую-либо неизвестную величину по
трем известным на основе пропорции a/b = c/d. Так, измерив длину
тени, отбрасываемой предметами, Фалес с помощью этой пропорции
нашел высоту египетской пирамиды. Измерение расстояния до
корабля, находящегося далеко в море, им производилось тоже на
основе этой пропорции.
• Любопытно, что Фалес
определял высоту египетских
пирамид по их тени не только
простейшим способом,
«дождавшись часа, когда наша
тень одной длины с нами»
(тогда и длина тени пирамиды
равна ее высоте), но и через
установление
пропорциональных
отношений между тремя
поддающимися измерению
величинами и искомым
параметром. В последнем
случае высоту пирамиды
можно измерить в любое
время дня.
•
Измерение расстояния до
корабля, находящегося далеко в
море, им производилось тоже на
основе этой пропорции. Выбрав
на берегу моря базис a и вымерив
с крайних его точек углы до
корабля, он затем вычерчивал
подобный треугольник
небольших размеров и измерял у
него две стороны, скажем, c и d.
После этого ничего не стоило
найти неизвестное расстояние до
корабля — сторону b. Задачи
такого класса и более сложные
умели прекрасно решать в Египте
(это стало известно из найденных
папирусов).
1
3
4
2

Теорема Фалеса :

вертикальные углы равны;

треугольники с равной одной
стороной и равными углами,
прилегающими к ней, равны;

углы при основании равнобедренного
треугольника равны;

диаметр делит круг пополам;

угол, вписанный в полуокружность,
всегда будет прямым.

если параллельные прямые,
пересекающие стороны угла, отсекают
на одной стороне его равные отрезки,
то они отсекают равные отрезки и на
другой его стороне.
Через середину М
стороны АВ треугольника
АВС проведена прямая,
параллельная стороне
ВС. Эта прямая
пересекает сторону АС в
точке N. Докажите, что
Решение: AN = NC.

Через точку С проведем прямую, параллельную прямой АВ и обозначим
буквой D точку пересечения этой прямой с прямой MN (рис. 2). Так как AM
= МВ по условию, а MB = CD как противоположные стороны
параллелограмма BCDM, то АМ = DC. Треугольники АМN и CDN равны по
второму признаку равенства треугольников (АМ=CD,<1= <2 и <3=<4 как
накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD
секущими АС и МD), поэтому AN = NC.
Докажем теорему Фалеса:
если на одной из двух прямых
отложить последовательно
несколько равных отрезков и
через их концы провести
параллельные прямые,
пересекающие вторую
прямую, то они отсекут на
второй прямой равные между
собой отрезки.
•
•
•
Решение:
Пусть на прямой l1 отложены равные отрезки А1А2, А2А3, А3А4, …и через их концы проведены
параллельные прямые, которые пересекают прямую l2 в точках В1, В2, В3, В4, … (рис.1). Требуется
доказать, что отрезки В1В2, В2В3, В3В4, … равны друг другу. Докажем, например, что В1В2 = В2В3.
Рассмотрим сначала случай, когда прямые l1 и l2 параллельны (рис. 1, а). тогда А1А2 = В1В2 и А2А3 =
В2В3 как противоположные стороны параллелограммов А1В1В2А2 и А2В2В3А3. так как А1А2 = А2А3, то
и В1В2 = В2В3 если прямые l1 и l2 не параллельны, то через точку
В1 проведем прямую l, параллельную прямой l1 (рис.1, б). Она пересечет прямые А2В2 и А3В3 в
некоторых точках С и D. Так как А1А2 = А2А3, то по доказанному В1С = СD. Отсюда получаем В1В2 =
В2В3. Аналогично можно доказать, что В2В3 = В3В4 и т.д.
Разделите данный отрезок АВ
на n равных частей.
Решение:

Проведен луч АХ, не лежащий на прямой АВ, и на нем от точки А отложим
последовательно n равных отрезков АА1, А1А2, …, Аn-1Аn (рис.3), т.е. столько равных
отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок АВ (на рис. 3
n=5). Проведем прямую АnВ (точка Аn – конец последнего отрезка) и построим
прямые, проходящие через точки А1 , А2 , …, Аn-1 и параллельные прямой АnВ. Эти
прямые пересекают отрезок АВ в точках В1 , В2 , …, Вn-1, которые по теореме Фалеса
делят отрезок АВ на n равных частей.
Разделите данный отрезок АВ на
8 равных частей
Решение:

Проведен луч АХ, не лежащий на прямой АВ, и на нем от точки А отложим
последовательно 8 равных отрезков АА1, А1А2, …, А7А8 (рис.3), т.е. столько равных
отрезков, на сколько равных частей нужно разделить данный отрезок АВ (рис. 4).
Проведем прямую А8В (точка А8 – конец последнего отрезка) и построим прямые,
проходящие через точки А1 , А2 , …, А7 и параллельные прямой А8В. Эти прямые
пересекают отрезок АВ в точках В1 , В2 , …, В7, которые по теореме Фалеса делят
отрезок АВ на 8 равных частей.






Решение
Проведём через точку N прямую
параллельную AB и обозначим точкой
D. BMND – пар-м по определению. MN
|| BD, MB || ND по построению. <1=<2
как соответственные при MN || BD и
секущей MB. <5=<6 как соотвественные
при BC || MN и секущей AC.
<2+<3=180 (углы парал-ма)
<3+<4=180 (смежные) => <2=<4
Рассмотрим тр.MNA и тр.DCN: <6=<5,
<1=<4, а <6+<4+<7=180,
<5+<1+<A=180, ND=MB(стороны парма), MB=AM(дано), значит ND=AM =>
тр.MNA = тр.DCN по 2 признаку. <7=<A,
<4=<1, ND=AM.
Из равенства треугольников следует,
AN-NC.
 Решение
 Тр.ABC подобен тр.AMN




по 1 признаку: <A-общий,
<1=<2- соотв углы при MN
|| BC секущей AB.
Значит:
AB:AM=AC:AN=BC:MN
Так как AM=MB то
AB=2AM.
2AM:AM=AC:AN=k
AC:AN=2
AC=2AN => AN= NC