8 Определенный интеграл. Функции нескольких

Определенный
интеграл
продолжение
План лекции:
Замена переменной в
определенном интеграле.
II. Приложения определенного
интеграла.
III. Функции нескольких переменных
I.
(частные производные,
дифференцирование сложных функций,
экстремумы функций нескольких
переменных)
I. Замена переменной в
определенном интеграле
 При вычислении
определенного
b
интеграла
 f ( x)dx
методом замены
a
переменной данный интеграл с
помощью замены ψ(х) = t
преобразуется в другой определенный
интеграл с новой переменной
интегрирования t, причем старые
пределы интегрирования х1 = a и х2 = b
заменяются новыми пределами
t1 = ψ(a) и t2 = ψ(b) согласно уравнению
 (b )
замены: b
 f ( x)dx   g (t )dt
a
 (a)
5
Пример. Вычислить

3
5 x  2dx
2
Сделаем замену:
5 x  2  t  5 x  2  t 3  d (5 x  2)  d (t 3 ) 
3 2
3
2
(5 x  2)dx  (t )dt  5dx  3t dt  dx  t dt
5
3
 Вычислим новые пределы
интегрирования:
при x1  2 t1  3 5  (2)  2  2,
при
x2  5 t2  5  5  2  3.
3
5
Теперь

2
4 3
3 t
 
5 4
2
3
3
3
3 2
3 3
5 x  2dx   t  t dt   t dt 
5
5 2
2
3  43  3 4
39
4
  t   (3  (2) )  .
20   2  20
4
II. Приложения
определенного интеграла.
1. Площадь плоской фигуры:
а) площадь фигуры,
ограниченной прямыми х = а,
х = b и двумя непрерывными
кривыми y = f1(x) и y = f2(x), где
разность функций имеет
постоянный знак, находится по
b
формуле S   ( f 2 ( x)  f1 ( x)) dx .
a
Если знаки разности функций известны, то знаки
модуля можно опустить согласно определению модуля
б) В случае, если фигура ограничена по бокам
точками пересечения кривых f1(x) и f2(x), то
площадь вычисляется по такой же формуле,
но пределы интегрирования находятся как
абсциссы этих точек пересечения.
 Пример. Вычислить
площадь фигуры,
ограниченной
параболой
y = x2 + 4x и прямой
y = x + 4.
Сделаем чертеж:
 Предел a = -4 находится по
построению.
 Найдем оба предела интегрирования
как абсциссы точек пересечения
линий. Так как в точках пересечения
значения обеих функций y1 и y2 равны,
то
 x  4  a
2
2
x  4 x  x  4  x  3x  4  0  
x  1  b
b
1
 Тогда S   ( y2  y1 )dx   ( x  4  x 2  4 x)dx 
a



0
4
3
2


x
3x
3
  ( x  3x  4)dx    
 4 x 
2
 3

4
1 2
 64
 125
    4    24  16  
кв. ед.
3 3
 3
 6
1
1
4

2. Решение физических
задач
a) Если точка движется по некоторой
кривой со скоростью v(t) ≥ 0, то путь,
пройденный точкой за время [t1; t2],
равен S 
t2
 v(t )dt
t1
Пример. Скорость точки равна
v = 3t2 + 2t (м/с). Найти путь S, который
точка преодолела за время t = 4 c,
прошедшее с начала движения.
 В нашем случае t1 = 0, t2 = 4. Тогда
4
S   (3t 2  2t )dt  (t 3  t 2 ) 04  64  16  (0  0)  80 м
0
б) Работа силы.
Если переменная сила F(x) действует
по оси Ох, то работа силы на отрезке
x2
[x1; x2] равна
A   F ( x)dx
x1
Пример. Какую работу нужно
затратить, чтобы растянуть пружину на
6 см, если сила в 1 кг растягивает ее
на 1 см?
 Из закона Гука следует, что F = kx, где
k – коэффициент пропорциональности.
 В нашем случае при x = 0,01 м сила
F = 1 кг.
1
Отсюда k 
 100, т.е. F = 100 x.
0,01
 Кроме того, x1 = 0, x2 = 0,06. Тогда
искомая работа есть
0, 06
A   100 xdx  50 x
0
2 0, 06
0
 50((0,06)  0 )  0,18 кГм
2
2
III. Функции нескольких
переменных.
 Определение. Если каждой паре
действительных чисел (x; y) из области
D по определенному правилу ставится
в соответствие только одно число z из
области Е, то говорит, что на
множестве D задана функция двух
переменных z = z(x, y).
 Значение z(a; b) функции z = z (x, y)
есть значение этой функции,
вычисленное при x = a, y = b.
 Пример 1.
x y
z ( x, y )  3
2
x  5y
2
т. М(1; -1).
. Найти значение z в
1  (1)
2 1
z (1;1)  3
 
2
1  5(1)
6 3
2
 Пример 2. Найти область
определения
z  1  x 2 . y 2
функции
Такая функция
вычисляется, если
подкоренное выражение
неотрицательно, т.е.
1 – x2 – y2 ≥ 0  x2 + y 2 ≤ 1
Область есть указанный на рисунке круг.
Частные производные.
Определение. Частной производной
функции z = z(x, y) по аргументу x
называется производная этой функции
по x, при постоянном y.
Обозначения:
z
zy ,
.
y
 Аналогично, частной производной
функции z = z(x, y) по аргументу y
называется производная этой функции
по y при постоянном x.
 Обозначения:
z
zy ,
.
y
 Из определения следует, что на
момент дифференцирования функция
z является функцией одной
переменной и, следовательно, при
нахождении частных производных
справедливы обычные правила и
формулы дифференцирования
функций одной переменной.
При дифференцировании полезна
следующая таблица:
xx' = 1, xy' = 0
yy' = 1,
yx' = 0
cx' = 0,
cy' = 0,
c – const
 Примеры.
1. z = x3 – 3x2y + 2y3 + 1,
zx', zy' - ?
zx' = (x3 – 3x2y + 2y3 + 1)x' =

(y – const)
= (x3)x' – (3x2y)x' + (2y3)x' + 1x' =
= 3x2 - 3y · (x2)x' + 0 + 0 = 3x2 – 6xy
zy' = (x3 – 3x2y + 2y3 + 1)y' =
(x – const)
= (x3)y' – (3x2y)y‘ + (2y3)y' + 1y' =
= 0 – 3x2 · yy' + 2(y3)y' + 0 = -3x2 + 6y2
2.
z = xy,
zx', zy' - ?
zx' = (xy)x' = yxy-1, zy' = (xy)y' = xylnx
(y – const)
(x – const)
Полный дифференциал
 Пусть z=z(x, y), где x=x(u, v), y=y(u, v),
u и v – независимые переменные.
Тогда частные производные сложной
функции z = z(x(u, v), y(u, v)) = f(u, v)
находятся по формулам:
z
z x z y
(1)




u x u y u
z
z x z y




v x v y v
(2)
u
 Пример. Дана функция z  x , где x  ln(u - v), y  e v .
y
z z
Найти
и
u v
Найдем 6 частных производных, входящих в
правые части равенств (1) и (2):
z
z
y
x 1
 ( x )' x  y  x ,
 ( x y )' y  x y ln x
x
y
x
x
1
1
1
 (ln(u  v))'u 
,
 (ln(u  v))'v  

u

v
u

v
v u
u
v
y

u
u
(e v )'u 
u
ev
1
 ,
v
y

v
u
(e v )'v 
u
ev
 (
u
v
2
)
u
v2
u
ev
Эти 6 производных подставляются в (1) и (2):
u
1 y
  x  ln x  e v
z
1
 y  x x 1 
u v v
u
z
u
1
x 1
 yx 

u v v 2
v
u
 x y  ln x  e v
(3)
(4)
В данные выражения подставлять x(u, v) и y(u, v) и
упрощать их необязательно. В каждом конкретном
случае, когда необходимо вычислить z’u и z’v в
т. М(х0; у0), рациональнее предварительно вычислять х
и у в этой точке и полученные значения подставлять
в (3) и (4).
Частные производные
высших порядков
 Частными производными второго
порядка функции z=z(x, y) называются
частные производные от частных
производных первого порядка.
2z
 z
 2 z  z
z ' ' xx 
 ( ), z ' ' yy 

( )
x 2 x x
y 2 y y
2z
 z
2z
 z
z ' ' xy 

( ), z ' ' xy 
 ( )
xy y x
yx x y
 Порядок дифференцирования указан в
индексе пи прочтении слева направо.
 Последние две производные отличаются
только порядком, называются смешанными
и в случае их непрерывности равны.
Пример.
z = x2-2xy2 Найти все частные производные
2-ого порядка и проверить равенство
z’’xy = z’’yx
 Вначале найдем частные производные
первого порядка:
z’x = (x2-2xy2)’x = 2x-2y2, z’y = (x2-2xy2)’y = -4xy
Теперь
z’’xx = (2x-2y2)’x = 2, z’’yy = (-4xy)’y = -4x
z’’xy = (2x-2y2)’y = -4y, z’’yx = (-4xy)’x = -4y
Нетрудно видеть, что z’’xy = z’’yx
Выполнение этого условия может служить критерием
правильности нахождения частных производных 1-ого
порядка и смешанных – 2-ого порядка.
Экстремум функции
нескольких переменных
 Точка M(a; b) называется точкой максимума
(минимума) функции Z(x , y), если существует
такая окрестность точки M, что для всех
других точек из этой окрестности
Z(x, y)<Z(a, b) (Z(x, y)>Z(a, b))
 Точки максимума и минимума функции
называются точками ее экстремума.
Соответствующее значение функции есть
экстремум.
Находить экстремум согласно определению в общем
случае бессмысленно. Выделить из области
определения функции конечное число точек,
претендующих на точки экстремума, помогает
необходимое условие экстремума.
 «Точками экстремума могут служить
только критические точки, т.е. точки из
области определения функции, в
которых все ее частные производные
1-ого порядка обращаются в нуль, или
не существует хотя бы одна из них».
 Выделить из множества критических точек
точки экстремума позволяют достаточные
условия экстремума. Укажем на 2 из них.
I.
 Точками экстремума являются лишь те
из критических точек, в окрестности
которых приращение функции
∆Z = Z(x, y) - Z(a, b) не меняет знака.
При этом, если ∆Z>0 (∆Z<0), то
критическая точка есть точка
минимума (максимума).
II.
 Рассмотрим в критической точке М(a; b)
дискриминант ∆=АС-В2, где А=z’’xx(a; b),
C=z’’yy(a; b), B=z’’xy(a; b), или B=z’’yx(a; b).
Тогда:
1) если ∆>0, то М(a; b) - точка экстремума, а
именно точка максимума при А<0 (или C<0) и
точка минимума при A>0 (или C>0);
2) если ∆<0, то в точке М экстремума нет;
3) если ∆=0, то требуется дополнительное
исследование.
 Пример.
Найти экстремум функции z=y2-4y+x2
Найдем критические точки. Выпишем
частные производные 1-ого порядка:
z’x=(y2-4y+x2)’x=2x
z’y=(y2-4y+x2)’y=2y-4
Приравниваем их к нулю:
2 x  0  x  0 

  M(0; 2) - критическая
2y - 4  0  y  2 
точка
Производные существуют во всей
области определения.
Найдем дискриминант ∆=АС-В2. Для этого
вначале вычислим частные производные
2-ого порядка:
z’xx=(2x)’x=2
z’yy=(2y-4)’y=2
Из равных смешанных производных находят
ту, которая получается проще, например, z’’xy:
z’’xy=(2x)’y=0
Тогда A=z’’xx(0; 2)=2, C=z’’yy(0; 2)=2,
B=z’’xy(0; 2)=0.
Дискриминант ∆=2·2-02=4>0 => М(0; 2)
точка экстремума.
A=2>0 => М(0; 2) - точка минимума.
Тогда zmin = z(0; 2) = 22 - 4·2 + 0 = -4
Ответ: zmin=-4
Расслабляйся!