Тема: Экстремум функций двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения. Цель занятия:

Тема: Экстремум функций двух переменных.
Наибольшее и наименьшее значения.
Цель занятия:
 закрепление знаний полученных на лекциях и применение их на практике;
 научить исследовать функцию нескольких переменных на максимум и минимум с
использованием производных высших порядков;
 вывести алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений функции;
решать задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функции;
 развитие пространственного мышления, умение планировать, мыслить
логически и по аналогии.
Методы: словесные, по характеру познавательной деятельности – проблемные,
по дидактической цели – познавательные.
Ход занятия.
1. Организационная часть. Студенты записывают тему занятия.
2. Актуализация опорных знаний. В начале занятия проводится небольшая по
времени
(10-15
минут)
фронтальная
актуализировать базовые знания студента.
3. Работа по повторению:
-критические точки;
-стационарные точки;
-экстремумы функции.
работа,
которая
позволяет
4. Выполнение самостоятельной работы:
2. Основная часть. Изучение новой темы.
Определение 1. Пусть функция z  f ( x, y ) определена в некоторой
окрестности точки M 0 ( x0 , y 0 ) . Говорят, что z  f ( x, y ) имеет в точке M 0
локальный максимум (минимум) если существует такая окрестность точки
M 0 ( x , y 0 ) , что для любой точки M ( x, y ) принадлежащей окрестности точки
M 0 ( x , y 0 ) выполняется
f ( x , y )  f ( x0 , y 0 )  f ( x , y )  f ( x0 , y 0 ) ,
причем
для
максимума f  0 , для минимума f  0 (рис. 1).
Определение 2. Точки локального максимума и минимума называются
точками экстремума[1].
Рис. 1.
Экстремум функции двух переменных
Функция
имеет максимум (минимум) в точке
, если значение
функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой
точке
некоторой
окрестности
точки
,
то
есть
(соответственно
)
для
всех
точек
,
принадлежащих этой окрестности. Максимум и минимум функции называется ее
экстремумом. Точка
, в которой функция имеет экстремум, называется точкой
экстремума.
Необходимое условие
экстремума:
если
дифференцируемая
функция
достигает экстремума в точке
, то ее частные производные
первого порядка в этой точке равны нулю, то есть:
,
.
Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными
точками. Стационарные точки и точки, в которых производные не существуют и
которые лежат внутри области определения функции, называются критическими
точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Достаточное условие существования экстремума:
Пусть
стационарная
точка
функции
.
Обозначим
и составим дискриминант
. Тогда:
если
, то функция имеет в точке
экстремум, а именно максимум,
при
(или
) и минимум, при
(или
);
если
, то в точке
экстремума нет;
если
, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).
Рассмотрим пример решения задачи:
,
,
Ответы на вопросы. Закрепление полученных знаний.
Нахождение
наибольшего
и
наименьшего
значений
функции
широко
применяется при решении многих практических задач на нахождение наилучших,
оптимальных решений при наименьших затратах труда, в так называемых задачах на
оптимизацию.
ПРИМЕР.
Рекламный
щит
имеет
форму
прямоугольника
S=9
м 2.
Изготовьте щит в виде прямоугольника с наименьшим периметром
Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х³ - 3х² - 45х + 1 на [-4; 6]
без построения графика.
Во время самостоятельной работы сильные студенты вызываются к доске и
решают у доски наиболее сложные занятия из домашней работы.
Легенда об основании Карфагена гласит, что когда финикийский корабль
пристал к берегу, местные жители согласились продать прибывшим столько
земли, сколько можно огородить её одной бычьей шкурой. Но хитрая царица
Дидона разрезала эту шкуру на ремешки, связала их и огородила полученным
ремнём большой участок земли, примыкавший к побережью.
Вопрос: какую наибольшую площадь земли могли купить финикийцы?
Печатный текст (вместе с промежутками между строками) одной
страницы книги должен занимать 400 см². Верхние и нижние поля страницы
должны иметь ширину 2 см. Боковые – 4 см.
Вопрос: каковы самые выгодные размеры страницы, исходя только из
экономии бумаги?
Следующим этапом изучения темы является подробное решение примера
преподавателем. Это позволит студентам последующие примеры решать по аналогии с
разобранным, попутно преодолевая трудности с помощью знаний, которыми они уже
обладают.
Пример. Исследовать на экстремум функцию
z  x 3  3xy2  15x  12 y .
Решение
Проверим выполнение необходимого условия существования экстремума
функции. В результате чего получим стационарные точки.
Находим частные производные и составляем систему уравнений
 z x' ( x, y )  0,
 '
 z y ( x, y )  0;
z
 3x 2  3 y 2  15,
x
z
 6 xy  12 ;
y
4  y4  5y2  0
4
2
2
2

y

5

0
,
,

x

y

5

0
,

 y2
 x 2  y 2  5  0,
y2




 
 
2

x

;
2
xy

2

0
;


x  ;
x  2 .
y



y
y
Решим отдельно уравнение
4  y4  5y2
 0 . Дробь равна нулю, когда ее
y2
числитель равен нулю, т.е. 4  y 4  5 y 2  0 . Пусть y 2  t , тогда исходное уравнение
примет вид квадратного трехчлена t 2  5t  4  0 . Используя теорему, обратную теорему
Виета, получаем корни уравнения t1  4, t 2  1.
 y11  2,

 y12  4,
 y 2 2  1,
Таким образом получаем:  2
подставляя полученные значения в

y13  2,
 y 2  1;

 y 2 4  1;
систему получаем четыре стационарные точки:
P1 (1,2);
P2 (2,1);
P3 (1,2);
P4 (2,1).
Используя теорему о достаточном условии существования экстремума функции
двух переменных, составляем определитель J и находим точки максимума и
минимума.
Найдем производные второго порядка:
A
2z
2z

6
x
,
B

 6 y,
xy
x 2
J ( x0 , y 0 ) 
z xx'' ( x0 , y 0 ) z xy'' ( x0 , y 0 )
''
yx
''
yy
z ( x0 , y 0 ) z ( x0 , y 0 )
C
2z
 6 x и составим определитель
y 2
 AC  B 2 для каждой стационарной точки.
1) Для точки
 2z 
P1 (1, 2) : A   2   6  1  6,
 x  P1
 2z 
  6  2  12,
B  
 xy  P1
 2z 
C   2  6  1  6,
 y  P1
J  AC  B 2  36  144  0
Значит, в точке P1 экстремума нет.
2) P2 (2,1) : A  z xx'' (2,1)  6  2  12,
J  AC  B 2  144  36  108  0,
''
B  z xy
(2, 1)  6  1  6,
C  z 'yy' (2, 1)  6  2  12;
A  z xx'' (2, 1)  12, 12  0 .
В точке P2 , согласно достаточному условию существования экстремума, функция
имеет
x  2,
минимум.
Минимум
этот
равен
значению
функции
y  1 : z min (2, 1)  8  6  30  12  28 .
3) P3 (1,2) : A  z xx'' (1,2)  6,
B  z xy'' (1,  2)  12,
J  AC  B 2  36  144  108,  108  0 .
Экстремума в точке P3 (1,  2) нет.
C  z 'yy' (1,2)  6;
при
4) P4 (2,1) :
''
A  z xx
(2,1)  6  2  12,
''
B  z xy
(2,  1)  6 1  6,
C  z 'yy' (2,  1)  6  2  12;
J  AC  B 2  144  36  108  0,
''
A  z xx
(2,1)  12 , 12  0 .
В точке P4 функция имеет максимум: z max (2,  1)  8  6  30  12  28 .
V этап: Выполнение самостоятельной работы. (Работы сдаются на проверку
учителю)
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
I в. f ( x)  3x 2  2 x 3  1 на отрезке  1;4 .
II в. f (x) = 9x + 3x2 – x3 на отрезке [– 2; 2].
По окончании выполнения самостоятельной работы студенты готовятся к
ответам на следующие вопросы.
1. Определение экстремума функции двух переменных.
2. Необходимое условии экстремума.
3. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.
VI. Рефлексия. Определение домашнего задания.