АЛГЕБРА, программа курса

АЛГЕБРА, программа курса
1 семестр
Объем учебной нагрузки: 54 час. – лекции, 54 час. – семинары
Тема 1. Метод Гаусса
1.1. Прямоугольные и квадратные матрицы. Равенство матриц. Сложение и вычитание
матриц. Умножение матрицы на число. Транспонирование.
1.2. Элементарные преобразования матриц. Ступенчатые матрицы и матрицы
простейшего вида. Приведение ненулевой матрицы к ступенчатому виду (прямой ход
метода Гаусса). Приведение ступенчатой матрицы к простейшему виду (обратный ход
метода Гаусса).
1.3. Системы линейных уравнений. Основные понятия теории систем (совместность и
несовместность, основная и расширенная матрица системы, эквивалентные системы).
1.4. Элементарные преобразования системы и ее расширенной матрицы.
1.5. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
Тема 2. Множества и отображения
2.1. Множества и операции над ними (сумма, пересечение, разность, симметрическая
разность множеств). Принцип двойственности.
2.2. Бинарные отношения. Основные типы бинарных отношений. Отношение
эквивалентности, разбиение на классы эквивалентных множеств, фактор-множества.
2.3. Отображения. Основные типы отображений (инъекции, сюръекции, биекции).
2.4. Суперпозиция (произведение) отображений. Ассоциативность суперпозиции.
Обратные отображения.
2.5. Понятие эквивалентности множеств. Счетные множества.
Тема 3. Перестановки
3.1. Понятие перестановки (как взаимно однозначного отображения конечного множества
на себя). Число перестановок конечного множества.
3.2. Инверсии в перестановках, четные и нечетные перестановки.
3.3. Транспозиции, изменение четности перестановки при транспозиции.
3.4. Умножение четностей при умножении перестановок. Совпадение четностей взаимно
обратных перестановок.
Тема 4. Определители
4.1. Определители 2-го и 3-го порядка. Правило Саррюса.
4.2. Определители высших порядков. Определение и примеры.
4.3. Основные свойства определителей (сохранение определителя при
транспонировании матрицы, полилинейность и кососимметричность
определителя как функции строк и столбцов, условия равенства
определителя нулю, элементарные преобразования матрицы,
сохраняющие определитель).
4.4. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении
определителя по строке (столбцу) и следствия из нее.
4.5. Примеры вычисления определителей (диагональный, треугольный,
определитель Вандермонда и др.).
Тема 5. Алгебра матриц
5.1. Умножение матриц, его свойства (ассоциативность, дистрибутивность
относительно сложения, примеры некоммутативности и делителей
нуля).
5.2. Свойства умножения квадратных матриц (роль единичной матрицы,
степени матрицы, матричные многочлены, теорема об определителе
произведения).
5.3. Обратная матрица, ее определение, основные свойства и способы
вычисления..
5.4. Решение матричных уравнений.
5.5. Матричная запись квадратной системы линейных уравнений и ее
решение с помощью обратной матрицы. Запись решения по формулам
Крамера.
Тема 6. Алгебраические операции. Группы
6.1. Понятие алгебраической операции, ассоциативность, коммутативность.
Примеры.
6.2. Понятие группы. Коммутативные (абелевы) группы. Примеры групп.
Группа перестановок.
6.3. Понятие подгруппы. Циклические группы и подгруппы.
3.5. Гомоморфизм и изоморфизм групп.
Тема 7. Кольца и поля
7.1. Понятие кольца. Общие свойства колец, примеры.
7.2. Понятие поля. Общие свойства и примеры полей.
7.3. Сравнение целых чисел по модулю натурального числа. Сложение и
умножение целых чисел по модулю, свойства коммутативности и
ассоциативности.
7.4. Кольцо вычетов. Поле вычетов по простому модулю.
Тема 8. Поле комплексных чисел
8.1. Определение комплексных чисел и действия с ними.
8.2. Алгебраическая форма комплексного числа, его изображение
на плоскости.
8.3. Тригонометрическая форма комплексного числа.
8.4. Комплексные числа в показательной форме.
8.5. Возведение в степень и извлечение корня.
8.6. Свойства операции сопряжения.
Тема 9. Многочлены над полем комплексных чисел
9.1. Условия равенства, сложение, умножение и деление многочленов.
9.2. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель двух
многочленов.
9.3. Корни многочлена. Теорема Безу и основная теорема алгебры
многочленов.
9.4. Разложение многочленов на линейные множители.
9.5. Разложение многочленов с вещественными коэффициентами на
линейные и квадратичные множители.
9.6. Доказательство основной теоремы алгебры многочленов.
2 семестр
Объем учебной нагрузки: 51 час. – лекции, 34 час. – семинары.
Тема 10. Линейные пространства
10.1. Понятие линейного пространства. Следствия из аксиом. Примеры.
10.2. Понятие линейного подпространства и линейной оболочки системы векторов.
10.3. Понятия линейной зависимости и независимости системы векторов, их основные
свойства.
10.4. Геометрический смысл линейной зависимости и независимости для системы
геометрических векторов.
10.5. Критерий линейной зависимости системы векторов.
10.6. Критерий сохранения линейной независимости при расширении системы векторов.
Тема 11. Базис и размерность линейного пространства
11.1. Понятие полной системы, основные свойства полных систем. Базис как
линейно независимая полная система.
11.2. Связь размеров полной и линейно независимой системы. Совпадение
размеров любых базисов линейного пространства. Понятие
размерности линейного пространства.
11.3. Примеры линейных пространств и базисов в них.
11.4. Координаты вектора. Выражение линейных операций над векторами в
координатах.
11.5. Замена базиса. Матрица перехода и преобразование координат вектора
при замене базиса.
11.6. Прямые суммы подпространств. Фактор-пространства.
11.7. Изоморфизм линейных пространств.
Тема 12. Ранг системы векторов
12.1. Ранг системы векторов как размерность ее линейной оболочки.
12.2. База системы векторов как линейно независимая подсистема, через
которую линейно выражаются все векторы системы, ее базисность в
линейной оболочке системы.
12.3. Элементарные преобразования системы векторов и сохранение ранга
системы при их выполнении.
12.4. Базис и размерность подпространства. Дополнение базиса
подпространства до базиса всего пространства.
Тема 13. Ранг матрицы
13.1. Понятие ранга матрицы как максимального размера ненулевых
миноров.
13.2. Теорема о базисном миноре.
13.3. Следствия из теоремы о базисном миноре (совпадение ранга матрицы с
рангом системы ее строк и столбцов, сохранение ранга матрицы при
элементарных преобразованиях, критерий равенства определителя
нулю).
13.4. Вычисление ранга матрицы методом Гаусса и методом окаймляющих
миноров.
13.5. Ранг произведения матриц.
Тема 14. Ранг матрицы и общая теория систем линейных уравнений
14.1. Критерий совместности системы ( теорема Кронекера- Капелли ).
14.2. Базисные и свободные переменные, количество решений совместной
системы.
14.3. Критерий существования ненулевых решений у однородной системы
уравнений.
14.4. Пространство решений однородной системы.
14.5. Фундаментальная система решений, ее построение.
14.6. Связь решений однородной и неоднородной системы.
Тема 15. Линейные операторы и их матрицы
15.1. Понятие линейного оператора, его свойства и примеры.
15.2. Матрица линейного оператора. Векторно- матричная запись действия
линейного оператора.
15.3. Ядро и образ линейного оператора.
15.4. Преобразование матрицы линейного оператора при замене базиса.
Подобие матриц, его основные свойства.
Тема 16. Собственные значения и собственные векторы
16.1. Понятия собственного значения и собственного вектора линейного
оператора, их общие свойства. Линейная независимость собственных
векторов, отвечающих различным собственным значениям.
16.2. Оператор простого типа, диагонализуемость его матрицы.
16.3. Характеристический многочлен линейного оператора, его
инвариантность. Нахождение собственных значений и собственных
векторов. Собственные подпространства линейного оператора.
16.4. Комплексификация вещественного линейного пространства.
Нахождение одномерных и двумерных инвариантных подпространств.
Тема 17. Билинейные и квадратичные формы
17.1. Понятия билинейной формы и ее матрицы. Координатная и векторноматричная запись билинейной формы. Преобразование матрицы
билинейной формы при замене базиса.
17.2. Квадратичная форма, порожденная симметричной биинейной формой,
ее координатная и векторно-матричная запись.
17.3. Приведение квадратичной формы к каноническому и нормальному
виду методом Лагранжа.
17.4. Закон инерции квадратичных форм, его формулировка и обоснование.
Положительный, отрицательный индексы формы, ранг формы.
17.5. Знакоопределенные квадратичные формы. Приведение формы к
каноническому виду методом Якоби. Критерий Сильвестра
положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы.
Тема 18. Евклидово пространство
18.1. Евклидово скалярное произведение и евклидово пространство.
Примеры евклидовых пространств.
18.2. Неравенство Коши-Буняковского. Длины векторов и углы между ними.
18.3. Матрица Грама скалярного произведения в данном базисе, ее
координатная и векторно-матричная запись. Преобразование матрицы
Грама при замене базиса.
18.4. Ортонормированный базис, запись в нем координат векторов, матрицы
Грама, скалярного произведения векторов, их длин и углов.
18.5. Метод ортогонализации базиса.
18.6. Построение ортогонального дополнения.
Тема 19. Самосопряженный оператор
19.1. Понятие сопряженного оператора в евклидовом пространстве, его
существование и единственность. Свойства сопряженного оператора и
его матрицы.
19.2. Самосопряженный оператор, симметричность его матрицы в
ортонормированном базисе и вещественность корней
характеристического уравнения.. Инвариантные подпространства
самосопряженного оператора.
19.3. Построение ортонормированного собственного базиса для
самосопряженного оператора.
Тема 20. Ортогональный оператор
20.1. Понятие ортогонального оператора, критерии ортогональности оператора (перевод
ортонормированного базиса в ортонормированный; совпадение обратного оператора с
сопряженным).
20.2. Свойства ортогональных матриц.
20.3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом ортогональных
преобразований. Эквивалентность формул преобразования матрицы формы и матрицы
самосопряженного оператора при переходе от одного ортонормированного базиса к
другому. Построение канонического базиса формы как ортонормированного базиса из
собственных векторов самосопряженного оператора.
Тема 21. Приведение матрицы оператора к жордановой форме
21.1. Корневые векторы линейного оператора. Корневые подпространства.
Нильпотентные операторы и жордановы клетки.
21.2. Приведение матрицы линейного оператора над полем комплексных чисел к
жордановой форме.
3 семестр
Объем учебной нагрузки: 36 час. - лекции, 36 час. – семинары.
Тема 22. Алгебра многочленов
22.1. Алгебры над полем. Примеры. Гомоморфизмы алгебр. Алгебра многочленов над
полем. Ее универсальное свойство.
22.2. Связь между многочленами и полиномиальными функциями. Степень многочлена.
Целостность кольца многочленов. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу.
Тема 23. Наибольший общий делитель. Евклидовы кольца
23.1. Делимость в целостных кольцах. Ассоциированные элементы. Наибольший общий
делитель.
23.2. Евклидовы кольца. Существование наибольшего общего делителя в евклидовых
кольцах: алгоритм Евклида. Взаимно простые элементы. Критерий взаимной простоты в
евклидовом кольце.
Тема 24. Факторизация в евклидовых кольцах. Кратность корня многочлена
24.1. Простые элементы целостного кольца. Факториальные кольца. Факториальность
евклидовых колец.
24.2. Выражение наибольшего общего делителя двух элементов через их простые
сомножители. Кратность простого сомножителя элемента факториального кольца.
Кратность корня многочлена. Теорема о числе корней многочлена (с учетом кратностей).
Формулы Виета.
24.3. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Дифференцирования алгебр. Примеры.
24.4. Производная многочлена. Формула Тэйлора для многочленов. Кратность корня и
значения производных. Понижение кратности неприводимого сомножителя при
дифференцировании.
Тема 25. «Основная теорема алгебры». Неприводимые многочлены над полем
действительных чисел и над конечными полями
25.1. Анализ в поле комплексных чисел: предел последовательности, свойства пределов,
теорема Больцано-Вейерштрасса, непрерывность многочлена в точке и на бесконечности.
Теорема Гаусса («основная теорема алгебры»).
25.2. Эквивалентные определения алгебраически замкнутого поля. Описание
неприводимых многочленов над полем действительных чисел. Бесконечность множества
неприводимых многочленов над конечным полем.
Тема 26. Поле частных. Рациональные функции.
26.1. Поле частных целостного кольца. Его универсальное свойство.
26.2. Поле рациональных функций. Несократимые дроби. Теорема о разложении в сумму
простейших дробей (без доказательства).
Тема 27. Факторпространства векторных пространств
27.1. Факторпространство векторного пространства. Универсальное свойство
факторпространства и его следствия.
27.2. Теорема о гомоморфизме для векторных пространств. Связь факторпространств и
линейных дополнений. Размерность факторпространства. Коразмерность.
27.3. Связь матрицы оператора с матрицами его ограничения на инвариантное
подпространство.
Тема 28. Спектр, минимальный многочлен, корневые подпространства линейного
оператора
28.1. Спектр и минимальный многочлен элемента конечномерной алгебры над полем.
Теорема о корнях минимального многочлена. Ее следствия: конечность (а для
алгебраически замкнутого поля – и непустота) спектра конечномерной алгебры.
28.2. Спектр и минимальный многочлен нильпотентного элемента.
28.3. Спектр и точечный спектр линейного оператора, их совпадение в конечномерном
случае. Связь между минимальным и характеристическим многочленами линейного
оператора. Корневые подпространства линейного оператора. Их инвариантность.
28.4. Связь между корневыми и собственными подпространствами. Линейная
независимость корневых подпространств.
28.5. Теорема о размерности корневого подпространства. Теорема о разложении
пространства в прямую сумму корневых подпространств в случае алгебраически
замкнутого поля.
Тема 29. Жорданова нормальная форма
29.1. Циклические подпространства, циклические операторы. Теорема о строении
нильпотентного циклического оператора.
29.2. Нильпотентные жордановы клетки. Теорема о разложении нильпотентного
оператора в прямую сумму циклических. Жордановы клетки, жордановы матрицы,
жорданов базис.
29.3. Теорема о жордановой нормальной форме (существование жорданова базиса).
Совпадение размерности ядра нильпотентного оператора с количеством его циклических
слагаемых. Теорема о независимости количества циклических слагаемых данной
размерности от выбора разложения в прямую сумму циклических подпространств.
Теорема о единственности жордановой нормальной формы.
Тема 30. Группы: основные определения и примеры. Циклические группы
30.1. Полугруппы, моноиды, группы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Примеры.
30.2. Тело кватернионов. Группа кватернионов. Группы преобразований. Примеры
(группы перестановок, матричные группы, группа диэдра).
30.3. Ядро и образ гомоморфизма. Теорема Кэли. Циклические группы. Порядок элемента
в группе. Его свойства.
30.4. Описание циклических групп. Теорема о подгруппах циклической группы. Системы
образующих.
Тема 31. Смежные классы. Факторгруппы. Прямые произведения
31.1. Разбиение группы на смежные классы по подгруппе. Индекс подгруппы.
31.2. Формула Лагранжа. Ее следствия. Нормальные подгруппы. Факторгруппа.
Характеризация нормальных подгрупп как ядер гомоморфизмов. Универсальное свойство
факторгруппы.
31.3. Теорема о гомоморфизме. Примеры ее использования. Прямые произведения групп.
Разложение группы в прямое произведение. Примеры. Лемма о факторизации по прямым
сомножителям.
Тема 32. Строение конечно порожденных абелевых групп
32.1. Свободные конечно порожденные абелевы группы. Их описание. Теорема о
независимости количества элементов базиса от выбора базиса. Ранг.
32.2. Свойство проективности свободных конечно порожденных абелевых групп. Теорема
о подгруппах свободной конечно порожденной абелевой группы.
32.3. Теорема о согласованных базисах. Теорема о разложении конечно порожденной
абелевой группы в прямую сумму бесконечных и примарных циклических групп.
Независимость набора порядков циклических слагаемых от выбора разложения.