Глава 1 - Laboratory of Mathematical Logic | of PDMI RAS

Программа курса «Алгебра и геометрия», часть «Алгебра».
2007/2008 учебный год, 2 семестр, группа 161.
Лектор: М.А.Всемирнов
Незнание формулировок и определений
неудовлетворительную оценку.
из
вопросов,
помеченных
(*),
влечет
1*. Векторные пространства. Примеры. Простейшие свойства. Семейства векторов,
линейные комбинации.
2*. Линейная зависимость и независимость векторов. Свойства линейно зависимых и
линейно независимых семейств.
3. Семейства
образующих. Подпространства. Подпространство, натянутое на
семейство векторов. Конечномерные векторные пространства.
4. Матрицы и операции над ними. Свойства матричного умножения: ассоциативность,
дистрибутивность, отсутствие коммутативности в общем случае.
5. Системы линейных уравнений. Матричная запись. Элементарные преобразования.
6. Метод Гаусса исключения неизвестных: приведение системы к ступенчатому виду.
7. Теорема о линейной зависимости линейных комбинаций.
8*.
Базис
векторного
пространства.
Примеры.
Теорема
об
эквивалентных
формулировках понятия базиса.
9. Теорема о том, что в конечномерном пространстве из всякой конечной системы
образующих можно выбрать базис.
10. Теорема о том, что в конечномерном пространстве всякое линейно независимое
семейство можно дополнить до базиса.
11. Существование базиса в векторном пространстве. (Формулировка в общем случае
и доказательство для конечномерных пространств).
12. Теорема о том, что количество векторов в базисе конечномерного векторного
пространства не зависит от выбора базиса. Размерность конечномерного векторного
пространства.
13. Подпространство конечномерного пространства конечномерно.
14. Координаты вектора в данном базисе. Матрица перехода от одного базиса к
другому. Преобразование координат при переходе к новому базису.
15*. Сумма и пересечение подпространств. Связь между размерностями двух
подпространств и размерностями их суммы и пересечения. Прямая сумма векторных
пространств.
16. Факторпространство. Относительный базис. Теорема об относительном базисе и
базисе факторпространства.
17.
Линейные
отображения.
Свойства.
Изоморфизмы
векторных
пространств.
Двойственное пространство.
18*. Матрица линейного отображения. Преобразование матрицы при замене базисов.
19. Матрица композиции линейных отображений.
20*. Ядро и образ линейного отображения. Простейшие свойства ядра и образа.
Критерий инъективности линейного отображение в терминах его ядра.
21. Приведение матрицы линейного отображения к «почти единичному» виду. Ранг
линейного отображения.
22*. Теорема о размерностях ядра и образа линейного отображения и размерности
исходного пространства.
23. Перестановки. Четные и нечетные перестановки. Четность перестановки и
обратной к ней. Изменение четности при умножении на транспозицию.
24*. Определители. Определитель транспонированной матрицы.
25*. Изменение определителя при элементарных преобразованиях над строками
(столбцами). Линейность определителя по строке (столбцу)
26*. Миноры. Алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке
(столбцу).
27. Определитель ступенчатой матрицы.
28. Определитель произведения квадратных матриц.
29. Критерий обратимости квадратной матрицы. Взаимная матрица. Обратная матрица.
30. Определитель Вандермонда.
31. Ранг, строковый ранг и столбцовый ранг матрицы. Неизменность строкового
ранга при элементарных преобразованиях над строками.
32. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях над строками. Совпадение
ранг, строкового ранга и столбцовый ранга матрицы.
33. Двусторонние неравенства для ранга произведения двух матриц.
34. Теорема Кронекера-Капелли.
35*. Восемь эквивалентных критериев обратимости квадратной матрицы.
36. Формулы Крамера для решений системы линейных уравнений.
37. Алгебры. Примеры. Алгебра линейных операторов. Изоморфизм алгебры линейных
операторов и алгебры матриц.
38. Многочлен от оператора. Коммутирование многочленов от одного оператора.
39*. Собственные числа и собственные векторы матрицы и линейного оператора.
Линейная независимость ненулевых собственных векторов, отвечающих разным
собственным числам.
40. Характеристический многочлен. Независимость характеристического многочлена
линейного оператора от выбора базиса.
41. Теорема Гамильтона-Кэли.
42. Аннулятор оператора. Минимальный аннулятор.
43. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного числа. Неравенство
для алгебраической и геометрической кратностей.
44. Диагонализуемы линейные операторы. Критерий диагонализуемости. Примеры
недиагонализуемых операторов.
45. Инвариантные подпространства. Вид матрицы линейного оператора в случае
разложения пространства в прямую сумму инвариантных подпространств.
46. A-инвариантность ядра и образа f(A), где f – многочлен.
47. Теорема о примарном разложении.
48. Корневые подпространства. Теорема об образе относительного базиса j-го
корневого подпространства относительно j-1-го под действием A-λ*id.
49. Теорема о канонической жордановой форме линейного оператора в случае
алгебраически замкнутого основного поля.
50. Общая схема построения жордановой формы для оператора с единственным
собственным числом.
51*. Билинейные формы. Евклидовы пространства. Примеры.
52. Матрица Грама. Преобразование матрицы Грама при замене базиса.
53. Ортогональное семейство. Линейная независимость ортогонального семейства
ненулевых векторов.
54*.
Ортогональный
и
ортонормированный
базис.
Процесс
ортогонализации.
Следствия.
55. Ортогональное дополнение. Свойства ортогонального дополнения. Пример
несовпадения второго ортогонального дополнения с исходным подпространством.