Методы численного решения многомерных задач локальной

Лекция 3
Методы численного решения
многомерных задач локальной
метеорологии и переноса
примеси
План лекции
Обзор методов решения
дифференциальных уравнений
Метод конечных разностей на примере 1D
уравнения «адвекции-диффузии». Выбор
сетки. Аппроксимация. Схемная вязкость.
Явные и неявные разностные схемы.
Решение СЛАУ. Проблема устойчивости.
Сходимость.
Метод конечного объема для многомерных
уравнений. Решение разностной задачи.
Численное решение уравнений НавьеСтокса
Обзор методов решения
дифференциальных
уравнений
Аналитические: точные и
приближенные
Численные: метод сеток (метод
конечных разностей, метод конечного
объема, метод конечных элементов)
и метод функциональных
представлений (метод коллокации,
метод Галеркина, спектральные
методы)
Метод конечных разностей
Выбор сетки
Введение сеточной функции
Замена дифференциального уравнения и
краевых условий сеточными уравнениями
Исследование аппроксимации,
устойчивости и сходимости построенной
разностной схемы
Решение сеточных уравнений
Стационарное 1D уравнение
«адвекции-диффузии»
dC
d 2C
U
 D 2 ; 0  x  1;
dx
dx
C( 0 )  Cleft ; C( 1 )  C right ; U , D  0;
Построим равномерную сетку
xi
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
1

 h   xi  ih ,i  0,..., N ; h  
N

1
Стационарное 1D уравнение
«адвекции-диффузии»
Введем сеточную функцию
Ci  C xi ,i  0,..., N
Поставим задачу найти значения сеточной функции Ci ,
используя дифференциальную постановку
 dC  Ci  Ci 1
,i  1,..., N ;

 
h
 dx  i
 dC 
 dC 
Ci 1  Ci Ci  Ci 1






 d 2 C   dx  i 1  dx  i
Ci 1  2Ci  Ci 1
h
h
 2  


2
dx
h
h
h

i
Стационарное 1D уравнение
«адвекции-диффузии» разностная схема
Ci  Ci 1
C  2Ci  Ci 1
 D i 1
  i ,i  1,..., N  1
2
h
h
C0  Cleft ; C N  Cright
U
i – погрешность аппроксимации
Схема называется аппроксимирующей дифференциальную
задачу на точном решении, если ||||=max(i)  0
при h 0. Если |||| = O(hp), то p – порядок аппроксимации.
Стационарное 1D уравнение
«адвекции-диффузии» определение порядка
аппроксимации
Пусть C(x) – точное решение с непрерывными равномерно
ограниченными производными до четвертого порядка
включительно.
2
2
3
3
4
4
 dC  h  d C  h  d C  h  d C 
 2    3  
 4 
C ( xi  h )  C ( xi )  h 
 
dx
2
!
dx
3
!
dx
4
!

i

i

i
 dx  ~x
2
2
3
3
4
4
 dC  h  d C  h  d C  h  d C 
 2    3  
 4 
C ( xi  h )  C ( xi )  h 
 
dx
2
!
dx
3
!
dx
4
!

i

i

i
 dx  ~x
 dC  Ci  Ci 1
 O( h ), i  1,..., N  1;

 
dx
h

i
 d 2C  Ci 1  2Ci  Ci 1
 2  
 O( h 2 ), i  1,..., N  1
2
h
 dx  i
||  || O( h )
Стационарное 1D уравнение
«адвекции-диффузии» схемная вязкость
Ci  Ci 1  dC  h  d 2C 
2

   2   O( h )
h
 dx i 2  dx i
Ci 1  2Ci  Ci 1  d 2C 
  2   O( h 2 )
2
h
 dx i
Ci  Ci 1
Ci 1  2Ci  Ci 1
U
D
h
h2
dC 
Uh  d 2C 
2
U
 D 
 2   O( h )
dx 
2  dx 
Uh
- схемная вязкость
2
Стационарное 1D уравнение
«адвекции-диффузии» схемная вязкость
100
80
C
60
Cleft=100, Cright=1, N=100, U=1, D=0.001
40
20
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.96
0.98
1
x
100
80
C
60
40
20
0
0.9
0.92
0.94
x
1
Стационарное 1D уравнение
«адвекции-диффузии» выбор схемы
U
Ci  Ci 1
C  2Ci  Ci 1
 D i 1
h
h2
aCi  bCi 1  dCi 1 ; 0  i  N
b  D; d  Uh  D; a  Uh  2 D  b  d ;
 dC  Ci 1  Ci 1
2


O
(
h
)


2h
 dx i
aCi  bCi 1  dCi 1 ; 0  i  N
b  Uh  2 D ; d  Uh  2 D ; a  4 D  b  d ;
Uh
U 0b 0:
2
D
Стационарное 1D уравнение
«адвекции-диффузии» выбор схемы
200
160
C
120
Cleft=100, Cright=1, N=100, U=10, D=0.01
80
40
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.96
0.98
1
x
200
160
C
120
80
40
0
0.9
0.92
0.94
x
1
Нестационарное
1D уравнение «адвекциидиффузии»
C
C
 2C
U
 D 2 ; 0  x  1; 0  t  T
t
x
x
C( t ,0 )  Cleft ( t ); C( t ,1 )  C right( t ); U , D  0;
C( 0, x )  C0 ( x ), 0  x  1
T
1

 h  t n , xi , t n  n , xi  ih ; n  0,..., M ; i  0,..., N ;  
;h  
M
N

Cin  C t n , xi ,i  0,..., N ; n  0,..., M
Нестационарное
1D уравнение «адвекциидиффузии»
Неявная разностная схема
Cin 1  Cin
Cin 1  Cin11
Cin11  2Cin 1  Cin11
U
D

h
h2
aCin 1  bCin11  dCin11  f i ; 0  i  N
Cin
D
U D
1 U 2D
b  2 ; d   2 ;a    2 ; fi 
h
h h
 h h

Явная разностная схема
Cin 1  Cin
Cin  Cin1
Cin1  2Cin  Cin1
U
D

h
h2
aCin1  bCin1  fCin  dCin1 ; 0  i  N
D
U D
1
1 U 2D
b  2 ;d   2 ;a  ; f    2 ;
h
h h

 h h
1 U 2D
  2
 h h
Устойчивость и сходимость
разностных схем
Разностная схема называется устойчивой,
если она имеет единственное решение,
которое непрерывно зависит от входных
данных, и эта зависимость является
равномерной относительно шагов сетки.
Если решение разностной задачи при
измельчении сетки сходится
(приближается) к решению
дифференциальной задачи, то говорят, что
схема сходится.
Исследование устойчивости
Метод гармонических возмущений (метод Фурье)
C mn  n exp imh
Необходимое и достаточное условие ограниченности
гармонических возмущений (условие Неймана)
  1  c
Для явной схемы
U
4 D
2  h 
1  exp  ih   2 sin  
  1
h
h
 2 
U 2 D
  1  1
 2 1
h
h
Исследование устойчивости
Для неявной схемы
1

1
U
1  exp  ih  4D2 sin 2  h 
h
h
 2 
К выбору схемы
Схема называется монотонной, если сохраняется
монотонность сеточного пространственного профиля
при переходе от n к n+1. Этим свойством обладают схемы
первого порядка аппроксимации. Для схем второго
порядка свойство монотонности может не выполняться.
TVD-схемы, TVD = Total Variation Diminishing Scheme
(Harten, Bott, Van Leer). Определим полную вариацию
численного решения:
  
TVh C n 

j  
n
C
,
j 1 / 2


 j 1 / 2 C  C j 1  C j
 
TVh C n 1  TVh C n
К выбору схемы
Существуют теоремы:
1. Монотонная схема является TVD-схемой
2. TVD-схема является схемой, сохраняющей
монотонность
Монотонизированная
противопотоковая
схема 2-го порядка
Van Leer
S i  S i 1
 C  Ci  Ci 1
h

 
h
2
 x  i
S i  min mod (ai  bi ) / 2, 2  min mod( ai , bi )
0, если a  b  0

min mod( a, b)  b, если a  b u a  b  0

a, если a  b и a  b  0
Ci 1  Ci
ai 
h
Ci  Ci 1
bi 
h
Метод конечного объема
uC vC   C    C 
  I

 D
   D
x
y
x  x  y  y 
y  0 : 1
C
C
  2 C   3 ( x); y  L y :
0
y
y
C
x  0 : C ( x, y )  C 0 ( y ); x  L x :
0
x
Построим сетку
xi , y j , xi  ix ; y j  jy ; i  0,..., N x ; j  0 ,..., N y ;


h  
L
Lx

y

x

;

y



N
N
x
y


Метод конечного объема
y
Ww
x
y
x
N
n
P e
s
S
E
Метод конечного объема
Перепишем уравнение в виде
J x J y

I 0
x
y

C 
J y  vC  D


y


C 

J x  uC  D
x 

Проинтегрируем по контрольному объёму
каждый член последнего уравнения
Jx
s w x dxdy  s Jxe  Jxw dy Je  Jw yn  ys 
n e
e n

w s
e n
n
J y
y
dydx   Jy n  Jy s dx Jn  Js xe  x w 
  Idydx  I
w s
e
w
P
( y n  y s )( xe  x w )  I PV ;
Метод конечного объема
,
.
CE  CP
C 

Jе   uC  D
  ueCe  De
x  e
xE  xP

CP  CW
C 

Jw   uC  D
  uwCw  Dw
x  w
xP  xW

CN  CP

C 
Jn   vC  D

v
C

D

n n
n

y
yN  yP

n
CP  CS

C 
Js   vC  D

v
C

D

s s
s

y
yP  yS

s
C P , если u e  0
CW , если u w  0
Cw  
Ce  
C P , если u w  0
C E , если u e  0
Метод конечного объема
В результате преобразований получим
a P C P  a E C E  aW CW  a N C N  a S C S  b
.

De
a E  Y   a max 1(u e ,0) 
xE  xP



Dw
aW  Y  a max 1(u w ,0) 

x

x

P
W


Dn
a N  X   a max 1(v n ,0) 
yN  yP



Ds
a S  X  a max 1(v s ,0) 

y

y
P
S 

a P  a E  aW  a N  a S  0






Решение многомерных
уравнений переноса
C
C
C
C
u
v
w

t
x
y
z
 
C   
C  
K

K
 C
  K  wC   SC  RC
 C

x 
x  y 
y  z
C 1  cC 3  E g
 wC   K C

v C 
z
cC 1
 v

Неявная разностная схема
Cin, j ,1k  Cin, j ,k
  nx 1   ny1   nz 1  nx1  ny1  nz1  f i n, j,k1

Итерационные методы
Решение многомерных
уравнений переноса
Явно-неявная разностная схема
Cin, j ,1k  Cin, j ,k
  nx   ny   nz  nx  ny  nz1  f i n, j ,k

Метод прогонки
Метод расщепления
Cin, j ,1k/ 3  Cin, j ,k  0.5 nx 1 / 3   nx  nx1 / 3  nx  
  nx   ny   nz  nx  ny  nz   0
Cin, j ,2k / 3  Cin, j ,k  0.5 ny2 / 3   ny  ny2 / 3  ny   Cin, j ,1k/ 3  Cin, j ,k
Cin, j ,1k  Cin, j ,k  0.5 nz 1   nz  nz1  nz   Cin, j ,2k / 3  Cin, j ,k
Метод прогонки
Решение уравнений НавьеСтокса (Рейнольдса)
MEMO, МС ТГУ-ИОА
u v w


0
x y z
u
1 p
u
u
u
 K  D C 
t
 x
v
1 p
v
v
v
 K  D C 
t
 y
w
1 p
w
w
K D 
t
 z
Решение уравнений НавьеСтокса (Рейнольдса)
MEMO, МС ТГУ-ИОА
Расщепление по физическим процессам
u
n 1 / 2
u
1

 A    x p 


n
u

v n 1 / 2  v n

w
n 1 / 2
w

u n 1  u n 1 / 2
1
   z p


n
1

 A    y p 


v n 1  v n 1 / 2
1
   y p


n
v
n
1

 A    z p 


w
n
w n 1  w n 1 / 2
1
   z p


p n1  p n  p

     p    x u n1 / 2   y v n1 / 2   z w n1 / 2 
2
x
2
y
2
z
Решение уравнений НавьеСтокса (Рейнольдса) МПА
u v w


0
x y z
u
1 p
u
u
u
 K  D C 
t
 x
v
1 p
 K v  Dv  C v 
t
 y
w
1 p
w
w

 K  D   
t
 z
 
 Sw  K   D   C
t
Решение уравнений НавьеСтокса (Рейнольдса) МПА
u
n 1 / 2
u
n
A 0
u

v n 1 / 2  v n

A 0
w n 1 / 2  w n

v
A 0
w
  n 1 / 2    n
 A  0


2
x

    z  z  p
2
y
n 1
u n 1  u n 1 / 2

v n 1  v n 1 / 2

w n 1  w n 1 / 2



1

1


 z p n 1
 y p n 1
1

 z p n 1    n 1
  n 1    n 1 / 2
  Sw n 1


  x u n 1 / 2   y v n 1 / 2   z w n 1 / 2    n 1 / 2 

Решение уравнений НавьеСтокса (Рейнольдса) MM5
Эластическая модель p=RT
u
n 1
u
n

v
n 1
v

n
1

 A    x p 


n
u
1

 A    y p 


n
v
 n 1   n
  x  n u n 1    x  n v n 1    x  n w n 1 

w
n 1
w

n
 A  
w
n 1
1

g    x p 


n 1