Лекция 2: Кинематика мат.точки

Лекция №2
Механика
Кинематика материальной точки
Алексей Викторович
Гуденко
14/02/12
Механика




Механика – наука о движении и равновесии тел.
Механическое движение – перемещение тела
относительно других тел.
Основная задача механики – определить
положение тела в любой момент времени.
Ньютоновская, или классическая
нерелятивистская механика – это механика
малых (по сравнению со скоростью света)
скоростей и больших по (сравнению с массами
атомов) масс.
Характерные скорости и массы




Скорость света:
c = 300000 км/с = 3 108 м/с = 3 1010 см/с
Скорость космического аппарата:
v ~ 10 км/с.
Скорость орбитального движения Земли:
v ≈ 30 км/с.
Погрешность: (v/c)2 ~ 10-9 ÷ 10-8
Протон в ускорителе: Δv = (c – v) ~ 1см/с;
Электрон в ускорителе: Δv = (c – v) ~ 0,1мм/с – к таким
частицам ньютоновская механика неприменима:
Ускоритель рассчитывается по законам релятивистской
механики.
Масса протона mp = 1,67 10-27 кг.
Масса электрона me = 9,11 10-31 кг.
Кинематика
Основные понятия




Кинематика занимается описанием движения
без выяснения причин, его вызывающих.
Система отсчёта:
тело отсчёта + система координат + часы
Единица длины – метр (м);
единица времени – секунда (с)
Модели:
1.
2.
материальная точка – тело, размерами которого при
описании движения можно пренебречь.
абсолютно твёрдое тело – тело, деформациями
которого в условиях задачи можно пренебречь.
Кинематики материальной
точки







Описать движение материальной точки
означает указать её положение в
пространстве в любой момент времени, т.е.
установить закон движения материальной
точки.
координатный способ:
x = x(t); y = y(t); z = z(t) – три степени свободы
материальной точки
векторный способ:
r = r(t) – радиус-вектор
Траектория движения тела – линия,
которую описывает тело в процессе
движения
Путь – длина траектории s.
Перемещение – вектор, соединяющий
начальное положение точки с конечным:
Δr = r – r0
Для малых перемещений Δr ≈ Δsτ
τ – единичный вектор вдоль Δr
Y
перемещение
траектория
y0
Δr
y
r0
r(t)
x0
x
X
Скорость и ускорение

Скорость:
v = dr/dt = τ ds/dt = vτ – скорость направлена по
касательной к траектории в сторону движения

Ускорение:
a = dv/dt = d(vτ)/dt
a = dv/dt τ + v2/R n
aτ = dv/dt – тангенциальная составляющая ускорения
характеризует быстроту изменения величины скорости
an = v2/R – нормальная составляющая ускорения
направлена по нормали в сторону вогнутости и
характеризует быстроту изменения направления
скорости. (R – радиус кривизны траектории).
Полное ускорение
a2 = an2 + aτ2



Скорость и ускорение
Y
v1
v1
dr = sτ
v
r
v2
Δvn
Δv
v2
Δvτ
r + dr
aτ
an
v
0
X
a
Относительность движения
Закон сложения скоростей


K′ поступательно движется
относительно системы К
r = r0 + r′ 
Y′
Y
v = v0 + v′
классический
(нерелятивистский) закон
сложения скоростей:
абсолютная скорость тела v
равна векторной сумме
относительной скорости v′ и
переносной скорости v0
движущейся системы отсчёта
K′ - система
K - система
A
r′
r
O′

a = a0 + a′
a0 = 0  a = a′
при равномерном и прямолинейном
движении СО относительно друг
друга (v0 = const) ускорение тела в
этих двух системах одинаково
X′
r0
O
X
Уравнение движения с постоянным
ускорением



a = const 
dv/dt = a  v = v0 + at – закон изменения скорости
при равноускоренном движении 
dr/dt = v0 + at  r = r0 + v0t +at2/2
s = r - r0 = v0t +at2/2 – закон равноускоренного
движения
Движение по окружности





ω = dφ/dt – угловая скорость. ω – направлен
вдоль оси вращения по правилу буравчика.
ε = dω/dt - угловое ускорение
v = [ωr]
aτ = εr – тангенциальное ускорение;
an = ω2r = v2/r; an = -ω2r – центростремительное
ускорение
T = 2π/ω – период обращения; f = 1/T – частота
вращения.
Колесо (№ № 1.6;1.8)





x = v0t + Rsinωt
y = R + Rcosωt
vx = x’ = v0 + ω Rcosωt = v0(1 + cosωt) = 2v0cos2φ/2
vy = y’ = - ωRsinωt = - v0sinωt = - 2v0sinφ/2cosφ/2
Отсутствие проскальзывания: vx(φ = π) = 0  v0 = ωR
v2 = vx2 + vy2 = 4v02cos2φ/2  v = 2v0cosφ/2 = ωDcosφ/2
= ωAB
радиус кривизны: a = a’  a = an = v02/R = (2v0)2/rкр 
rкр = 4R