Issledovanie

В мир согласный
Вечно – ясный,
Чёт и нечёт нас влечёт
К. Бальмонт
ЧЁТНЫЕ И НЕЧЁТНЫЕ
ФУНКЦИИ
1
Содержание
Теоретическая часть работы.
1. Определение чётной и нечётной функции.
2. Понятие ни чётной ни нечётной функции.
3. Применение чётности и нечётности в физике.
4. Свойства чётных и нечётных функций.
5. Доказательство некоторых свойств.
Практическая часть.
1. Примеры исследования данной функции на чётность и
нечётность.
2. Исследование на чётность и нечётность функции с помощью
построения графика
3. Связь чётности и нечётности с другими свойствами функции.
4. Занимательные исследовательские задания.
Выводы и вопросы оставшиеся без ответов.
Список литературы.
2
Теоретическая часть работы.
Определение чётной и нечётной функции.
Числовая функция у=f(х) называется четной, если:
1) область определения функции симметрична относительно точки О числовой
оси (т. е. если точка x0 принадлежит области определения функции, то и точка – x0
также принадлежит области определения функции);
2) для любого значения независимой переменной, принадлежащего области
определения функции, выполняется равенство
f(x)=f(–x).
(1)
Примеры четных функций: у=с , у=х , у=|x| .
График четной функции на координатной плоскости Оху симметричен
относительно оси ординат.
Докажем это. Если точка М с координатами (х, у) принадлежит графику
функции f (рис. 1), т. е. f(X0)=У0, то, по определению четной функции, –x0  D(f) и
f(–X0)=Y0, а потому и точка М' с координатами (–x0, y0) принадлежит графику
функции f. Но точка М' как раз симметрична точке М относительно оси Оу. Таким
образом, вместе со всякой точкой М график четной функции f содержит и
симметричную ей точку М', а это и означает, что этот график симметричен
относительно оси ординат.
Верно и обратное если график функции f симметричен относительно оси
ординат, то функция f – четная.
Нечетные функции
Числовая функция y=f(x) называется нечетной, если:
1) область определения функции симметрична относительно точки О числовой
оси (т. е. если точка х0 принадлежит области определения функции, то и точка –х0
также принадлежит области определения функции);
2) для любого значения независимой переменной, принадлежащего области
определения функции, выполняется равенство
f(-x)=–f(x).
(1')
3
Примеры нечетных функций:y=x , y=1/x, y=2x
3
График нечетной функции на координатной плоскости Оху симметричен
относительно начала координат О.
Верно и обратное утверждение: если график функции f симметричен
относительно начала координат, то функция f нечетная.
Понятие ни чётной ни нечётной функции.
Отметим, что «нечетная функция» – это отнюдь не то же самое, что «не четная
функция» (т. е. функция, не являющаяся четной). Как правило, функция, «взятая
наугад», не будет ни четной, ни нечетной
график «произвольной» функции не
обязан обладать какими либо свойствами симметрии
Пример 1. Функция f(х)=1/(х+1) не является ни четной, ни нечетной, поскольку
для ее области определения D(f) = не выполнено условие симметрии: точка х0=1
принадлежит D(f), а точка –х0=–1 не принадлежит D(f).
Пример 2. Функция f(x)=х2+х+1 также не является ни четной, ни нечетной.
Эта функция определена всюду, и поэтому условие симметрии для нее выполнено,
однако ни условие четности, ни условие нечетности не выполнено. В самом деле,
f(–x)=х2–х+1. Положив х=1, находим f(1)=1+1+1=3, f(–1)=1–1+1=1, и f(–1) не равно
ни f(1), ни –f(1)
Применение чётности и нечётности в физике.
Физический пример
Если физическая система обладает какой–нибудь симметрией, то и связанные
с нею функции часто имеют те или иные свойства симметрии. В простейших случаях
возникают как раз четные или нечетные функции.
Пример. На горизонтальный стержень – ось Ох – надета однородная пружина,
концы которой закреплены в симметричных точках
x=–d, и х=d, а к середине пружины – в точке х=0 – прикреплена шайба, свободно
(без трения) перемещающаяся вдоль стержня (рис. 3, а). Пусть шайба отведена в
точку с координатой х. Обозначим через F(к) величину силы, действующей на шайбу
4
со стороны пружины (точнее говоря, проекцию этой силы на ось Ох), а через U(х) –
потенциальную энергию шайбы в этом положении. Очевидно, пружине безразлично,
вправо или влево отводится шайба: абсолютная величина силы и потенциальная
энергия при смещениях х и – х одинаковы, т. е.
|F(–х)|=|F(х)| и U(–x)=U(x).
Учитывая, что сила в положениях х и –х направлена в противоположные
стороны (см. рис. 3.б, в), можем записать
F(–х)=–F(х).
Таким образом, из одних лишь соображений симметрии мы получаем
следующее:
1) функция F(х), выражающая зависимость силы F от смещения х, нечетная;
2) функция U(х), выражающая зависимость потенциальной энергии от смещения,
четная.
Свойства чётных и нечётных функций.
Теорема 1. Если f и w четные функции, то f+, f–, f∙ – четные функции.
Теорема 2. Если f и w нечетные функции, то f+, f– – нечетные функции, а f∙
– четная функция.
Теорема 3. Если функция f является четной (соответственно нечетной) и не равна
нулю ни в одной точке, то функция 1/f также будет четной (соответственно нечетной).
Доказательство некоторых свойств
1). Сумма двух чётных функций чётна, а сумма двух нечётных функций нечётна.
Пусть функция f и  чётны и x  D(f)∩D(). Тогда f(–x)=f(x), (–x)=(x), и потому
 f     x   f  x     x   f  x     x    f    x 
Значит функция f+ – чётная. Аналогично доказывается нечётность функции
f+ в случае, когда f и  нечётные.
2). Произведение двух чётных функций является чётной функцией, равно как и
произведение двух нечётных функций.
Произведение чётной и нечётной функции – нечётная функция.
Пусть функция f и  чётны, а x и x  D(f)∩D(). Тогда имеем:
 f    x   f   x     x   f  x     x    f    x 
значит f∙ –чётная функция.
3). Очевидно, степенная функция f(х)=хn, где п N, при четном п будет четной, а
при нечетном n – нечетной (собственно, отсюда и появилась эта терминология).
Произвольный многочлен р(х), вообще говоря, не будет ни четной, ни нечетной
функцией. Однако его можно представить в виде суммы двух многочленов
р+ (х) и р– (х), являющихся соответственно четной и нечетной функциями. Например,
где
– сумма одночленов из р(х), содержащих х в четной степени, а
р– (х) = х7 – х5 + х
– сумма одночленов из р(х), содержащих х в нечетной степени.
Оказывается, что не только многочлен, но и любую функцию с симметричной
областью определения можно представить в виде суммы четной и нечетной
5
функции.
4). Теорема. Если функция f удовлетворяет условию симметрии, то ее можно
представить в виде суммы двух функций – четной f+(х) и нечетной f–(х)
f(x)=f+(x)+f–(x),
(1)
области определения которых те же, что у функции f: D(f+)=D(f–)=D(f) причем
такое представление единственно.
Доказательство. Допустим, что функция f(х) уже представлена в виде (1) и
функции f+ и f– удовлетворяют соотношениям
f+(-x)=f+(x),
(2)
f-(-x)=-f-(x)
Подставив в формулу (1) вместо х значение – х, из формул (2) получим
f(-x)=f+(-x)-f–(-x),
(3)
Складывая равенства (1) и (3), получаем
f(x)+f (-x)=2f+(x),
откуда
(4а)
Аналогично, вычитая (3) из (1), находим
(4б)
Таким образом, если функция f представима в виде (1), то функции f+ и f–
однозначно отыскиваются по функции f с помощью формул (4)
Следовательно, если представление (1) существует, то оно единственно.
Для произвольной функции f определим функции f+ и f– соотношениями (4)
Тогда из формул (4) следует, что, во–первых, f+(x)+f–(x)=f(х), те (1) выполняется,
и, во–вторых, что функции f+ и f– являются, соответственно, четной и нечетной.
Например, проверим условие нечетности для функции f– . Для произвольного х имеем
что и требовалось доказать Четность функции f+ проверяется точно так же.
Замечание. Приведенное доказательство носит, как говорят, конструктивный
характер: мы не только доказали существование и единственность представления (1),
но и указали формулы (4), по которым можно найти четную и нечетную «части»
данной функции.
6
Практическая часть.
Примеры исследования данной функции на чётность и нечётность.
Пример 1.
Доказать, что функция f(x)=3x2+x4 – чётная.
Решение
Область определения функции – все действительные числа. Она симметрична
относительно числа 0.
f(–x)=3(–x)2+(–x)4=3x2+x4=f(x).
Пример 2
Доказать, что функция f(x)=
x3+x
–нечётная.
x2–1
Решение
Область определения функции – все действительные числа, кроме 1 и –1:
D(f)=(–∞;–1)U(–1;1)U(1;+∞).
Очевидно, что область определения симметрична относительно числа 0.
f(–x)=
(–x)3–x
–x3–x
=
=–f(x).
(–x)2–1
x2–1
Пример 3
Проверить, является функция f(x)=–x2+x чётной или нечётной.
Решение
Область определения функции – все действительные числа. Она симметрична
относительно числа 0.
f(–x)=– (–x)2+ (–x)=–x2–x.
Функция не является ни чётной, ни нечётной , так как ни одно из равенств из
определения 1 и определения 2 не выполняется.
Пример 4
Функции f и g определены на множестве всех действительных чисел.
Является ли функция h(x) чётной или нечётной, если:
а) h(x) = f(x)g2(x), f и g – нечётные функции;
б) h(x) = f(x) + g(x), f и g – чётные функции.
7
Решение
а) h(–x)=f(–x)g2(–x)=–f(x).[–g(x)] 2=–f(x)g2(x)=–h(x).
h(x) – нечётная функция.
б) h(–x)=f(–x)+g(–x)=f(x)+g(x)=f(x)+g(x)=h(x).
h(x)– чётная функция.
Исследование на чётность и нечётность функции с помощью
построения графика
Построить график функции y=2|log2(3|x|-1)|+1
Построение
8
Вывод: график функции симметричен относительно оси ординат значит заданная
функция чётная.
Связь чётности и нечётности с другими свойствами функции.
Задание 1. На рисунках построена ветвь графика функции y=f(x). Постройте весь
график этой функции если известно, что
а) у=f(x) – четная функция.
б) у=f(x) – нечетная функция
в) у=f(x) – нечетная функция
г) у=f(x) – четная функция
Задание 2.
а) Известно, что функция у=f(x) - четная, возрастает и ограничена сверху при x>0.
Определите характер монотонности при x<0. Можно ли утверждать, что она при
х<0: ограничена сверху; ограничена снизу?
б) Известно, что функция у=f(x) - четная, убывает и ограничена снизу при x>0.
Определите характер монотонности функции при x<0. Можно ли утверждать, что
она при x<0 ограничена сверху; ограничена снизу?
в) Известно, что функция у=f(x) – нечетная, возрастает и ограничена снизу при x>0.
Определите характер монотонности при x<0. Можно ли утверждать, что она при x<0
ограничена сверху; ограничена снизу?
г) Известно, что функция у=f(x) – нечетная, убывает и ограничена сверху при x>0.
Определите характер монотонности при x<0. Можно ли утверждать, что она при x<0
ограничена сверху; ограничена снизу?
Задание 4.
Задайте h(x) так, чтобы функция y=f(x):
а) являлась четной;(рис.4)
б) являлась нечетной.(рис.5)
Задание 5.
Задайте, если это возможно, h(x) так, чтобы функция y=f(x):
а) являлась четной;(рис.6)
б) являлась нечетной.
9
Занимательные исследовательские задания.
Задание 1
Известно что точки А(-3;-2), В(1;5), С(3;2), D(-1;-5) принадлежат одному и тому
же графику. Выясните, может ли эта функция быть чётной; нечётной.
Решение.
Эта функция не может быть чётной ибо f(3)≠f(-3). Функция может быть
нечётной, но с уверенностью судить об этом нельзя из–за недостатка информации.
Задание 2
Задана функция f(x)=xn. Известно что одно из утверждений об этой функции
ложно а два других – истины. Выясните будет ли данная функция чётной.
1). Уравнение xn=15имеет одно решение
2). f(-12)=f(12)
3). Точка А(-2;4096) принадлежит графику данной функции
Решение.
Из первого утверждения следует, что f(x) нечётная, из второго –f(x) чётная.
Теперь всё зависит от третьего утверждения. Так как (-2)n=4096, то n–чётное число.
Значит, функция f(x) является чётной.
10
11
12
13
Выводы и вопросы оставшиеся без ответов.
1.
Найдите все четные и все нечетные функции среди
а) линейных функций
f(х)=ах+b,
б) квадратичных функций
f(х)=ах2+bх+с,
в) функций вида
f(x)=аcos x+bsinx .
2 Существуют ли всюду определенные функции, являющиеся одновременно
а) четными и возрастающими на R,
б) нечётными и убывающими на R
в) нечётными и положительными на R.
3. Может ли
а) четная;
б) нечетная функция иметь в точности
1) одну; 2) две; 3) три точки экстремума ?
4. а) Докажите, что производная четной функции нечетна, а производная нечетной
функции, напротив, четна.
б) Верны ли обратные утверждения:
1.Если f’(x) - четная функция, то f(x) - нечетная функция;
2.Если f’(x) - нечетная функция, то f(x) - четная функция.
5. (а – г) Известно, что функция f(x) всюду определена, четна и
периодична с периодом Т = 4. Восстановите ее график по участку,
изображенному на рисунке 5. В каких случаях это нельзя сделать ?
В каких случаях это можно сделать, но неоднозначно ?
14
Список литературы
1. Журнал «Квант» №4 1994 г.
2. «Алгебра и математический анализ» Н.Я. Веленкин
3. «Даю уроки математики …» А.П. Карп
4. «Занимательные задания в обучении математике» М.Ю. Шуба
5. «Алгебра 9» А.Г. Мордкович
15