VIRKNES последовательности 10.klase Liepājas A.Puškina 2.vidusskola Olga Maļkova ESF projekta. Nr. 2008/0001/1DP/1.2.1.2.2./08/IPIA/VIAA/002 Bērna auguma dinamika Vecums (gadi) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Augums (cm) 54 76 105 123 136 152 168 178 184 Latvijas iedzīvotāju skaits 2009.g., tūkst. I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII 2261 2260 2259 2258 2257 2256 2256 2255 2254 2253 2251 2250 Skaitļu virkne Числовая последовательность- это функция, заданная на множестве натуральных чисел. an= f(n) a1; a2; a3; … an; … n - arguments - indekss (norāda virknes locekļa kārtas numuru) virknes locekļi – funkcijas vērtības f(1); f(2); f(3); ... f(n); ... an – virknes vispārīgais loceklis jeb n –tais loceklis Virknes sastāda tādus dabas elementus, kurus var sanumurēt. Eksperimentu rezultāti Nedēļas dienas Klases skolā Mēnešu nosaukumi Bankas rēķinu numuri No vēstures Skaitļu virknes jēdziens radās un attīstījās ilgi pirms jēdziena funkcijas rašanās. Bezgalīgu skaitļu virkņu piemēri, kuri pazīstami jau senatnē: 1, 2, 3, 4, 5 ... - naturālo skaitļu virkne; 2, 4, 6, 8, 10 ... - pāru skaitļu virkne; 1, 3, 5, 7, 9 ... - nepāru skaitļu virkne; 1, 4, 9, 16, 25 ... – naturālo skaitļu kvadrātu virkne; 2, 3, 5, 7, 11 ... - pirmskaitļu virkne - skaitļu, kas apgriezti naturāliem, virkne Virknes uzdošanas veidi Aprakstoši, t.i. ar vārdiem. Ar tabulas palīdzību. Grafiski. Analītiski ar vispārīgā (jeb n-tā) locekļa formulu. Rekurenti ar rekurences formulu (no vārda recursio – atgriezties) – formula, kura izsaka jebkuru virknes locekli, sākot no kāda konkrēta, ar iepriekšējiem. Piemērs (yn): naturālie skaitļi, kuri dalās ar 3. (yn): 3; 6; 9; 12; 15 ... n 1 2 3 4 5 6 (yn) 3 6 9 12 15 16 yn = 3n yn = yn-1 + 3 y1 = 3 Fibonači skaitļu virkne Задача из «Книги абака» (1202.g.) Некто поместил пару кроликов в новом месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения. Fibonači virkne Skaitļu virkni, kura veidojas pierakstot trušu pāru skaitu katrā paaudzē, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... dēvē par Fibonači virkni. Katrs nākamais virknes loceklis ir divu iepriekšējo virknes locekļu summa. Leonardo Fibonači ( Leonardo Pizano 1170-1250) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… Fibonači skaitļu virkne 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… F1=1, F2=1, Fn+1= Fn+ Fn-1 Fibonači spirāle 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… Молекулы ДНК скручены в спираль По спирали происходит рост тканей в стволах деревьев Винтовое расположение атомов в кристаллах Спирально закручиваются усики растений По спирали расположены семечки в подсолнухе 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… Сосновая шишка 8 и 13 13 и 21 Ракушка 21 Подсолнух 34 и 55 55 и 89 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… Гигантская морская черепаха 5 пластин в центре 8 – по краям 21 – на периферийной кайме 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т.д. Крокодил 55 роговых пластин 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… Гадюка 55 темных пятен 144 позвонка 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… Комар 3 пары ног 5 усиков 8 сегментов (брюшко) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… Стрекоза 3 части корпуса (голова, грудь, брюшко) 5 сегментов (брюшко) 8 частей хвоста 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… 13 – число пар рёбер 21 – пара зубов 55 – число позвонков 34 пары зубов 233 пары зубов 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… 1 – туловище, голова, сердце и т.д. 2 – руки, ноги, глаза, почки Из 3 частей состоят ноги, руки, пальцы рук 5 пальцев на руках и ногах 8 состав руки вместе с пальцами 12 пар рёбер ≈ 32 – число зубов 34 - позвонка ≈ 233 – общее число костей скелета 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… 3 5, 5 3, 5 8, 8 8 «Прощанье», «Предчувствие», «Пью за здравие Мери…», «Заклинанье…» 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… 8, 13, 21, 34 строки «В крови горит огонь желаний…» «Я вас любил, любовь ещё, быть может…» «Пора, мой друг, пора! Покоя сердце просит…» «Сонет» «Поэту» «Мадонна» «Няне» «Храни меня, мой талисман» «Во глубине сибирских руд» «Я памятник себе воздвиг нерукотворный…» «Зимний вечер» «Анчар» Virkņu monotonitāte Virkni sauc par augošu (dilstošu), ja katrs nākamais tās loceklis ir lielāks (mazāks) par iepriekšējo, t.i. an+1 > an katram ( an+1 < an ) Augošās un dilstošās virknes sauc arī par monotonām virknēm. Virkni, kuras visi locekļi ir vienādi, sauc par nemainīgu jeb konstantu. an = c (c - konstanta) Virkni, kuras katri divi locekļi ir ar dažādām zīmēm, sauc par maiņzīmju virkni. Galīgas un bezgalīgas virknes Virkni, kuras locekļu skaits ir ierobežots, sauc par galīgu. Piem.: Divciparu pirmskaitļu virkne. Virkni, kuras locekļu skaits ir neierobežots, sauc par bezgalīgu. Piem.: Nepāru skaitļu virkne.