Многочлены: теорема Безу и схема Горнера. Разложения

Тема 6. «Многочлены: теорема Безу и схема Горнера. Разложения
алгебраических дробей»
Ранее понятие многочлена было определено как алгебраическая
сумма одночленов. Если все подобные одночлены многочлена
приведены и расположены в порядке убывания степени переменной,
то полученная запись называется канонической формой записи
многочлена.
Определение. Выражение вида
an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a2 x 2  a1 x  a0 ,
переменная, an , an 1 , an  2 ,..., a2 , a1 , a0 
действительные числа, причем an  0 , называется многочленом
степени n от переменной x. Степенью многочлена является
наибольшая степень переменной в его канонической записи. Если
переменная не встречается в записи многочлена, т.е. многочлен равен
константе, его степень считается равной 0. Случай, когда многочлен
f ( x)  0, необходимо рассматривать отдельно. В этом случае
где
x
–
некоторая
принято считать, что его степень не определена.
2
Примеры. 3x  9 x  1  многочлен второй степени,
1 5
2
x  4 x 4  x 2  8  многочлен пятой степени.
5
3
Определение. Два многочлена равны тогда и только тогда, когда
у них в канонических формах при одинаковых степенях стоят
одинаковые коэффициенты.
Определение. Число xo  R называется корнем многочлена
f ( x)  an x n  an1 x n1  ...  a0 , если при постановке этого числа вместо
x многочлен принимает значение 0, т.е. f ( x0 )  0. Другими словами,
xo будет являться корнем уравнения f ( x)  0.
Таким образом, задача отыскания всех корней многочлена и
корней рационального уравнения – одна и та же задача.
Рациональные уравнения первой и второй степени решаются по
известным алгоритмам. Существуют также формулы отыскания
корней многочленов третьей и четвертой степени (формулы Кардано
и Феррари), однако в силу их громоздкости они не входят в курс
элементарной математики.
Общей идеей отыскания корней многочленов высших степеней
является разложение многочлена на множители и замена уравнения
равносильной ему совокупностью уравнений более низкой степени.
 g ( x)  0,
f ( x )  0  g ( x )  h( x )  0  
 h( x)  0.
В предыдущих темах отмечались основные способы разложения
многочленов на множители: вынесение общего множителя;
группировка; формулы сокращенного умножения.
Однако способ группировки не носит алгоритмического
характера, поэтому его трудно применять для многочленов больших
степеней. Рассмотрим некоторые дополнительные теоремы и методы,
позволяющие раскладывать на множители многочлены высших
степеней.
Теорема о делении с остатком. Пусть даны многочлены
f ( x), g ( x) , причем степень g ( x) отлична от 0, и степень f ( x)
больше степени g ( x) . Тогда существуют многочлены h( x), r ( x) ,
такие, что выполняется равенство
f ( x)  g ( x)  h( x)  r ( x) .
Причем, степень r ( x) меньше степени g ( x). Многочлен f ( x)
называется делимым, многочлен g ( x)  делителем, многочлен h( x) 
неполным частным, а многочлен r ( x)  остатком.
Если остаток от деления равен 0, то говорят, что f ( x) делится на
g ( x) нацело, при этом равенство принимает вид:
f ( x)  g ( x)  h( x).
Алгоритм деления многочлена на многочлен аналогичен
алгоритму деления числа на число столбиком или уголком. Опишем
шаги алгоритма.
1. Записать делимое в строчку, включая все степени переменной (те,
которые отсутствуют, записать с коэффициентом 0).
2. Записать в «уголке» делимое, включая все степени переменной.
3. Чтобы найти первое слагаемое (одночлен) в неполном частном,
нужно старший одночлен делимого разделить на старший
одночлен делителя.
4. Полученное первое слагаемое частного умножить на весь делитель
и результат записать под делимым, причем одинаковые степени
переменной записать друг под другом.
5. Из делимого вычесть полученное произведение.
6. К полученному остатку применить алгоритм, начиная с пункта 1).
7. Алгоритм завершен, когда полученная разность будет иметь
степень меньше степени делителя. Это – остаток.
Пример. Разделить многочлен x4  2x3  x  1 на x 2  2 .
1. Записываем делимое и делитель
x 4  2 x3  0  x 2  x  1 x 2  2
4
2
2. Находим старший одночлен частного, разделив x на x .
Умножаем его на делитель и вычитаем из делимого.
x 4  2 x3  0  x 2  x  1 x 2  2
 4
x2
x 
 2  x2
2 x3  2 x 2  x  1
3. Повторяем процедуру

x 4  2 x3  0  x 2  x  1 x 2  2
x4 
 2  x2
x2  2 x  2
2 x3  2 x 2  x  1
 2 x3  0  x 2  4 x
 2 x 2  3x  1
 2 x 2  0  x  4
 3x  3
Степень 3x  3 меньше степени делителя. Значит, это –
остаток. Результат деления запишется так:
x 4  2 x3  x  1   x 2  2  x 2  2 x  2   3x  3
Схема Горнера. Если делителем является многочлен
первой степени, то процедуру деления можно упростить.
Рассмотрим
алгоритм
деления
многочлена
f ( x)  an x n  an1 x n1  ...  a0 на двучлен  x  a  .
1.
2.
3.
4.
5.
Нарисовать таблицу с двумя строками и числом столбцов,
равным степени делимого, увеличенной на единицу.
В первую строку таблицы вписать коэффициенты делимого,
записанного в канонической форме, включая и нулевые
коэффициенты для отсутствующих степеней x.
Перед началом второй строки вписать число а. В первую
клетку второй строки вписать то число, которое стоит в первой
клетке первой строки (старший коэффициент делимого будет и
старшим коэффициентом делителя).
Каждая следующая клетка второй строки заполняется по
правилу: предыдущее число второй строки умножается на
число а, к результату прибавляется число из первой строки,
стоящее в клетке с предыдущим номером.
В результате в клетках второй строки (кроме последней)
получаем коэффициенты неполного частного, а в последней –
остаток от деления. Если остаток получился 0, то исходный
многочлен делится на двучлен  x  a  без остатка.
3
Пример. Разделить по схеме Горнера многочлен x  3x  2 на
x  2 . В этом случае а=2. Выпишем по шагам результаты
выполнения алгоритма.
Шаг первый.
1
1
2
Шаг второй 2 1  0  2
0
1
1
2
Шаг третий 2 2  (3)  1
-3
0
2
1
1
2
Шаг четвертый 2 1  2  4
2
-3
0
2
1
1
2
2
-3
1
0
2
2
-3
1
2
4
Таким образом, результат деления запишем так
x 3  3x  2   x  2   x 2  2 x  1  4 .
Замечание. Если необходимо выполнить деление на двучлен
b

g ( x)  ax  b, то его преобразовывают к виду g ( x)  a  x   ,
a

b

тогда f ( x)   ax  b  h( x)  r  a  x   h( x)  r . Отсюда видно, что,
a


 b 
разделив по схеме Горнера f ( x) на  x      , мы найдем a  h( x).
 a 

Тогда искомое частное h( x) получится делением найденного на а.
Остаток остается таким же.
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена f ( x) на x  a
равен значению многочлена в точке x=а, т.е. f (a) . Многочлен f ( x)
делится на x  a без остатка тогда и только тогда, когда x=а является
корнем многочлена f ( x) .
Таким образом, найдя один корень многочлена а, можно его
разложить на множители f ( x)   x  a   h( x) , выделив множитель h( x)
, имеющий степень на единицу меньше степени f ( x) . Найти этот
множитель можно либо по схеме Горнера, либо делением «уголком».
Вопрос о нахождении корня решается либо подбором, либо с
использованием теоремы о рациональных корнях многочлена.
n
n1
Теорема. Пусть многочлен an x  an1 x  ...  a0 имеет целые
p
коэффициенты. Если несократимая дробь q является корнем
многочлена, то ее числитель p является делителем свободного члена
a0 , а знаменатель q является делителем старшего коэффициента an .
Эта теорема лежит в основании алгоритма поиска рациональных
корней многочлена (если они есть).
1. Выписать все делители свободного члена.
2. Выписать все делители старшего коэффициента.
p
3. Составить дроби вида q , удовлетворяющие условиям
теоремы. Эти числа являются «претендентами» в
рациональные корни многочлена.
4. Подстановкой или по схеме Горнера имеются среди
«претендентов» корни многочлена. Если многочлен имеет
рациональные корни, то они все содержатся среди
«претендентов» и будут выявлены.
p
x

5. Разделить многочлен на двучлен
q.
6. К полученному частному можно вновь применить данный
алгоритм. При этом список «претендентов» либо остается тем
же, либо сокращается.
Разложение алгебраической дроби в сумму простейших дробей
Определение Дробь, в числителе и в знаменателе которой стоят
многочлены, называется алгебраической дробью.
Рассмотрим алгебраические дроби от одной переменной. Их в
Pn ( x)
общем виде можно записать так: Q ( x) , где в числителе стоит
k
многочлен степени n, в знаменателе – многочлен степени k. Если
n  k , то дробь называется правильной.
К простейшим алгебраическим дробям относятся правильные
дроби двух видов:
1)
2)
( x  a) m , m  N
В знаменателе дроби стоит многочлен вида
числителе – число (многочлен нулевой степени).
В
знаменателе
дроби
стоит
 ax2  bx  c  , a  0, b2  4ac  0, s  N ,
,ав
многочлен
s
а
в
числителе –
многочлен первой степени.
Теорема. Любую алгебраическую дробь можно представить в
виде суммы простейших алгебраических дробей.
Алгоритм разложения алгебраической дроби в сумму
простейших дробей.
1.
2.
3.
Разложить знаменатель на множители.
Определить количество правильных дробей и вид их
знаменателей.
Записать равенство, в левой части которого – исходная дробь, в
правой – сумма простейших дробей с неопределенными
коэффициентами.
4.
5.
6.
Привести дроби в правой части к общему знаменателю.
Приравнять многочлены, стоящие в числителях дробей.
Пользуясь определением равенства многочленов, составить
систему линейных уравнений и решить ее, найдя
неопределенные коэффициенты.
Записать ответ.
Задания для аудиторного занятия
1. Разделить многочлен f ( x) на многочлен g ( x) .
a) f ( x)  x 4  2 x3  x 2  5 x  1, g ( x)  x 2  x  1;
b) f ( x)  3x 4  2 x 2  4, g ( x)  x 2  2 x  1.
2. Разложить многочлен на множители, применяя схему Горнера,
если известен один его корень:
a) x3  3x 2  7 x  12, x1  4; b) x 4  4 x3  2 x 2  24 x  24, x1  2.
3. Выяснить, делится ли нацело многочлен
2012
2011
50
49
x 1
x

4
x

2
x

x
a)
на
;
6
4
3
b) x  2 x  22 x  2 x  14 на x  7.
4. Найти значения параметров а и b, при которых выполняется
тождественное равенство
a) x5  x3  2   x  1  x 4  ax 3  2 x 2  2 x  b  ;
b) x5  2 x 4  x3  2 x 2  4 x  8   x  2   x 3  ax 2  3x  b  . .
2
5. Найдите все пары значений а и b, при которых многочлен
f ( x) делится нацело на многочлен g ( x) .
a) f ( x)  2 x3  5 x 2  ax  b; g ( x)  x 2  4;
b) f ( x)  3x 4  5 x3  ax 2  bx  10; g ( x)  x 2  x  2.
4 x4  5x2  2 x
6. Выделить целую часть из дроби x3  x 2  x  6 .
7. Разложить в сумму простейших дробей.
3x 2  x  6
a) 3
;
2
x  2x  4x  8
x3  5 x 2  x  9
b) 4
.
3
2
x  2x  4x  6x  3
3x 2  5 x  2
8. Сократить дробь 3
.
x  x2  x  6
9*. Многочлен x3  x2  ax  b имеет корни x1  3, x2  4. Найти
а и b и третий корень этого уравнения.
10*. Разложить многочлен x3  9 x2  27 x  27 по степеням x  3.
11*. При делении многочлена Р(х) на x  2 получился остаток 6,
при делении его на ( x  3) - остаток 26, а при делении на ( x  4) 
остаток 12. Найти остаток от деления многочлена Р(х) на многочлен
 x  2 x  3 x  4  .
12*. Обобщить теорему Виета для многочленов третьей степени.