Методы решения логических задач

Методы решения логических задач
Степушкина Наталья Юрьевна, учитель математики МОУ СОШ №6
Школьный курс математики не предусматривает изучение методов
решения логических задач. С этим же связано отсутствие учебников и
методических пособий по данному вопросу. Таким образом, тема настоящей
работы является не только актуальной, но и относительно новой.
Умение мыслить последовательно, рассуждать доказательно, строить
гипотезы, опровергать неправильные выводы не приходит само по себе. Это
умение развивает наука логика. Систематическое овладение азами этой науки
невозможно без решения логических задач. Логические задачи – это хороший
способ развития умственных способностей для людей всех возрастов.
1. Основные методы
Термин «логическая задача» четко не определен. В большинстве случаев
логическими задачами называют задачи, которые требуют лишь логического
мышления и не требуют арифметических выкладок. Во-первых, логические
задачи отличаются от большинства математических задач тем, что для их
решения часто не требуется запас каких-то специальных знаний, а нужна, как
правило, сообразительность. Во-вторых, решение задач чисто логического
типа в некоторой мере напоминает решение научной проблемы.
Среди известных логических задач можно выделить несколько классов
задач, решение которых сводится к применению определенных приемов:
логические задачи, решаемые с помощью таблиц и графов, логические
задачи,
требующие
упорядочения
множеств,
турнирные
задачи,
арифметические ребусы, игровые логические задачи, задачи о «лгунах».
Обнаружены описания следующих методов решения логических задач:
метод рассуждений, метод таблиц, метод графов, метод блок-схем, метод
кругов Эйлера, метод бильярда, алгебра логики.
1.1. Метод рассуждений
Метод рассуждений - самый простой из всех методов. Данный метод не
говорит о способе и очередности выбора этих допущений, поэтому он
используется лишь для простых логических задач. Этим способом решаются
самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы проводим
рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к
выводу, который и будет являться ответом задачи.
1.2. Метод таблиц
Для решения задач данным методом составляются специальные
таблицы. Из условия задачи выбираются все объекты (или субъекты) –
предметы, явления, люди и прочее, и записываются в заголовках строк этих
таблиц. Соответственно в заголовки столбцов заносятся описываемые
свойства (цвет, форма, профессии, и т.п.) этих объектов. После формирования
шапки таблицы заполняются связи между объектами и их свойствами:
плюсами отмечаются свойства присущие объекту, а минусами – свойства не
характерные для объекта.
1.3. Метод графов
Графом называется геометрическая фигура, состоящая из множества
точек и линий, соединяющих эти точки. Точки называются вершинами графа,
а линии – ребрами графа. При решении задач методом графов по условию
задачи строится некий граф. Можно предложить два способа решения задач
при помощи графов.
1.4. Метод блок-схем
Метод блок-схем позволяет систематизировать и оформлять решение
задач, которые обычно решают перебором возможных вариантов. Этот класс
задач на переливание жидкостей при помощи разных сосудов, а также на
взвешивание при помощи рычажных весов.
1.5. Метод кругов Эйлера
Круги Эйлера – это геометрическая схема, с помощью которой наглядно
изображаются отношения между подмножествами. «Они очень подходят для
того,
чтобы
облегчить
наши
размышления»
писал
Леонард
Эйлер,
изобретатель данного способа решения задач. Используются круги в
математике, логике, менеджменте и других прикладных науках.
1.6. Метод бильярда
Модель поведения бильярдного шарика удачно применяется для
решения задач на переливание жидкостей при помощи двух сосудов. Этот
метод называется методом бильярда.
Для решения задач будем изображать бильярдный стол в виде
параллелограмма с острым углом в 60 градусов. Тогда борта нашего стола
будут символизировать имеющиеся у нас сосуды, а длины бортов будут
соответствовать в абсолютном выражении емкости сосудов. Для удобства
нанесем вдоль бортов координатную сетку через равные целочисленные
интервалы –
это объемы жидкости, получаемые при переливании.
Прослеживая всю траекторию движения шарика и записывая значения в
точках его соударения в отдельную таблицу, мы зафиксируем все варианты
объемов жидкости, получаемых при ее переливании с помощью данных
сосудов.
1.7. Алгебра логики
Если все предыдущие методы являлись методами решения задач без
формул, т.е. основывались на рассуждениях, то существует также формальный
способ решения логических задач. Это решение при помощи алгебры логики.
Данный метод позволяет решать класс задач, в которых необходимо
установить истинность или ложность некоторого суждения.
Алгебра логики – является универсальным, а поэтому и достаточно
сложным механизмом решения логических задач. Наиболее простой из них
является классическая логика (булева алгебра), в которой предполагается, что
любое
высказывание
Переменными
может
(X,Y,Z,…)
в
быть
алгебре
либо
истинным,
логики
являются
либо
ложным.
высказывания.
Логические связи в задаче между высказываниями (И, ИЛИ, НЕ) – операции
алгебры логики (соответственно &, v, ).
При решении задач этим методом необходимо уметь преобразовывать
логические формулы, т.е. нужно знать основные законы и правила
преобразования булевой алгебры: переместительный, сочетательный и
распределительный законы, законы де Моргана и т.п.
Заключение
Одной лишь работы с готовыми алгоритмами арифметических действий,
эпизодического решения логических задач, предлагающихся в учебниках
математики, недостаточно для создания реальной основы для развития
логического мышления.
Распространенные логические задачи можно разделить на следующие
основные виды:
o
истинностные задачи – все высказывания (условия задачи) либо
истинны либо ложны, т.е. известен статус высказываний;
o
количественные задачи с множествами объектов – отдельный подвид
истинностных
задач,
в
которых
нужно
вычислить
количество
объектов/субъектов по их заданным свойствам;
o
задачи о правдолюбцах и лжецах – не известен статус высказывания
(не известно истинно высказывание либо ложно);
o
задачи на взвешивание и переливание.
Список источников
1. Баврин И.И., Фрибус Е.А.Старинные задачи. Книга для учащихся. М.:
Просвещение, 1994.— 128 с.
2. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки - Под редакцией М. К. Потапова, — 2-е
изд. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы,
1979, 208 с.
3. Смаллиан Р. "Как же называется эта книга?" М.: Мир, 1981,137 с.
4. Смаллиан Р. Алиса в стране смекалки - М.: Мир, 1983, 164 с.
5. Смаллиан Р."Принцесса или тигр?" - М.: Мир, 1985,154 с.