файл Lekciya_Opredelennyy

Лекция. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
1. Определенный интеграл.
Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от
функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа
слагаемых, каждое из которых стремится к нулю:
𝑏
𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑎
∑ 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑖 𝑥,
lim
𝑛→∞
max ∆𝑖 𝑥→0 𝑖=1
где
𝑛
∑ 𝑓(𝑥𝑖 )∆𝑖 𝑥 = 𝑓(𝑥1 )∆1 𝑥 + 𝑓(𝑥2 )∆2 𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑘 )∆𝑘 𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛 )∆𝑛 𝑥.
𝑖=1
Свойства определенного интеграла
Если f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b], то
𝑏
1. ∫ 1𝑑𝑥 = 𝑏 − 𝑎;
𝑎
𝑏
𝑏
2. ∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ;
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑏
3. ∫(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ;
𝑎
𝑏
𝑎
𝑎
𝑐
𝑏
4. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , где 𝑎 < 𝑐 < 𝑏;
𝑎
𝑎
𝑐
𝑎
5. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0;
𝑎
𝑏
𝑎
6. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ;
𝑎
𝑏
𝑏
7. Если 𝑓(𝑥) ≥ 0 в интервале [𝑎, 𝑏], то ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0.
𝑎
2. Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b].
Если F (x) - первообразная функции f (x) на[a, b], то
𝑏
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) |
𝑎
= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎).
𝑎
Пример 1.
2
Вычислить интеграл ∫(𝑥 3 − 𝑥 2 )𝑑𝑥.
0
Решение.
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем
2
𝑥4 𝑥3 2
16 8
0 0
2
1
∫(𝑥 3 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 = ( − ) | = ( − ) − ( − ) = (4 − 2 ) − 0 = 1 .
4
3
4 3
4 3
3
3
0
0
Пример 2.
1
3
Вычислить интеграл ∫( √𝑡 − √𝑡)𝑑𝑡.
0
Решение.
1
1
1
∫( √𝑡 − √𝑡)𝑑𝑡 =
1
∫ (𝑡 3
0
0
3
1
𝑡 2 ) 𝑑𝑡
−
𝟒
4
1
3
4
3
1
𝑡 3+1
𝑡 2+1
𝑡3 𝑡 2 1
3𝑡 3 2𝑡 2 1
=(
−
)| = ( − )| = (
−
)| =
1
1
4
3
4
3
0
0
3+1 2+1 0
3
2
𝟑
𝟒
𝟑
3 ∙ 1𝟑 2 ∙ 1 𝟐
3 ∙ 0𝟑 2 ∙ 0 𝟐
3 2
1
=(
−
)−(
−
)=( − )−0= .
4
3
4
3
4 3
12
Замечание. При интегрировании четных и нечетных функций в симметричных пределах
интегрирования полезно использовать формулу:
𝒂
𝒂
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
−𝒂
𝟐 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , если 𝑓 (𝑥) − четная функция,
𝟎
если 𝑓 (𝑥) − нечетная функция.
{ 0,
Пример 3.
4
Вычислить интеграл ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥.
−4
Решение:
Функция f (x) = 𝑥 2 – четная.
4
4
2
∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = 2 ∙
−4
0
𝑥3 4
43 03
64 128
2
| = 2∙( − )= 2∙
=
= 42 .
3
3
3
3
3
3
0
Пример 4.
−2
Вычислить интеграл ∫
−4
𝑑𝑥
√5 − 4𝑥 − 𝑥 2
.
Решение:
Приведем подынтегральную функцию к «почти табличной», выделив под корнем полный квадрат.
−2
−2
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑥 + 2 −2
2
2
∫
= ∫
= arcsin
|
= arcsin 0 − arcsin (− ) = arcsin .
3
3
3
√5 − 4𝑥 − 𝑥 2
√9 − (𝑥 + 2)2
−4
−4
−4
3. Площадь криволинейной трапеции
Площадь фигуры, ограниченной осью 0x, двумя вертикальными прямыми x = a, x = b и графиком
функции f (x) (рисунок 1), определяется по формуле
𝑏
𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎).
𝑎
Рис.1
Рис.2
Пусть F (x) и G (x) - первообразные функций f (x) и g (x), соответственно. Если f (x) ≥ g (x) на
замкнутом интервале [a, b], то площадь области, ограниченной двумя кривыми y = f (x), y = g (x) и
вертикальными линиями x = a, x = b (рисунок 2), определяется формулой
𝑏
𝑆 = ∫(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥.
𝑎
Пример 5.
Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми 𝑦 = 𝑥 2 и 𝑦 = √𝑥.
Решение.
Сначала определим точки пересечения двух кривых (рисунок 3).
𝑥 2 = √𝑥,
𝑥 2 − √𝑥 = 0,
3
√𝑥 (𝑥 2 − 1) = 0,
𝑥1 − 0,
𝑥2 = 1.
2
𝑦(0) = 0 = 0,
𝑦(1) = 12 = 1.
Таким образом, данные кривые пересекаются в точках (0,0) и (1,1). Следовательно, площадь фигуры
равна
1
1
3
1
1
𝑥 2+1
𝑥 2+1
𝑥 2 𝑥3 1 1
2
𝑆 = ∫(√𝑥 − 𝑥 )𝑑𝑥 = (
−
)| = (
− ) | = (2√𝑥 3 − 𝑥 3 ) | =
1
3
2+1
3
3
0
0
0
0
2+1
2
=
1
1
1
[(2√13 − 13 ) − (2√03 − 03 )] = [(2 ∙ 1 − 1) − 0] = .
3
3
3
Рис.3
Рис.4
Пример 6.
Найти площадь фигуры, ограниченную графиками функций 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 и 𝑥 + 𝑦 = 0.
Решение.
Найдем координаты точек пересечения кривых (рисунок 4).
2𝑥 − 𝑥 2 = −𝑥,
𝑥 2 − 3𝑥 = 0,
𝑥(𝑥 − 3) = 0,
𝑥1 − 0,
𝑥2 = 3.
𝑦(0) = 2 ∙ 0 − 02 = 0,
𝑦(3) = 2 ∙ 3 − 32 = −3.
Таким образом, данные кривые пересекаются в точках (0,0) и (3,-3).
Данная область ограничивается сверху параболой 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 , а снизу – прямой линией 𝑦 = −𝑥.
Следовательно, площадь этой области равна
3
3
2
3
2
𝑆 = ∫(2𝑥 − 𝑥 − (−𝑥))𝑑𝑥 = ∫(2𝑥 − 𝑥 + 𝑥)𝑑𝑥 = ∫(3𝑥 − 𝑥
0
0
= (3 ∙
0
2 )𝑑𝑥
𝑥2 𝑥3 3
= (3 ∙ − ) | =
2
3
0
32 33
02 03
27 27
9
− ) − (3 ∙ − ) = ( − ) − 0 = .
2
3
2
3
2
3
2