Морица Эшера

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
СЕВЕРНОЕ ОКРУЖНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
Геометрическая живопись
в творчестве Морица Эшера
Работа
учащихся 8«Б» класса лицея №1575 САО г. Москвы
Коршунова Ивана и Сурменева Георгия
Руководитель работы Бирюкова Марина Александровна, учитель
математики
МОСКВА 2014
Аннотация
Тема: «Геометрическая живопись в творчестве Морица Эшера».
Автор работы: Сурменев Георгий, Коршунов Иван, учащиеся 8 «Б» класса
ГБОУ лицея №1575
Научный руководитель: Бирюкова Марина Александровна, учитель
математики ГБОУ Лицея 1575
Актуальность темы: в современном мире актуально изучение связей между
различными областями науки, искусства и пр.
Проблема:
Предмет исследования: работы Морица Эшера: мозаики, паркеты, картины.
Гипотеза: творчество Эшера тесно связано с геометрией как на плоскости,
так и в пространстве.
Цель: увидеть и обосновать связь математики с художественными образами
в творчестве Мориса Эшера и расширить свой кругозор.
Методы исследования: поиск информации, сравнение, классификация,
анализ, обобщение.
План выполнения работы:
I Провести теоретические изыскания:
1. Изучить биографию художника;
2. Ознакомиться с принципом тесселяции;
3. Рассмотреть виды мозаик и принципы их построения;
4. Изучить свойства Ленты Мёбиуса и гравюры, посвященные этой теме;
5. Ознакомиться с правильными многогранниками и их местом в
творчестве Эшера.
II На основании изученного материала объяснить математические понятия и
термины:
1.симметрия (центральная и зеркальная);
2. Параллельный перенос;
3. Подобие;
4. Фрактал.
Краткое
описание
работы:
мы
изучили
биографию
Эшера,
проанализировано его творчество. В нашем проекте рассмотрены наиболее
интересные мозаики, выявлены математические закономерности.
Основные выводы и результаты: В творчестве Эшера доминирует
математический аспект.
Библиография:
Сайты Рунета о творчестве Морица Эшера:
mcesher.ru M. К. Эшер. Работы художника.
graphic.org.ru Сайт «График». История графики: Эшер Морис
mcescher.com The official website M.C. Escher.
ВВЕДЕНИЕ
В прошлом году в Москве с огромным успехом прошла выставка работ
Морица Корнелиса Эшера. Мы, посетив это мероприятие, заинтересовались
творчеством голландского художника и решили попытаться понять, как ему
удалось
совместить
геометрию
с
искусством,
будучи
не
слишком
образованным математически.
Немного о художнике
Эшер
родился в 1898 г. в семье инженера и, как и полагается гению, с
детства был немного странным. Серый, замкнутый и заикающийся, он плохо
учился, но любил музыку и столярное дело.
Был подвержен двум навязчивым маниям. Первая — «тяга к падению»: все
вертикальные, устремляющиеся ввысь формы, имели для парня пугающую и
одновременно восхитительную притягательность. При взгляде вверх, на
башню, гору или бесконечную вертикаль Эшер впадал в оцепенение. Об этом
вспоминают многие его биографы и друзья.
Второй странностью юного Эшера было построение «безупречного
бутерброда». Однокашник будущего художника вспоминал, как тщательно
укладывал Мориц на хлеб кусочки сыра и колбасы с целью получить
«идеальное покрытие». Тяга к идеальным линиям привела к тому, что Мориц
начал учиться архитектуре. Однако, проучился не долго, потому что понял,
что его настоящая страсть это графика.
Наибольшее количество работ художника построены по принципу тесселяции
— приему, позволяющему разделить плоскость на части, которые полностью
покрывают ее, не пересекаясь и не накладываясь друг на друга.
Однако наибольшую известность приобрели «невозможные фигуры» Эшера.
Он исследовал парадоксы, возникающие при изображении трехмерного
пространства, и делал рисунки интерьеров и архитектурных сооружений,
которые, на первый взгляд, кажутся верными, но при внимательном изучении
работы зритель замечает противоречивые элементы соединения частей той
или иной фигуры. Одно из самых известных произведений Эшера,
изображающих
«невозможное»
пространство
—
это
литография
«Относительность» 1953 года, на которой изображен мир, который не
подчиняется законам гравитации.
Первая выставка работ Эшера состоялась в Гааге в 1924 году, а два года спустя
эту экспозицию показали в Риме. Уже тогда критики называли Эшера
талантливым рисовальщиком, но многие критиковали его работы как
«слишком интеллектуальные». Однако настоящий успех пришел к Эшеру в
1950-х, после того, как прошли его выставки в США и Нидерландах. Он начал
читать лекции по всему миру, причем часто выступал в технических учебных
заведениях.
Мозаика - это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить
плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Различают мозаики
регулярные и нерегулярные. Математически доказано, что регулярное
замощение
плоскости
возможно
только
тремя
правильными
многоугольниками: треугольником, квадратом и шестиугольником. Еще
пифагорейцы установили, что вокруг одной точки могут лежать, либо шесть
правильных треугольников, либо четыре квадрата, либо три правильных
шестиугольника. Эшер интересовался всеми видами мозаик - регулярными и
нерегулярными ( нерегулярные мозаики образуют не повторяющиеся узоры) а также ввел собственный вид, который назвал "метаморфозами", где фигуры
изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму
плоскость. Он использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним
трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражением,
смещением и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных,
птиц, ящериц и прочее.
Кажется, что придумать такой затейливый орнамент невероятно сложно.
Однако, овладев некоторыми геометрическими знаниями и умениями, каждый
школьник сможет нарисовать свой неповторимый орнамент (паркет).
Сюда свой орнамент
Правильные
тесселяции
многоугольников,
при
состоят
совмещении
из
фигур
которых
в
виде
правильных
все
углы
одинаковые.
Существует всего три многоугольника, пригодных для использования в
тесселяциях, — квадрат, правильные треугольник и шестиугольник. На этой
картинке
мы
видим,
вышеперечисленных
как
«замостить»
пространство
с
помощью
фигур.
Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое
очарование для Эшера. Во многих его работах многогранники являются
главной фигурой, иногда они встречаются в качестве вспомогательных
элементов. Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких
тел, все грани которых состоят из одинаковых правильных многоугольников.
Они еще называются телами Платона. Это - тетраэдр, куб , октаэдр, додекаэдр,
и икосаэдр.
На гравюре "Четыре тела" Эшер
изобразил
пересечение
правильных
основных
многогранников,
расположенных
на
одной
симметрии,
кроме
многогранники
оси
этого
выглядят
полупрозрачными, и сквозь любой из
них можно увидеть остальные, если
внимательно рассмотреть.
В
работе
«Порядок
многогранник
и
помещен
хаос»
звездчатый
внутрь
стеклянной
сферы.
Из известных работ, связанных с формой
пространства, можно назвать ленты Мёбиуса
Эшера.
Эти
работы
связаны
с
разделом
математики – топологией. Топология изучает
свойства тел и поверхностей пространства,
которые
не
изменяются
при
деформации,
например, растяжении, сжатии или изгибе.
Единственное, к чему не должна приводить
деформация - это к разрыву.
Если
вы
проследите
путь
муравьев
на
литографии "Лента Мебиуса II", то увидите, что
муравьи
ползут
не
по
противоположным
поверхностям ленты, а по одной и той же.
Сделать лист Мебиуса очень просто. Надо взять полоску бумаги, изогнуть ее,
и склеить противоположные края ленты клеем. Как вы думаете, что случится,
если разрезать лист Мебиуса вдоль? Мы провели такой опыт и получили:
1)если по внутренней стороне листа Мёбиуса провести непрерывную линию
карандашом, то оказывается линия прошла по обеим сторонам кольца, хотя
мы не отрывали карандаш от бумаги, значит у листа Мёбиуса имеется только
одна сторона 2)если разрезать лист Мёбиуса на 2 части вдоль, то получится
новый лист Мебиуса только в два раза длиннее.
В качестве картины, в которой исследуется и логика пространства, и его
топология, можно назвать литографию «Выставка гравюр».
Центральная часть пространства растянута,
при этом оно изгибается по часовой стрелке
вокруг незаполненного центра. Справа снизу
вход; следуя взглядом по галерее, читатель
выходит на левый нижний угол, в котором
стоит юноша, по размерам раза в четыре
больше первого. Юноша рассматривает
пароход, изображённый на гравюре, который
идёт влево; на ней также изображены лодки,
канал, дома, а из одного окна выглядывает
женщина,
которая
смотрит
галереи, где находится юноша.
на
крышу
На картине "Метаморфозы-2" представлена
последовательность 10 трансформаций. Это
самая большая картина Эшера размерами 19
см*5 на 3.9 м.
При взгляде на любую из «мозаик» мастера у любого человека возникает
подозрение на математическую закономерность.
С помощью работ Мориса Эшера можно объяснить такие математические
понятия и термины, изучаемые в школе, как: параллельный перенос, подобие
фигур, равновеликие фигуры, периодичность и симметрия.
В своих работах Эшер использовал все виды симметрий.
Центральна симметрия прекрасно читается
на мозаике «Рай и Ад» Предел круга 4. Диск
разделен на 6 секций, где доминируют ангелы
на черном фоне и дьяволы – на белом. Таким
образом, рай и ад меняются местами 6 раз.
Фигуры ангелов и дьяволов, вплотную
примыкая друг к другу, заполняют плоскость.
При движении от центра гравюры к ее краю
фигуры
уменьшаются,
превращаясь
в
бесконечное множество фигурок, невидимых
невооруженным глазом на самом краю.
На гравюре «День и Ночь»
используется
прием
зеркальной
Правая
и
симметрии.
левая
часть
не
только
композиции
зеркально симметричны, но
и
как
бы
служат
своеобразными негативами
одна другой. По мере того
как
наш
взгляд
перемещается снизу вверх
квадраты
полей
превращаются в белых птиц
летящих в ночь, и в черных
птиц,
летящих на фоне
светлого дневного неба.
Параллельный перенос―прием, при котором все точки пространства
перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
Его можно наблюдать на многих работах
мастера, например, в гравюре «Рептилии».
Мы видим, как происходит параллельный
перенос разных по цвету ящериц.
Две
фигуры
и
называются
подобными,
преобразование подобия, при котором фигура
фигуру
, т.е. каждой точке фигуры
фигуры
.
если
существует
преобразуется в
соответствует некоторая точка
На орнаменте «Меньше и меньше»
мы
наблюдаем
ящериц,
которые
уменьшаются в размерах ближе к
центру. Посмотрите, как хорошо
видно подобие на примере черных
ящериц!
Гравюра «Меньше и меньше» показывает типичный фрактальный
объект. Фрактал - термин, означающий геометрическую фигуру,
обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из
нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.
В орнаменте «Круговой предел»
подобными фигурами являются
рыбы.
Представьте,
находитесь
картины.
По
что
вы
внутри
самой
мере
вашего
перемещения от центра круга к
его границе ваш рост будет
уменьшаться
так
же,
как
уменьшаются рыбы на данной
картине. Таким образом,
путь,
который вам надо будет пройти
до
границы
круга,
будет
казаться вам бесконечным.
ПОСЛЕСЛОВИЕ
На пике славы В XXI веке популярность художника необычно возросла. Его
литографии, гравюры на дереве можно увидеть в кабинетах математиков и
других ученых во всех уголках мира. С середины прошлого века без его
гравюр не обходится ни одна «иллюстрированная» книга по математике,
физике, топологии, не говоря уж о популярных изданиях! Например, учебники
«Математика 10», «Математика 11» автора Мордковича А. Г. оформлены с
использованием литографий Эшера.
Его имя можно встретить и в книгах по информатике. На сайтах в сети Internet
мы увидели чашки, галстуки, часы и красивые ткани, украшенные паркетами
Эшера. Последний «писк» моды футболки с рисунками орнаментов Эшера.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе изложены сведения о понятии семьи с точки зрения экономики;
рассмотрены понятия хозяйство, собственность, потребность; в рассказе о
семейной экономике особое место уделено понятию семейного бюджета;
представлены материалы о видах ресурсов в жизни семьи. Автор узнал
понятия семейный бюджет, семейные ресурсы, домашняя экономика, описал
основные источники денежных доходов семьи, планирование расходов,
рассмотрел хозяйственную деятельность семьи, нашел загадки, пословицы и
поговорки по теме исследования; разработал правила «Учимся быть
рачительными хозяевами», составил кроссворд «Экономика в массы».
В заключение, хочется отметить следующее:
1. Как мы убедились в работах М. Эшера доминирует математический аспект.
2. Математики были первыми среди почитателей его таланта, и это понятно,
поскольку гравюры его часто несут в себе понятия математического толка –
например,
симметрии,
топологии.